精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（日新班）

丰城九中2024-2025学年上学期高二日新期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为 4. 已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A. 丙同学和甲同学 B. 乙同学和甲同学 C. 甲同学和丙同学 D. 乙同学和丙同学 7. 如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 设为非空实数集，定义，则（ ） A. B. C. D. 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数．则下列结论正确的是（ ） A. 图像关于点中心对称 B. 图像关于直线对称 C. 的最大值为 D. 既是奇函数又是周期函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 若函数是奇函数，则______． 13. 函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________. 14. 定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 17. 已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数的图象关于原点对称”. （1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标； （2）求函数图象对称中心的坐标. 18. 已知 （1）当，解关于的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数是偶函数，是自然对数的底数， （1）求的最小值 （2）当时， （i）令，，求的值域 （ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年上学期高二日新期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特称量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集、补集的概念计算即可. 【详解】由题意可知，所以，则. 故选：A 3. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性、单调性、周期性的定义，逐一分析选项即可. 【详解】分段函数的左右两边的函数图像不关于轴对称， A不正确. 当时，不单调， B不正确. 当时，没有周期性， C不正确. 当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确. 故选:D. 4. 已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先利用抽象函数的定义域求得集合A，B，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】的定义域为. 当时，的定义域为，即. 令，解得的定义域为，即. “”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定奇偶性排除两个选项，再由单调性排除一个选项后得结论． 【详解】易知的定义域为R，，所以是偶函数，排除A，C； 当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，排除B， 故选：D． 6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A. 丙同学和甲同学 B. 乙同学和甲同学 C. 甲同学和丙同学 D. 乙同学和丙同学 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算公式，以及幂的运算公式，即可比较大小. 【详解】， ，，所以， ，所以， 所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚. 故选：C 7. 如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出点的横坐标、点纵坐标，即可得点的坐标. 【详解】由图可知，点在函数的图象上，所以， 即，故， 则点在函数的图象上，所以，即，故， 则点在函数的图象上，所以，故， 又，，故点的坐标为， 故选：A 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果. 【详解】设， 则有，，， 可得，即，解得， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 设为非空实数集，定义，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由的定义得，显然成立，故A正确； 对于B，由的定义得，，故B错误； 对于C，设，则， ，所以成立，故C正确； 对于D，设，则， 所以， 又， 所以， 所以成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本（均值不等式）可判断ABD的真假；设函数（），分析其单调性，可判断C的真假. 【详解】因为，且，所以（当且仅当时取“”）. 所以，故A正确； ，故B正确； 设（），则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以， 所以成立，故C正确； 又，又，所以，即，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数．则下列结论正确的是（ ） A. 图像关于点中心对称 B. 图像关于直线对称 C. 的最大值为 D. 既是奇函数又是周期函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性的性质、奇函数的定义、周期函数的定义，结合换元法、导数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为， ， 所以， 因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确； B：因为， ， 所以， 因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确； C：， 设，所以， 当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，函数有极大值， 极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确； D：因为， 所以是奇函数， 因为， 所以是周期函数，因此本选项结论正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用换元法，根据导数的性质求最值是解题的关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 若函数是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由奇函数的定义及诱导公式计算参数a，再代入计算函数值即可. 【详解】由题意知，所以， 即. 故答案为：. 13. 函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】因为在R上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分. 【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故答案为：4 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，由并集结果知，列不等式组求参数范围； （2）由补集运算求得或，根据集合包含关系列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由， ， 因为，即，显然， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）知：或，又， 所以或，可得或. 16. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可； （2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可. 【小问1详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以即对任意恒成立， 则，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B， 因为对任意，存在，使得，所以， 当时，，即函数在区间的值域为， 函数的对称轴为， ，则在上单调递增，故， 而不是的子集，不符合； 当时，则在上单调递减，故， 要使，则，解得， 综上，的取值范围是. 17. 已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数的图象关于原点对称”. （1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标； （2）求函数图象对称中心的坐标. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换写出函数解析式并化简，分析得到函数图象关于原点对称，从而依题得到函数的对称中心； （2）设函数的对称中心为，则得为奇函数，代入整理，由函数定义域关于原点对称求得的值，由函数为奇函数列方程求得的值，即得. 【小问1详解】 平移后图象对应的函数解析式为， 整理得， 由于函数的图象关于原点对称，由题设中真命题知，函数图象对称中心的坐标是. 【小问2详解】 设的对称中心为，由题设知函数的图象关于原点对称，即为奇函数， 设，则，即. 由不等式的解集关于原点对称，得，解得，. 此时，. 任取，由可得，， 化简得，，解得，， 所以函数图象对称中心的坐标是. 18. 已知 （1）当，解关于的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论当、、、情况下，解一元二次不等式即可； （2）将原不等式转化为，利用分离参数法可得，结合换元法和对勾函数的性质求出的最大值即可. 【小问1详解】 若即，原不等式为，解得， 即原不等式的解集为； 若即，方程的解为和， 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当即时，，原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得， 对于方程，， 所以在R上恒成立，故， 令，则，得可变形为，即， 对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，为， 所以在上的最大值为， 得. 综上，a的取值范围为. 19. 已知函数是偶函数，是自然对数的底数， （1）求的最小值 （2）当时， （i）令，，求的值域 （ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由函数是偶函数，得到，再代入所求式子，表示为的二次函数求最值； （2）（ⅰ）由条件可知，，求函数d的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的值域； （ⅱ）利用反证法进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，根据偶函数的定义： ，，即， 即：上式对任意恒成立，这等价于． ，等号成立当且仅当，． 所以的最小值为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得：，由于，为偶函数，故只需考虑时，的值域， ， ， 令，，， ∴，单调递增，∴在上单调递增， 的值域为，，． 故的值域为． （ⅱ）对于常数，令，为偶函数． 下面先证明一个结论：在上单调递增． 证明： ． 由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，∴在上单调递增， 证毕． 对于，，且， 先证明：当取最大值时，，，，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于． 用反证法，假如当取最大值时，，，，中存在两个数，，不妨设， 记，则，且，． 记，则，根据的单调性可知 ， 在中，将，分别替换成，， 其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾 ∴：，，，中最多只有一个． ，，，中没有数字在区间时，，，，中的每一个数，要么等于，要么等于， 记，，，中等于的元素个数为，，，这与为整数矛盾 ，，，中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于的数字个数为， 则等于的数字个数为，则． 即：，由于，， 又∵，∴，， ∴这1000个数为，其中有333个，个2． ． 【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到，关键2是判断函数的单调性，关键3的利用反证法证明，，，中最多只有一个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $