精品解析：福建省三明市永安一中、沙县一中两校协作2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

“永安一中、沙县一中”两校协作 2024–2025学年第一学期联考 数学试题 命题人：沙县一中 肖自萌 永安一中 付瑶 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 4. 已知实数，则（ ） A. 无最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值4 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 与是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的值域为 11. 定义在的函数满足，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，是偶函数，则_______． 13. 已知，，请写出使得“”恒成立的一个充分不必要条件为__________.（用含m的式子作答） 14. 已知函数，若在上的值域为，则实数t的取值范围为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 16. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，设AN的长度为x. （1）用x表示AM的长； （2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （3）当AN的长度x是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 17. 已知实数a≠0，函数 （1）若，求，的值； （2）若，求的值． 18. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 19. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “永安一中、沙县一中”两校协作 2024–2025学年第一学期联考 数学试题 命题人：沙县一中 肖自萌 永安一中 付瑶 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】先判断命题的真假，由此可得的真假，再判断命题的真假，由此确定的真假，结合所得结论确定正确选项. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，故命题为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题，故命题为假命题； 综上可知，和均为真命题. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合A、B，再求. 【详解】因为函数在单减，在上单增，所以， 要使函数有意义，只需，解得， 所以， 所以 3. 已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可. 【详解】因为该函数是幂函数， 所以，或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意， 故选：B 4. 已知实数，则（ ） A. 无最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值4 【答案】B 【解析】 【分析】对分式变形，利用基本不等式求解即可得出最大值. 【详解】由，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以有最大值4. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用二次函数的图像与性质即可得到结果. 【详解】因为二次函数的对称轴为， 又函数在区间上为不单调函数，所以， 故选：C. 7. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】AC选项用不等式的基本性质进行证明；B选项，用作差法比较大小；D选项，举出反例. 【详解】因为，且，不等式两边同乘以得：；A正确； ，由于，，而可能大于0，也可能小于0，故B选项错误； 由，则，由不等式的基本性质得：，C正确； 当时，满足，，但，D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 与是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复合函数定义域可判断A，由函数概念可判断B，由代入法可求C,由二次函数可判断D. 【详解】对于A：因为的定义域是，即则， 所以 即即函数的定义域是，错误； 对于B，由于，故正确； 对于C：由，令即，所以正确； 对于D:由，所以函数的值域为正确. 故选：BCD 11. 定义在的函数满足，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据奇偶性的定义分析判断；对于B：根据函数单调性的定义分析判断；对于C：利用赋值法分析判断；对于D：根据选项C的结果结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 令，，可得， 令，则，可得， 所以为奇函数，故A正确； 对于选项B：令，则，可得， 且，即， 可得， 则，即， 所以在内单调递增，故B错误； 对于选项CD：令，，则， 所以，故C正确； 所以，D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，是偶函数，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和性质分析求解. 【详解】因为函数，是偶函数， 则，解得，可知， 且，即， 整理得，结合的任意性可得，即， 所以. 故答案为：4. 13. 已知，，请写出使得“”恒成立的一个充分不必要条件为__________.（用含m的式子作答） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】将变为展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可写出答案. 【详解】由题意可知，， 故， 当且仅当 时取等号， 故“”恒成立的一个充分不必要条件为， 故答案为： 14. 已知函数，若在上的值域为，则实数t的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得：在上的值域为，讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数的对称性分析运算. 【详解】当时，则，即在上的值域为； 当时，则， 可得：在上的值域为， ∵开口向下，对称轴为，则有： ①当，即时， 在上单调递减，则，不合题意，舍去； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 又∵，则， ∴； ③当，即时，在上单调递增，且， 则在上的值域为，不合题意，舍去； 综上所述：实数t的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算规则化简； （2）利用完全平方公式和立方差公式求值. 【小问1详解】 【小问2详解】 由，则有， ，， ∴． 16. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，设AN的长度为x. （1）用x表示AM的长； （2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （3）当AN的长度x是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 【答案】（1）；（2）或；（3）当米时，最小值为24平方米． 【解析】 【分析】 （1）由线线平行，可得，再由对应边成比例，可得； （2）可令写出矩形面积的表达式，由，求解一元二次不等式，结合，可得的范围； （3）令，则，整理可得关于的函数，运用基本不等式可得函数的最小值，求得最值取得的条件，即可得到所求结论． 【详解】（1）由， 可得，即，得； （2）矩形的面积， 令，得，即， 可得，解得或， 又，可得或； （3）令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 当米时，矩形面积取最小值为24平方米． 【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答． 17. 已知实数a≠0，函数 （1）若，求，的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）-4，-11（2）a＝－ 【解析】 【详解】试题分析：1．求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．2．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 试题解析：（1）若a＝－3，则f（x）＝ 所以f（10）＝－4，f（f（10））＝f（－4）＝－11． （2）当a>0时，1－a<1，1＋a>1， 所以2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，解得a＝－，不合，舍去； 当a<0时，1－a>1，1＋a<1， 所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－，符合． 综上可知，a＝－． 考点：分段函数及其应用 18. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）证明：任取、，且，即， 则， ，，，，，，. ，，因此，函数在区间上是减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式； （2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，化简得，因此，； （2）略； （3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以，解得. 因此，不等式的解集为. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 19. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 【解析】 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解. （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $