精品解析：广东省东莞市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中检测卷九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分，检测用时为120分钟．检测范围：九上第21-23章． 2．答卷前，学生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的座位号、考号、姓名、班级等．用2B铅笔把对应的该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔（作图除外）和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．学生务必保持答题卡的整洁且不能折叠． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A´OB´的位置．若点B的横坐标为2，则点A´的坐标为（ ） A. （1，1） B. C. （-1，1） D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出≌，从而得出，再根据等腰直角三角形的性质得出，从而得出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作,交于点 ∵为等腰直角三角形，由旋转所得 ∴≌ ∴为等腰直角三角形 ∵点的横坐标为 ∴点（0，2） ∴ ∵ ∴ ∴点坐标为（-1，1） 故选：C 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的相关性质，熟练掌握旋转的性质以及等腰直角三角形的相关性质是解答此题的关键． 3. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 4. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是即可得． 【详解】解：是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线的顶点式时顶点坐标是解本题的关键． 6. 某小区2018年绿化面积为3000平方米，计划2020年绿化面积达到3880平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，设每年的增长率为，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为． 7. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，由在等式两边同时加上，完全平方和公式分解因式即可得到答案，熟记配方法的操作步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 配方得，即， 故选：A． 8. 等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可知，等腰三角形有两种情况：当a，b为腰时，a=b，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，所以a=b=3，ab=9=n-1，解得n=10； 当2为腰时，a=2（或b=2），此时2+b=6（或a+2=6），解得b=4（或a=4），这时三边为2，2，4，不符合“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的三角形三边关系，故不合题意．所以n只能为10． 故选：B. 9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（ ） A. ac＞0 B. b+2a＜0 C. b2﹣4ac＞0 D. a﹣b+c＜0 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A、由函数图象可知二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，即a＞0，交于y轴的负半轴c＜0，ac＜0，故本选项错误； B、由函数图象可知对称轴x=﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0，故本选项错误； C、由函数图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．故本选项正确； D、由函数图象可知当x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，故本选项错误． 故选C． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．下列结论：；；若和是抛物线上两点，则；对于任意实数，均有．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向确定的符号，根据抛物线与轴的交点确定的符号，根据对称轴确定的符号，判断；利用二次函数的性质判断；利用图象得出与轴的另一交点，进而得出，即可判断，根据函数增减性，判断． 【详解】∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象交轴的负半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线 的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴当时，，故错误； ∵关于直线的对称点的坐标是， 当时，随的增大而增大，， ∴，故错误； 由得：， ∴，即 ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ∴当时，， ∴， 则有，故正确， 故正确结论有个， 故选：． 【点睛】此题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点把握抛物线的对称性． 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令得出y的值，从而得出与轴的交点坐标． 【详解】令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键． 13. 关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由方程有一个解为0，故将x＝0代入方程得到关于m的一元二次方程，求出方程的解得到m的值，再由方程为关于x的一元二次方程，得到二次项系数m＋3不为0，即m不为−3，即可得到满足题意的m的值． 【详解】∵方程（m＋3）x2＋5x＋m2＋2m−3＝0有一个根为0， ∴将x＝0代入方程得：m2＋2m−3＝0， 即（m−1）（m＋3）＝0， 解得：m1＝1，m2＝−3， 又原方程为关于x的一元二次方程，m＋3≠0，即m≠−3， 则m＝1． 故答案为1. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，其中方程的解为能使方程左右两边相等的未知数的值；把形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程称为一元二次方程． 14. 已知，当x_____________时，函数值y随x的增大而减小 【答案】＜-1 【解析】 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，由此判断增减性． 【详解】解：∵抛物线，a=＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴x=-1， ∴当x＜-1时，函数值y随x的增大而减小． 故答案为：＜-1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．关键是根据开口方向及对称轴判断函数的增减性． 15. 写出一个开口向上的抛物线的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，函数图象的开口向上，写出即可． 【详解】解：根据题意得：抛物线的开口向上． 故答案为：（答案不唯一，只要二次项系数为正数即可）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一． 16. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答． 【详解】∵， ∴， 解得x=3或x=-1， ∴点B的坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， ∴不等式的解集为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 17. 如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质．连接，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出． 【详解】解：连接、， ∵将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，，， 在中，利用勾股定理可得， 为中点， 矩形绕点B顺时针旋转至的位置， ，且， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题6分，共18分） 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法解方程即可． 【详解】解： ∴． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 20. 已知二次函数． … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （2）当________时，函数的值大于0．（填的取值范围） 【答案】（1） 描点，连线． （2）或 【解析】 【分析】本题考查描点法画函数图象，图象法解不等式，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线； （2）运用图象法求解，通过抛物线与x轴的交点判断求解即可． 【小问1详解】 解：列表得： 0 3 0 0 3 描点，连线． 【小问2详解】 解：由图象可得：当或时，函数的值大于0． 四、解答题（每题8分，共24分） 21. 如图，若篱笆（虚线部分）的长度是． （1）当所围成矩形的面积是60平方米，求矩形的长是多少？ （2）当所围成矩形的长是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）矩形的长是； （2）当所围成矩形的长是时，它的面积最大，最大面积是． 【解析】 【分析】（1）设矩形的长为，则宽为，根据题意，列方程求解即可； （2）设矩形的长为，面积为，求得与的关系，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设矩形的长为，则宽为，，解得 由题意可得： 即 解得或（舍） 矩形的长是； 【小问2详解】 解：设矩形的长为，矩形的面积为，则宽为， 由（1）可得，， 由题意可得：， ∵，开口向下，对称轴为 ∴当时，最大，为64， 当所围成矩形的长是时，它的面积最大，最大面积是． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程和函数解析式． 22. 已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)如果x1，x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值． 【答案】（1）m≤-；（2）整数m的值为-2，-1． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4×2×（m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=，再变形已知条件得到7+4x1x2＞（x1+x2）2-2x1x2，于是有7+6×＞1，解得m＞-3，所以m的取值范围为-3＜m≤-，然后找出此范围内的整数即可． 【详解】（1）根据题意得:△=（-2）2-4×2×（m+1）≥0， 解得m≤-； （2）根据题意得:x1+x2=1，x1x2=， ∵7+4x1x2＞x12+x22， ∴7+4x1x2＞（x1+x2）2-2x1x2， 即7+6x1x2＞（x1+x2）2， ∴7+6×＞1，解得m＞-3， ∴-3＜m≤-， ∴整数m的值为-2，-1． 23. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角多少？ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查是旋转的性质，三角形外角的性质；熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．根据题意可得，再结合旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵，，点、、在同一条直线上， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴旋转角为． 五、解答题（每题10分，共20分） 24. 已知二次函数的图象经过和． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2）顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法列方程求解即可． （2）把一般式通过配方转化为顶点式即可． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：，解得：， ∴此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及用配方法求顶点式，熟练掌握待定系数法与配方法是解题关键． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 【答案】（1）抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线；（2）当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3） 【解析】 【分析】（1）把B（6，0）代入抛物线中求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴； （2）连接PC，PA，PB，先求出点C的坐标为（0，3），由A、B关于直线对称，得到PA=PB，则△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，故要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，则当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置，，求出直线BC的解析式为，令x=2，则，即可得到的坐标为（2，2），则当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）设M点坐标为（m，），由MN∥y轴，且N在直线BC上，得到N点坐标为（m，），则，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过B（6，0）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； （2）如图所示，连接PC，PA，PB， ∵点C是抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为（0，3）， ∵A、B是抛物线与x轴的交点， ∴A、B关于直线对称， ∴PA=PB， ∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB， ∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小， ∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置， 设直线BC解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 令x=2，则， ∴的坐标为（2，2）， ∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）如图所示，设M点坐标为（m，）， ∵MN∥y轴，且N在直线BC上， ∴N点坐标为（m，）， ∴ ， ∵， ∴当时，MN有最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数对称性—最短路径问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中检测卷九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分，检测用时为120分钟．检测范围：九上第21-23章． 2．答卷前，学生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的座位号、考号、姓名、班级等．用2B铅笔把对应的该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔（作图除外）和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．学生务必保持答题卡的整洁且不能折叠． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A´OB´的位置．若点B的横坐标为2，则点A´的坐标为（ ） A. （1，1） B. C. （-1，1） D. 3. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 某小区2018年绿化面积为3000平方米，计划2020年绿化面积达到3880平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，设每年的增长率为，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（ ） A. ac＞0 B. b+2a＜0 C. b2﹣4ac＞0 D. a﹣b+c＜0 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．下列结论：；；若和是抛物线上两点，则；对于任意实数，均有．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 13. 关于的一元二次方程有一个根为，则________． 14. 已知，当x_____________时，函数值y随x的增大而减小 15. 写出一个开口向上的抛物线的解析式___________． 16. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 17. 如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则______． 三、解答题（每小题6分，共18分） 18. 解方程： 19. 解方程：． 20. 已知二次函数． … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （2）当________时，函数的值大于0．（填的取值范围） 四、解答题（每题8分，共24分） 21. 如图，若篱笆（虚线部分）的长度是． （1）当所围成矩形的面积是60平方米，求矩形的长是多少？ （2）当所围成矩形的长是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 22. 已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)如果x1，x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值． 23. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角多少？ 五、解答题（每题10分，共20分） 24. 已知二次函数的图象经过和． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $