精品解析：2024-2025学年北师大版数学八年级上学期期中测试卷

期中测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，π，2024这五个数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，3， B. 9，16，25 C. 2，2，4 D. 10，24，25 3. 若点A (x，5)与点B(2，y)关于y轴对称，则x+y的值是（ ） A. -7  B. -3  C. 3 D. 7 4. 已知一个边长为的正方形，面积是，则的大小在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知是一次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x增大而增大 D. 时， 9. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 10. 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算结果是_________． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 13. 如图是人民公园的旅游简图，小颖在旅游简图上建立了平面直角坐标系，并写出音乐台的坐标是，望春亭的坐标是，那么牡丹园的坐标是______． 14. 将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的表达式为_________． 15. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____． 三、解答题(一)：本大题共 3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 17. 如图所示，在 中，，，，，求的长． 18. 已知点在函数的图象上，判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 四、解答题(二)：本大题共 3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知的平方根是的立方根是3． （1）求 的算术平方根： （2）求的相反数． 20. 某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． （1）请分别写出，与x之间的关系式： ， ； （2）若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 21. 综合与实践 【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的． 【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 【动手操作】 如图，三条线段a、b、c的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证： ① 作线段； ② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点； ③ 连接，得到． （1）根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）． 【问题解决】 （2）由三线段的长度比可知，（1）中的三边满足．请你证明：边长满足的是直角三角形． 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A，B两村的距离的差最大． ①请写出点P坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值． 【深入思考】 （3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到B村距离为13，请你求出Q村的坐标． 23. 综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． （1）特征探究；求直线的表达式； （2）坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； （3）规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，π，2024这五个数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数，求一个数的立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：在，，，π，2024这五个数中，无理数有，；有理数有，，2024． 故选：A． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，3， B. 9，16，25 C. 2，2，4 D. 10，24，25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为1，3，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴三边长为9，16，25，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长2，2，4，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴三边长为10，24，25，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选A． 3. 若点A (x，5)与点B(2，y)关于y轴对称，则x+y的值是（ ） A. -7  B. -3  C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出x，y的值，即可求出x+y的值． 【详解】解：∵ 点A (x，5)与点B(2，y)关于y轴对称， ∴x=-2，y=5， ∴x+y=-2+5=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了求代数式求值，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征． 4. 已知一个边长为的正方形，面积是，则的大小在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，不等式的性质等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 先求出的值，再利用不等式的性质求出其取值范围即可． 【详解】解：边长为的正方形，面积是， ， ， ， 即：， 故选：． 5. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可判断. 【详解】A. 不能计算，故错误； B. ，故错误； C. ，正确； D. =2，故错误； 故选C. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 6. 已知是一次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴ ， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 的函数叫做一次函数是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点A的横纵坐标都为负数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴在平面直角坐标系中，点落在第三象限， 故选：C． 8. 若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. y随x的增大而增大 D. 时， 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据图像中过两点，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可． 【详解】首先将代入一次函数解析式，得 ， 解得， 所以解析式为 ； A、,由求出的，可知此选项错误； B、，由求出的，可知此选项正确； C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误； D、将x=3代入， ，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解析式中系数 的关系是解题关键． 9. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 10. 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当时，；从公园回家一共用了45分钟，则当时，； 【详解】解：由题意，爷爷在公园回家，则当时，； 从公园回家一共用了分钟，则当时，； 结合选项可知答案B． 故选B． 【点睛】本题考查函数图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，列不等式求解． 详解】解：根据题意，得 ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于或等于0． 13. 如图是人民公园的旅游简图，小颖在旅游简图上建立了平面直角坐标系，并写出音乐台的坐标是，望春亭的坐标是，那么牡丹园的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据音乐台的坐标是建立平面直角坐标系，根据牡丹园在坐标系中的位置写出其坐标即可． 【详解】解：如图， 由图可知，牡丹园坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标确定位置，根据题意画出坐标系是解题的关键． 14. 将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上下移动时解析式的变化规律求解即可． 【详解】将直线向上平移1个单位，得到的直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变化，熟练掌握一次函数图象平移时，解析式的变化规律是解题的关键． 15. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长． 【详解】如图，延长BE交AD于点F， ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC， ∴ △BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13，AF=5, 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 三、解答题(一)：本大题共 3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式＝ ； a＝-，b＝+， ∴原式 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键． 17. 如图所示，在 中，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，利用邻补角互补求角度，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 由勾股定理的逆定理可得出，利用邻补角互补可求得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解∶在中，，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得： ． 18. 已知点在函数的图象上，判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】点在该函数的图象上，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出时的函数值即可得到结论． 【详解】解：点在该函数的图象上，理由如下： 将点A的坐标代入，得，解得． ∴一次函数解析式为 令，则 ∴点在该函数的图象上． 四、解答题(二)：本大题共 3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知的平方根是的立方根是3． （1）求 的算术平方根： （2）求的相反数． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根和相反数： （1）根据立方根和平方根的定义建立关于x、y的方程，求出x、y的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴的相反数为． 20. 某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． （1）请分别写出，与x之间的关系式： ， ； （2）若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】（1）， （2）选择方案②更为优惠，见解析 【解析】 【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，； 【小问2详解】 当时，； ， 选择方案②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键． 21. 综合与实践 【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的． 【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 【动手操作】 如图，三条线段a、b、c的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证： ① 作线段； ② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点； ③ 连接，得到． （1）根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）． 【问题解决】 （2）由三线段的长度比可知，（1）中的三边满足．请你证明：边长满足的是直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，勾股定理的逆定理的证明： （1）按照所给步骤作图即可； （2）构造，使得，，，利用证明，推出，即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 证明：如图，作，使得，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 边长满足 的是直角三角形． 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A，B两村的距离的差最大． ①请写出点P的坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值． 【深入思考】 （3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到B村的距离为13，请你求出Q村的坐标． 【答案】（1） （2），图见解析； （3）或 【解析】 分析】（1）由题意及垂线段最短即可直接得出答案； （2）①由三角形三边之间的关系可知，当点P在的延长线上时，的值最大，据此写出点P的坐标，并在图中标出点P；②利用勾股定理求出的最大值即可； （3）设点Q的坐标为，点N的坐标为，则为直角三角形，利用勾股定理可建立关于的关系式并求出的值，于是可得Q村的坐标． 【详解】解：（1）由题意及垂线段最短可知，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是； （2）①如图，点P即为所求： 点P的坐标为； ②， 当点P在的延长线上时，的值最大，其最大值； （3）设点Q的坐标为，点N的坐标为，则为直角三角形， 在中，，，， ， ， 即：， ， 或， 点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标系中的动点问题，垂线段最短，写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点，三角形三边关系的应用，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 23. 综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． （1）特征探究；求直线的表达式； （2）坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； （3）规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 【答案】（1） （2） （3）线段的长度不变，且，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查求一次函数表达式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，理解题意，正确求得函数表达式，以及利用全等三角形的性质探究线段关系是解答的关键． （1）先直线的表达式求得点A坐标，再利用待定系数法求解直线的表达式即可； （2）先求得点D坐标，进而求得直线的表达式，再和直线的表达式联立方程组求解即可； （3）如图1，先推导出，则，再证明得到，在图2中，过Q作轴于H，证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与y轴交于点A， ∴当时，，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D为中点，， ∴， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴点E坐标为； 【小问3详解】 解：线段的长度不变，且． 理由：如图1，∵直线与x轴交于点B， ∴当时，由得，则， ∴，则， 又，， ∴， ∴，即， 在图2中，过Q作轴于H， 则，又，， ∴， ∴，， ∴； 在和中， ， ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$