精品解析：安徽省江淮名校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

江淮名校2024-2025年度高二期中考试 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ） A. 长轴长为2 B. 短轴长为 C. 焦距为1 D. 离心率为 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误. 【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即， 则. 所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为. 故选：D 2. 纵截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜截式求得正确答案. 【详解】倾斜角为，斜率为， 纵截距为，所以直线方程为. 故选：B 3. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可. 【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且， 所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ， 根据 ，所以椭圆方程为. 故选：C. 4. 在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出与的夹角为锐角的的取值范围，与进行比较，根据充分必要条件的判定得解. 【详解】与的夹角为锐角，则要满足， 即且不等于1， 解得：且， 因为是的真子集， 所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平行线之间的距离公式求解. 【详解】如图： 过作与点，交直线与点，则为所求直线与的距离. 因为，. 所以. 故选：A 6. 已知直线，圆，以下说法不正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，明确直线是过定点的直线，根据直线与圆的位置关系，可判断A的真假；根据的长度判断B的真假；求过点的圆的切线，根据切线的斜率判断C的真假；当时，根据点到直线的距离判断D的真假. 【详解】如图： 直线即，所以直线过定点. 圆的圆心为，半径为：1. 对A：如图所示，直线与圆不一定有公共点，故A选项内容正确； 对B：当直线变化时，圆心到直线的最大距离为， \且，故B选项内容正确； 对C：若直线与圆相交，则：，故C选项内容错误； 对D：当时，直线：，此时，圆心到直线的距离为：， 又圆的半径为，所以圆上到直线的距离等于的点有三个， 故D选项内容正确. 故选：C 7. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质分析出以为直径的圆与椭圆有公共点，得到，消去，即可求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆C的右焦点为，连接． 由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 故选：C 8. 在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的一个法向量，运用向量法求点到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，方向为轴非负方向，方向为轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 由，得， 由，得， ，由，可得，解得， ， 取平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为 . 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 10. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将点代入直线的方程，即可判断；对于B，由题意可得平面的法向量为，平面的法向量为，再根据平面与平面夹角的向量求法，求解后即可判断；对于C，由题意可得平面的法向量，且点在平面内，从可得，再根据点到平面距离的向量求法，求解后即可判断；对于D，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，求解后即可判断. 【详解】解：对于A，将点代入直线的方程， 则有， 所以点在直线上，故正确； 对于B，因为平面的方程，即为， 所以平面的法向量为， 同理，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为，故正确； 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量，且点在平面内， 所以， 设点到平面的距离为， 则，故错误； 对于D，因为平面的方程为，即， 所以平面的法向量； 又因为平面的方程为， 所以平面的法向量； 设直线的方向向量为， 则有， 所以，取， 则有， 又因为平面的方程为 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则，故正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的内切圆半径的最大值为 B. C. D. 的内心在一定圆上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、焦点三角形的性质、三角函数的和差公式等知识，运用椭圆的性质求出焦点三角形的一些关系，再利用三角函数知识对每个选项进行分析判断. 【详解】椭圆，，，则，，. 分析选项A，设，，.根据椭圆的定义. 设的内切圆半径为，根据三角形面积（为点纵坐标）. ，因为在椭圆上，，所以，故选项A正确. 分析选项B，在中，根据正弦定理. ，故选项B正确. 分析选项C，设离心率为，则， 由正弦定理可得， 即， 又，而，即， 因为， ， 所以，即， 化简得，即， 所以，故选项C正确. 分析选项D，令，则． 的面积：， 其中为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去得到点的轨迹方程为：. 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 所以的轨迹是以为长轴的椭圆去掉点，选项D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设直线和的方向向量分别为，且，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据直线垂直，直线的方向向量数量积为零的关系可得出关于t的表达式，根据表达式求出t的值即可. 【详解】由题意得，因为，所以， 即， 解得. 故答案为：. 13. 当直线被圆截得的弦长最短时，实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆截得的弦长最短时有，则，解出方程即可. 【详解】将直线，化为， 令，解得，所以直线过定点， 又圆的标准方程为，则圆心为， 由，则点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短， 则，解得． 故答案为：． 14. 已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，设线段中点，由中点坐标公式得，再利用两点间距离公式，代入化简即可. 【详解】由题：， 设，设线段中点， 则，即， 而 ， 所以，化简为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，切点分别为点，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由题设知圆心是线段的垂直平分线圆心与直线的交点，确定圆心坐标，进而半径，写出圆C的方程； （2）利用两点距离公式、切线的性质可得，再应用三角形面积公式求的面积，进而得到四边形的面积． 【小问1详解】 的中点坐标为，所以圆心在直线上， 又知圆心在直线上，所以圆心坐标是，圆的半径是， 所以圆的方程是． 【小问2详解】 四边形的面积 . 16. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，四棱锥的底面为矩形，底面.其中，点分别在棱上，且，点为棱的中点. （1）证明：； （2）已知，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示，连接 因为且，所以四边形为平行四边形． 所以， 由勾股定理得， 所以，所以，即， 又因为底面平面， 所以，且平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理得，再由线面垂直的判定定理、性质定理可得答案； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）证明：由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．联立： 所以 由 即（舍去）或 所以直线的恒过一定点． 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及顶点坐标即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据两点斜率公式化简得，即可求解. 【小问1详解】 由题意知：， 故椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 18. 如图，已知直三棱柱中，分别为棱的中点． （1）求三棱锥的体积． （2）设直线与平面的交点为，求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）三棱锥即为三棱锥，注意到平面，即为三棱锥的高，根据三棱锥体积公式即可得到答案； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和向量，即可得到线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为，且，平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， 所以:； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则有：， 所以：， 设平面的法向量为，则 即：，解之得：，所以， 因为直线，不妨设，即， 即，，又因为，所以， 所以，所以，设直线与平面夹角为， 所以. 19. 如图，过椭圆的左､右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”．已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为． （1）求“帽体段”的方程； （2）过的直线交“帽体段”于点，交“帽檐段”于点，点在轴的上方．设与的面积分别为： ①求的最大值； ②求使得取得最小值时的弦长． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求得坐标，由此求得椭圆的得椭圆方程； （2）①设，由余弦定理求得，结合可求得范围，然后可计算，结合基本不等式得最大值； ②在①基础上计算，令，平方化简并以为整体可求得最小值，从而得弦长． 【小问1详解】 由帽檐段所在的圆的方程可得， 即， 所以“帽体段”的方程为； 【小问2详解】 ①在中，设，则， 若设，且， ， ， 所以 ， 因为，当且仅当时，“”成立， 所以， 即； ②由①可得： ，令， 则 令，则 由, 所以， 当时，最小， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江淮名校2024-2025年度高二期中考试 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ） A. 长轴长为2 B. 短轴长为 C. 焦距为1 D. 离心率为 2. 纵截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，圆，以下说法不正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 7. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 10. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的正弦值为 11. 已知椭圆左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的内切圆半径的最大值为 B. C. D. 的内心在一定圆上 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设直线和的方向向量分别为，且，则__________． 13. 当直线被圆截得的弦长最短时，实数______． 14. 已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，切点分别为点，求四边形的面积． 16. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，四棱锥的底面为矩形，底面.其中，点分别在棱上，且，点为棱的中点. （1）证明：； （2）已知，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点． 18. 如图，已知直三棱柱中，分别为棱的中点． （1）求三棱锥的体积． （2）设直线与平面的交点为，求直线与平面夹角的正弦值． 19. 如图，过椭圆的左､右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”．已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为． （1）求“帽体段”的方程； （2）过的直线交“帽体段”于点，交“帽檐段”于点，点在轴的上方．设与的面积分别为： ①求的最大值； ②求使得取得最小值时的弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $