精品解析：安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题

安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题 命题单位：蚌埠第二中学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 4. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是 A. B. C. D. 7. 定义在上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若对，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 10. 若，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质．下列命题正确的有（ ） A. 函数在上具有性质 B. 若在上具有性质，则在上也具有性质 C. 若在上具有性质，且在处取得最大值1，则 D. 对任意，若在上具有性质，则恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____________． 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 14. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知是定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围． 17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 18. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． （1）试利用对数运算性质计算的值； （2）已知为正数，若，求的值； （3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题 命题单位：蚌埠第二中学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解． 【详解】由题意， 阴影部分为. 故选：D． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，进而得，再根据指数函数性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得， 所以， 令得， 所以， 所以的图象过定点. 故选：D. 4. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可. 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，，所以， 即，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：D. 5. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据奇偶性的判断可知f（x）为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解. 【详解】函数的定义域为{x|x±1}， f（﹣x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A， 当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法： （1）根据奇偶性判断； （2）根据特值判断； （3）根据单调性和趋势判断. 7. 定义在上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，根据题意得出函数在内单调递减；把不等式转化为，结合单调性和定义域即可求解. 【详解】不妨设任意的，， 因为，则， 所以， 所以在内单调递减. 不等式等价于，又， 所以等价于， 因为在内单调递减，所以， 即不等式的解集为. 故选：B. 8. 若对，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 即的取值范围为． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 10. 若，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先由题意得到，进而分析得与，从而判断BC，再举反例排除AD，从而得解. 【详解】因为，所以，则， 又由于，所以，，，则，故B正确； 因为，所以，故C正确； 当，，时，可，故A错误； 当，，时，，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，举反例排除AD，从而得解. 11. 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质．下列命题正确的有（ ） A. 函数在上具有性质 B. 若在上具有性质，则在上也具有性质 C. 若在上具有性质，且在处取得最大值1，则 D. 对任意，若在上具有性质，则恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由性质的定义判断A选项；举反例判断B选项；C选项，由可证得；D选项，由性质的定义证明. 【详解】对A，，对任意时， ， 满足，A选项正确； 对B，函数在上满足性质，证明方法同A选项， 对于函数，， ，不满足， 在上不满足性质，故B选项不成立； 对C：在上，在处取得最大值1，由， ，故， 所以对任意的，故C选项成立； 对D，对任意， 有 ， ，故D选项成立． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据对数运算法则化简即可求得结果. 【详解】． 故答案为：-2. 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】赋值求出，令，且，根据时，，得到，然后根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为， 令，则， 令，则， 令，且，则， 整理得， 因为，则，可得， 所以，即， 可知在定义域在上单调递增， 又因为，即， 可得，即， 由在定义域在上单调递增，可得，解得或， 所以不等式的解集为或． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围. 【小问1详解】 由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． 【小问2详解】 考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 16. 已知是定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）探讨函数的单调性，结合函数在区间上的值域，构造方程有两个不相等的正实根，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【小问1详解】 因为是定义在R上的奇函数，有，得， 则，因为函数定义域为R， ， 所以是奇函数，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 令， 因为在R上递增，所以在R上递减， 所以在R上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以， 解得，即的取值范围为 17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 【答案】（1） （2）时有最小值，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数； （2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值. 【小问1详解】 由题可先写出速度关于时间的函数， 代入与公式可得 解得； 【小问2详解】 ①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值； ②疲劳阶段， 则有， 当且仅当，即时，“”成立， 所以疲劳阶段中体力最低值为， 由于，因此，在时，运动员体力有最小值. 18. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． （1）试利用对数运算性质计算的值； （2）已知为正数，若，求的值； （3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】（1） （2） （3）610 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 由题意知，令，则， 所以， 所以； 【小问3详解】 设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明： ． （2）（ （3） 【解析】 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足，即. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为恒成立，故是奇函数． 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 所以，解得， 即所求不等式的解集为； 【小问3详解】 因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $