上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

交大附中高二期中数学试卷 2024.11 一.填空题 1.设集合A=(0,2),B=(1,3),则AUB= 2.不等式？2≤2x-3的解集为 3.函数y=l0g2(3x-2)的定义域是 4.直线x-2y-1=0的倾斜角的大小是 (用arctan表示) 5.若直线x+2y-a=0与圆x2+y2=2相切，则实数a= ,y2 号的焦距为2，若众c依次成等比数列，则该狐的离 6.1 7.已知单位向量g与e,的夹角为arccos二，向量a=3e-2e,与b=3祀-e,的夹角为a: 3 则coSa=】 8.若关于x的方程5=a+ 有负实数根，则实数a的取值范围是 a-3 9.设f(x)=x2-1,对任意x∈[l,+o),-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是 10.平面直角坐标系中的点集2={(x,y)川xcos0+ysin0=4+sin0+2cos0,0∈R},则集 合Ω中任意一点到坐标原点距离的最小值为 11.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块矩形 地块PQDR(不改变方位)建造一幢公寓(P、Q、R分别在 线段AB、CD、DE上)，若|BC=70米，|CD=80米， |DE=100米，IEA=60米，∠AED=∠EDC=∠DCB= π 则该矩形地块的面积最大值为 平方米 (结果精确到1平方米) 12.若{an}是以a为首项，d为公差的等差数列，{bn}是以b为首项，g为公比的等比数列， 则下列说法正确的是 ①存在实数a,使得不存在实数d≠0，满足数列{sin(an)}是常数列： ②存在实数d≠0，使得对任意实数a,，满足数列{sin(an)}都是常数列； ③存在实数b≠0，使得不存在实数q≠0、1，满足数列{sin(bn)}是常数列： ④存在实数b,≠0，使得有无穷多个实数g≠0、1，满足数列{sin(bn)}是常数列. 二.选择题 13.在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于第()象限 A.- B.二 C.三 D.四 14.若a:2x=2kx+T(k∈Z),B:tanx=1,则a是B的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 15.下列命题： ①若空间四点共面，则其中必有三点共线： ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面： ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线 其中真命题的个数是()个 A.1 B.2 C.3 D.4 16.若动点P(m,n)以等角速度o在单位圆上逆时针运动，则点Q(-2mn,n2-m2)的运动 方式是( ) A.以角速度o在单位圆上顺时针运动 B.以角速度o在单位圆上逆时针运动 C.以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 D.以角速度2)在单位圆上逆时针运动 三.解答题 17.已知a、b为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线l:ax+by+4=0, l2:(a-1)x+y-2=0,g3:x+2y+3=0. (1)若1⊥2，且l经过点(-1,1)，求实数a、b的值： (2)若l∥12且L⊥，求实数a、b的值. 18.已知数列{an}的各项均为正实数，a1=3,且an=4an1+3（n≥2). (1)求证：数列{an+1}是等比数列： 1,n=1 (2)若数列亿，}满足b,=1og4(a+ ,求数列{b}中的最大项与最小项」 2,n≥2 n-1 19.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM、 ON围成一个如图所示的凸四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长). 已知PAHPB10米，∠A0P=∠B0P=年，∠0AP=∠08R.设∠01P=8, 四边形OAPB的面积为S. N (1)将S表示为0的函数，并写出自变量0的取值范围： B (2)求出S的最大值，并指出此时所对应B的值， M A 20已知椭圆「：香+号=1的左、右焦点分别为、乃，过5的直线1与格圆r交于 P、Q两点. (1)求△FPQ的周长： 2 (2)设点A为椭圆T的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AE上.若FM=二FP, 求点P的横坐标； (3)设直线1不垂直于坐标轴，点R为点P关于x轴的对称点，直线QR与x轴交于点N. 求△QFW面积的最大值. 21.在平面直角坐标系中，若点P(x。,y)满足x。、y都是整数，则称点P为格点. (1)指出椭圆女+上=1上的所有格点 82 (2)设A、B是抛物线y=x2上的两个不同的格点，且线段AB的长度是正整数，求直 线AB的斜率的所有可能值组成的集合： （3)设m(m∈N且m≥3)项的数列包，}满足：点Q.a,a)是函数y名F-4的 图像上的格点(n=1、2、、m-1),是否存在正整数b,使得数列{a,}为等差数列？ 若存在，请求出正整数b的值；若不存在，请说明理由。 四.附加题 世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了各种形状的多边形“轮子” (1)如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形ABCD,其初始位置为A(O,0)、 B(1,0)、C(1,1)、D(0,1) 0() ①将整个正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使点C首次旋转到x轴正半轴上停止； ②再将整个正方形ABCD绕点C顺时针旋转，使点D首次选择到x轴正半轴上停止： ③再将整个正方形ABCD绕点D顺时针旋转，使点A首次选择到x轴正半轴上停止： ④再将整个正方形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B首次选择到x轴正半轴上停止. 我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形ABCD旋转一周.为使点B向x轴正方向 移动100个单位长度，需要将正方形ABCD旋转 周，在这个过程中，点A旋转经 过的路径总长度为 个单位长度： (2)如果制造一个正n边形的“轮子”，该正n边形的中心到一个顶点P的距离为1，若将 该正n边形的“轮子”滚动一周，求点P经过的路径总长度； (3)根据(2)中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经 过的路径总长度是多少？（不必说明理由） 参考答案 一.填空题 1.(0,3) 2.3} 3.( 4.arctan- 5.±10 65-1 2v2 8.a<-3 2 3 9.（-00, 2 10.4-√5 11.6017 12.②③④ 【第10题】 解：由于直线xcos0+ysin0=4+sin0+2cos0到点(2,1)的距离等于4，所以集 合2中所有的点都在以点(2,1)为圆心，4为半径的圆上或圆外，所以集合2中任意一点 到坐标原点距离的最小值为4-√5. 【第12题】 解：②③④ d=2π，则对任意a,sin(an)=sin(a)恒成立，故①错②对. 取b,=π，任取g∈Z.则bn=g"-，sin(bn)=0恒成立. 故④正确. (更强的命愿·6=二则均存在无数个g≠1，使得si6,)为常数，取g=2s+1,ke乙 即可) 只证明③.取b=l,假设{sin(bn》为常数列，则 bn=q"=1+2k或π-1+2k元 取n=2,则g=1+2kπ或π-1+2kπ=-1+(2k-1)m n=3,则g2=1+2k2或π-1+2k2元 情况一9=1+2kπ(k1≠0以92=1+2k2π 则(1+2kπ=1+2k2π，这是一个关于π的一元二次方程，但这是不可能的（π是超 越数) 其他情况同理。所以这样的等比数列不存在. 二，选择题 13.B 14.C 15.B 16.C 三.解答题 17. a=2a=-2 解： (1)由题意得 a(a-1)+b=0 解得 -a+b+4=0 1b=-2b=-6 a=1 a=b(a-1) a=0 (2)由题意得 解得 a+2b=0 1或 b= 2 b=0 (舍)： a=1 所以实数a,b的值为 ,1 b=2 18. 解：(1)由于a,+1≠0，所以an+1≠0， 而a,+1=4a+),所以8，+=4为常数， an-1+1 因此数列{an+l}是等比数列： (2)由(1)，a.+1=4“,所以n22时，b,=” 1+1 n-1n-1 所以b2>b3>…,且bn>1(n≥2) 所以数列{b}中的最大项是b2=2,最小项是b=1. 19. 解：(1)在△PAO中，由正弦定理，得 OA 1oP_PA-=10N2, π sin 4π-0 sin0 sin 4 于是04=10w5sim-0小1o-10w2sin0, Swo-o4oPsn子-s0Esm9snm(2-0小， 所以四边形01P8的面积为S=10v反sn0sn(目-0小9e气仔子j (2)sin0sin =100(sin0cos0+sin20) -1005m29+1-g62） =505sm20-50,0e4rr月 所以，当9=3严时，四边形0APB的面积S取得最大值S=50(V反+1： 8 20. 解：①椭圆工纤+犬 。=1的长轴长为4， 由椭圆定义知，△FP2的周长为8； (2)由椭圆方程得A0,V3,F(-1,0),E(0,1),设P(:,),M(x2,y2), 由丽-号和，得x+1-+0为-子：⑩ 点M线段AE上，所以x2,y2满足方程为y2=-V5(x2-1) 将①式代入，得y=-V3(x-2), 代入椭圆方程，得5x2-16x+12=0, 因为>0，所以写号 (3)设P(x,y),Q(x3,y),N(n,0),直线1的方程为y=k(x-1) 则点R的坐标为（飞，一），直线QR的方程为y=上+当(x-x)+, X3一 n=名-s-.y+x送-25-6+ 为3+乃 为+为 x+x3-2 将直线方程代入椭圆方程得： (3+42)x2-8k2x+42-12=0,则x+无=， 8k2 4k2-12 3+4k2’5= 3+4k21 2(4k2-12)8k2 所以n= 3+4k2 3+4k2=4, 8k2 3+4k2~2 5.onw -x(4-1)xs5 1 2 所以△O5N面积的最大值为35 21. 解：（1)(2,1)、(-2,1)、(-2，-1)(2，-1)： (2)设A(a,a)、B(b,b),(a,b∈Z且a≠b), 则|AB=V(a-b)2+(a2-b2)2a-b1V1+(a+b)2为正整数，记为t, 所以1+(a+b)2=, (a-b)2 由于a,b,t都是整数，所以(a+b)2与(a+b)2+1都是完全平方数，故只能有(a+b)2=0, 因t太-4-么_a十白=0，直线6B的斜率的所有可能值组成的集合是0. a-b 2 (3)存在正实数b,使得数列{an}为等差数列，记公差为d b 则a=a,+d（n=l2,,m-1)且am-2匠-4， 所以a,a2,,an是方程V-4=x+d的实数解. @d=0时，则P-4=x有正整数解. 所以必有x2=4+ 16是整数，所以正整数b只可能使得b2-4=1,24,816,逐- b2-4 验证发现都不符合题意，所以d=0时不存在正整数b,使得数列{an}为等差数列. ®d≠0时，则2-4=x+d有至少两个不相等的整数解， 2 而方程V一4=x+d至多有两个不相等的实数解，所以只能m=3, 2 √X-4=x+d恰有两个不相等的整数解， 且 2 则直线y=x+d与双曲线父_ =1的上半部分必有两个公共点， 4b2 得0<b<2且-2<d<-√4-b2,而b是正整数，d是整数，所以只可能b=1,d=-1, 代回验证发现不符题意，所以也不存在正整数b，使得数列{an}为等差数列. 综上，不存在正整数b,使得数列{an}为等差数列. 四.附加题 解： (1)25周， 2+V2 2 元； (2)总路径1=2匹(2sin+2sim2红++2sin-1乃 n n n 又有： 2sin sinT+2sin 2 -sin- +…+2sin in(n-1)π -sin 2n n 2n n 2n n 3元、 =(cos -cos35+eos3江-c0s5马++(eos2n-3rc0s2n1西 2n 2n 2n 2n 2n 2n =coS -co (2n-1)元 2n 2n 2π(co πn(2n-1)元、 --c0s 所以1= 2n 2n π nsin 2n 2(cos -cos 2n-)匹 (3)1=lim 2n 2n -=8 i→+0 nsin 2n