精品解析：重庆市第一一〇中学校集团五校联考2024-2025学年九年级上学期数学期中期学情调查试题

2024-2025学年上期九年级学情调查 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 如图,是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 2 B. 6 C. 9 D. 18 6. 若，则整数m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了3根木棍，第②个图案用了6根木棍第③个图案用了10根木棍，第④个图案用了15根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 45 9. 如图，在中，，，点E是边上一点，点F是延长线上一点，，．连接，与相交于点D，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有6组解．其中错误说法的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：______． 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 13. 在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是______． 14. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被7整除的概率为______． 15. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于______． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为______． 17. 如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为______． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数”．例如：四位数，∵，∴是“增长数”：又如：四位数，，不是“增长数”，若一个“增长数”为，则的值为______；若一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被整除，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题（共8小题，19题8分，20-26每题10分，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 21. 在2024巴黎奥运会上，中国运动代表团取得了优异的成绩，为了了解中学生对奥运会的关注程度，在八年级和九年级各自随机调查了20位学生在奥运会期间平均每天观看奥运会的时长（单位：分钟），并对收集的数据进行了整理、描述和分析（观看时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： “八年级”观看时长在C等级中的全部数据为：40，40，40，50，50，50，50，50，50； “九年级”的观看时长中，B，D两等级的数据个数相同； A，C两等级的全部数据为：40，40，40，40，40，40，40，50，50，50 两个年级观看时长统计表 年级 八年级 九年级 平均数 45 45 中位数 a 40 众数 50 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为______； （2）根据以上数据分析，从两个年级的观看时长来看，哪个年级更关注奥运会？请说明理由； （3）九年级共有1600名学生，请根据调查数据估计九年级平均每天观看时长低于40分钟的学生人数有多少人； 22. 如图，直线经过矩形的对角线的中点O，分别与矩形的两边相交于点E、F． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 23. 如图1，在等边中，，D为上一点，，动点P从点A出发，沿着方向运动至点B处停止．连接、，设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）直接写出y与x的表达式； （2）请在图2中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； （3）图2中已画出在第一象限的图象，根据函数图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． 24. 学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 26. 已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，与相交于点M，； （1）如图1，求的度数； （2）如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，证明：． （3）如图3，若，连接，以为边，向下做等边，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期九年级学情调查 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，深刻理解绝对值的性质是解题的关键：①当是正数时，；②当是负数时，；③当时，． 根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零即可解决问题． 【详解】解：的绝对值是， 故选：． 2. 如图,是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 【详解】解：此几何体的左视图有2列，从左往右小正方体的个数为2，1， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握画三视图时，所看到的棱，都要用实线表示出来． 3. 函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数，中的意义，根据题意，函数图象过点，则，进行计算，即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴． 故选：D． 4. 如图，下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、符合两边及其夹角法，故本选项正确，不符合题意； B、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； C、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； D、由，得，不符合两边及其夹角法，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 2 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O，， ∴，， ，， ， ∵的面积为2， ． 故选：D． 6. 若，则整数m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的取值范围，进而求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴整数m的值是0， 故选：A． 7. 某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，第二次降价后的售价是原来的，列出方程，即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ∵商品原价为元，经连续两次降价后售价为元， ∴方程为：， 故选：B． 8. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了3根木棍，第②个图案用了6根木棍第③个图案用了10根木棍，第④个图案用了15根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是图形所需小木棍数的规律． 根据图形可以写出前几个图案需要的小木棍的数量，即可发现小木棍数量的变化规律：，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，图案①有：根小木棍， 图案②有：根小木棍， 图案③有：根小木棍， ， 第n个图案有∶ 根小木棍 第⑧个图案有：根小木棍， 故选：D． 9. 如图，在中，，，点E是边上一点，点F是延长线上一点，，．连接，与相交于点D，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线，勾股定理，过作交于，先求出，再证明得到，即可根据斜边中线性质得到，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过作交于， ∵中，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即为中点， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有6组解．其中错误说法的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】①将，，，代入方程验算即可判断说法①；②设，则，，，代入方程检验即可判断说法②；③设，，代入方程验算可知，正整数a，b，c，d满足，且，，一定是该四元方程的解，当时，分三种情况讨论：当时，有组解；当时，有组解；当时，有组解；据此即可判断说法③；综合以上，即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， ， ， ，，，是该四元方程的一组解， 故说法①正确； 设，则，，， ， ， ， 连续的四个正整数一定是该四元方程的解， 故说法②正确； 设，， ， ， ， 正整数a，b，c，d满足，且，，一定是该四元方程的解， 当时，分三种情况讨论： 当时，，解为：，，，；，，，；，，，； 当时，，解为：，，，；，，，； 当时，，解为：，，，； 该四元方程有组解， 故说法③正确； 综上所述，正确的说法有：， 错误说法的个数是， 故选：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，含乘方的有理数混合运算，方程的解的定义，整式的加减运算，完全平方公式等知识点，深刻理解方程的解的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后进行加法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移和中心对称的性质，设，由平移得，再利用旋转可得，，即可得解． 【详解】解：设点的坐标为， 点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点， ∴， 把点绕原点旋转得到点， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被7整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查的是列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被7整除的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被7整除的结果有6种， 两位数能被7整除的概率为， 故答案为：． 15. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，，再把代数式适当变形，然后将式子的值代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， 即：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，等式的性质，提公因式法分解因式，代数式求值等知识点，利用一元二次方程的解的定义得出式子的值是解题的关键． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式解的情况确定字母的取值范围，解含参数的分数方程等知识．先求出一元一次不等式组的解集，根据它有且只有3个整数解，求得的取值范围；解分式方程得，根据其解为整数，结合求得所有符合条件的的值，将这些值相加即可． 【详解】解：由题意得关于x的一元一次不等式组得， ∵原不等式组有且只有3个整数解， ，即， 解分式方程得解为， ∵当是原分式方程无解， ． ，且， ∵为整数， 或0， 当时，， 当时，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，过作交于，交于，先证明，，设，，则，，，再证明，得到，，解得，然后表示，在中利用勾股定理列方程求出，最后根据四边形是矩形，得到点到的距离为． 【详解】解：如图，过作交于，交于，则， ∵正方形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴，则， 设，，则，，， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴周长为， 周长为， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 在中， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴点到的距离为， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数”．例如：四位数，∵，∴是“增长数”：又如：四位数，，不是“增长数”，若一个“增长数”为，则的值为______；若一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被整除，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是根据题意，则，解出；根据题意，找到满足的最大值，即可． 【详解】解：∵“增长数”满足， ∴“增长数”满足 ∴； ∵一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数” ∴， ∴， ∵一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去， ∴， ， ， ， ， ∵“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，能被整除， ∴是的倍数， ∴是的倍数， 当最大时，最大， ∵，，，均不为， ∴最大为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：①；②． 三、解答题（共8小题，19题8分，20-26每题10分，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 【答案】 作图如下： ①；②；③；④两交点到顶点的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明全等是解题的关键．用尺规作图作出过A与垂直的垂线；由菱形的性质易证，则可得；由此可归纳出结论． 【详解】解：证明：四边形是菱形， ，，； ， ； ， ， ， ； 由上证明知：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等． 故答案为：①；②；③；④两交点到顶点的距离相等． 21. 在2024巴黎奥运会上，中国运动代表团取得了优异的成绩，为了了解中学生对奥运会的关注程度，在八年级和九年级各自随机调查了20位学生在奥运会期间平均每天观看奥运会的时长（单位：分钟），并对收集的数据进行了整理、描述和分析（观看时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： “八年级”观看时长在C等级中的全部数据为：40，40，40，50，50，50，50，50，50； “九年级”的观看时长中，B，D两等级的数据个数相同； A，C两等级的全部数据为：40，40，40，40，40，40，40，50，50，50 两个年级观看时长统计表 年级 八年级 九年级 平均数 45 45 中位数 a 40 众数 50 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为______； （2）根据以上数据分析，从两个年级的观看时长来看，哪个年级更关注奥运会？请说明理由； （3）九年级共有1600名学生，请根据调查数据估计九年级平均每天观看时长低于40分钟的学生人数有多少人； 【答案】（1），， （2） 解：八年级更关注奥运会，理由如下： 由以上数据可知，两个年级观看时长的平均数相等，而八年级观看时长的中位数、众数均大于九年级，因而八年级更关注奥运会； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出八年级、等级的人数，然后利用“八年级”观看时长在C等级中的全部数据，即可得出八年级的中位数；先根据九年级A，C两等级的人数求出九年级B，D两等级的总人数，再根据“九年级”的观看时长中B、D两等级的数据个数相同，即可求出九年级B，D两等级各有多少人，再结合九年级A，C两等级的全部数据，即可得出九年级的众数；由扇形统计图可得出八年级组扇形统计图中C所在扇形所占的百分比，据此即可求出八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数； （2）根据平均数、中位数、众数的大小比较得出结论； （3）由九年级A，C两等级的全部数据可知九年级A等级的人数为，由（1）可知九年级B等级有人，因而可知九年级A，B两等级的总人数为人，利用样本估计总体，即可估计出在九年级的1600名学生中平均每天观看时长低于40分钟的学生人数大约有多少人． 【小问1详解】 解：八年级、等级的人数为： （人）， 八年级的中位数：， 九年级A，C两等级共有人， 九年级B，D两等级共有：（人）， 又“九年级”的观看时长中，B，D两等级的数据个数相同， 九年级B，D两等级各有：（人）， 九年级的众数：， 八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为： ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由九年级A，C两等级的全部数据可知：九年级A等级的人数为， 由（1）可知：九年级B等级有人， 九年级A，B两等级的总人数为：（人）， （人）， 在九年级的1600名学生中，估计平均每天观看时长低于40分钟的学生人数大约有人． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，平均数的概念，中位数的概念，众数的概念，用样本估计总体等知识点，深刻理解相关概念是解题的关键． 22. 如图，直线经过矩形的对角线的中点O，分别与矩形的两边相交于点E、F． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，证明，即可得到结论； （）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，由证明四边形是菱形，由勾股定理求出，设，得到，根据勾股定理得到和，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 如图1，在等边中，，D为上一点，，动点P从点A出发，沿着方向运动至点B处停止．连接、，设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）直接写出y与x的表达式； （2）请在图2中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； （3）图2中已画出在第一象限的图象，根据函数图象，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： 由图象可得，函数有最大值为6． （3）． 【解析】 【分析】（1）分点P在上运动、点P在上运动两种情况讨论，分别根据三角形的面积公式求解即可； （2）先根据题意画出图象，再根据函数图象得出函数的性质即可； （3）求出函数图象交点坐标，再根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：过点P作于点H， 在等边中，， ∴， ∵, 当点P在上运动，即时，则； 当点P在上运动时，则， 在等边中，， ∴， ∵, ∴， 综上，． 【小问2详解】 解：先列表如下： x 0 4 8 y 0 6 0 函数图象略． 【小问3详解】 解：当时，解得或（不合题意，舍去）， 当时，解得或（不合题意，舍去）， 根据函数图象可得：当时，自变量的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、求函数解析式、画函数图象、三角形面积、运用函数图象解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键． 24. 学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 【答案】（1）每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； （2）每支钢笔的售价为17元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，根据题目的条件找准等量关系，并正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元，利用数量总价单价，结合购进笔记本的数量是钢笔的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元，每天可售出支，利用总利润每支钢笔的销售利润日销售量每个笔记本的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； 【小问2详解】 设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元， 则每天可售出支， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每支钢笔的售价为17元． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、等腰三角形定义、勾股定理等知识点． （1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可； （3）分，，三种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 设点Q的坐标为，则 ，，， 当时， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或 当时， ，解得或， ∴点Q的坐标为或 当时， ， 解得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或或或或． 26. 已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，与相交于点M，； （1）如图1，求的度数； （2）如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，证明：． （3）如图3，若，连接，以为边，向下做等边，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解：如图2，延长至，使，延长至，使，连接、、， ， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ∵， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， 即， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由为等边三角形，结合证明，得到，即可得到，最后根据三角形内角和求的度数； （2）延长至，使，延长至，使，连接、、，可得到，和都是等边三角形，即可证明，得到，再由是的中位线，得到，最后根据证明即可； （3）在上取一点，使，连接，过作于，使，过作于，由等边三角形和得到，即可得到，，，点在直线上运动，当点与点重合时，最小，此时，求出的长度，再证明，得到，即可求出，，再求出代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，使，连接，过作于，使，过作于， ∵，， 是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当点与点重合时，最小， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $