精品解析：天津市南开区2024-2025学年八年级上学期期中监测数学试卷

2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（一） 八年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 3. 如图，，，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，下列添加任何条件不能证明是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，垂足为点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 8. 如图，在中，，和平分线分别交于点，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，于点，于点，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和均为的外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下五个结论：；；；为等边三角形；．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 如图，边长为的正三角形向右平移，得到正三角形，此时阴影部分的周长为______． 14. 已知三角形的三边长分别是，，，那么整数的值是______． 15. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 16. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为______（度）． 17. 如图，六边形的每个内角都是，且，，则的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1）______（度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且使点的纵坐标为． （1）请在图中画出平面直角坐标系； （2）在图中作出关于轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； （3）若在该坐标系内，存在一点，使得与全等，直接写出两个符合条件的点的坐标． 20. 在中，是角平分线，点在边上，与交于点． （1）如图，若是中线，，，填空：与周长差为______； （2）如图，若是高，，填空：为______（度）； （3）请在图中利用尺规作图画出的角平分线，射线分别与，相交于点，；（保留作图痕迹，不写画法） 若，根据你的作图求出的度数． 21. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 22. 如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 23. 在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． （1）如图，当时，______（度），______（度）； （2）如图，若，证明：； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（一） 八年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等形的形状相同、大小相等逐项分析即可． 【详解】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 解：A、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意； B、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意； D、两个图形的大小不一样，不是全等形，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形． 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．熟知三角形的稳定性是关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：． 3. 如图，，，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，由，则，然后根据线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义判断即可解答． 【详解】∵过点C，且， ∴边上的高是． 故选：A 5. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角的定义及性质；由三角板可得，，再由三角形的外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】解：如图： ， 根据三角板可得，， 则， 故， 故选：B． 6. 如图，已知，下列添加任何条件不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：在和中 ． ， ． ． 在和中 ． 在和中 ． 故B、C、D选项正确符合题意，A选项不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在中，，，，垂足为点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，延长交于，由已知条件可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，又由可得，继而得到，即可得解．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴的长为． 故选：B． 8. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，于点，于点，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形判定与性质，等腰三角形的面积公式，由，则，又，故，因此，从而得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，和均为外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形形内角平分线，三角形外角性质，由三角形外角的性质和对顶角相等可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；角平分线的定义，三角形外角的性质，根据角平分线的定义和平角判定选项； 由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定； 利用三角形外角的性质可得，结合 可判定；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A项错误，符合题意； ∵平分，平分， ∴，， ∴, ∵， ∴，即，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：． 11. 现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，先求出，设运动时间为秒，则，，，然后分当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴乙机器人的运动速度为； 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴乙机器人的运动速度为； 故选：． 12. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下五个结论：；；；为等边三角形；．其中正确结论个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定 ， 根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，正确；先证明即可判断出即可得正确；根据，可得为等边三角形，证出得出，正确；没有条件证出，得出错误；⑤ ，⑤正确，即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形，结论正确； ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴ ∴，结论正确； 没有条件证出，错误； 综上，可得正确的结论有个：， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 如图，边长为的正三角形向右平移，得到正三角形，此时阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，平移的性质，利用等边三角形的性质得到，，再根据平移的性质得到，，，于是可判断阴影部分为等边三角形，从而得到阴影部分的周长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵等边向右平移得到， ∴，， ∴，， ∴阴影部分为等边三角形， ∴阴影部分的周长为， 故答案为： 14. 已知三角形的三边长分别是，，，那么整数的值是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】此题考查三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是，，， ∴， 解得：， ∵是整数， ∴的值是或或， 故答案为：或或． 15. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】设多边形边数为n， 根据题意有， 解得 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 16. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为______（度）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵分别是边的垂直平分线， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，六边形的每个内角都是，且，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，延长并反向延长，构成等边三角形，再利用等边三角形的三边相等，利用各线段之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，延长并反向延长， ∵六边形的每个内角都是， ∴， ∴都是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1）______（度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. 45 ②. 如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答的关键． （1）利用网格特点和等腰三角形直角三角形的判定与性质求解即可； （2）利用勾股定理和和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解． 【详解】解：（1）由网格得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且使点的纵坐标为． （1）请在图中画出平面直角坐标系； （2）在图中作出关于轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； （3）若在该坐标系内，存在一点，使得与全等，直接写出两个符合条件的点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2），，； （3）符合条件的的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）根据与关于轴对称，且使点的纵坐标为，建立平面直角坐标系即可； （）找出点，，关于轴对称的点，，，然后连接即可； （）根据全等三角形的性质，找到的点即可； 本题考查了平面直角坐标系，轴对称，全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵与关于轴对称，且使点的纵坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， 【小问2详解】 解：如图，找出点，，关于轴对称的点，，，然后连接， ∴，，； 【小问3详解】 解：如图， ∴符合条件的的坐标为或或． 20. 在中，是角平分线，点在边上，与交于点． （1）如图，若是中线，，，填空：与的周长差为______； （2）如图，若是高，，填空：为______（度）； （3）请在图中利用尺规作图画出的角平分线，射线分别与，相交于点，；（保留作图痕迹，不写画法） 若，根据你的作图求出的度数． 【答案】（1）； （2）； （3）作图见解析；的度数为． 【解析】 【分析】（）根据中线可得，再由周长为，的周长为，然后求差即可； （）由得，由角平分线得，然后通过三角形的外角性质即可求解； （）根据尺规作图——作角平分线即可； 先由内角和定理得，再根据角平分线的定义求出∴，最后再由三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形中线、角平分线、高，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是中线， ∴， ∵周长为，的周长为， ∴与的周长差为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质， （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得证； （2）由可得，进而由直角三角形的性质可得，又可得是等边三角形，得到，即可得解； 掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得出，再利用“”即可证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 23. 在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． （1）如图，当时，______（度），______（度）； （2）如图，若，证明：； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 【解析】 【分析】（）根据三角形内角和定理得到，然后利用，，即可得解； （）首先推导出进一步推导出，利用外角的性质得到，利用证明即可； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问3详解】 解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下: ∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 24. 在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得； （2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证； ②证明得，得到，，再根据，可得结论． 【小问1详解】 解：∵点与点关于轴对称，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ①证明：过点作于点， 又∵， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； ②解：由①知：， ∴， 和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $