精品解析：福建省莆田第五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

莆田五中2024-2025上学期高二年段数学期中考试卷 命题人：谢佳萍 审核人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 方程表示的曲线中，可以是（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆相交所得公共弦长为__________． 13. 若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为________． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 17. 某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. （1）求圆C的方程. （2）规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：∥平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田五中2024-2025上学期高二年段数学期中考试卷 命题人：谢佳萍 审核人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可. 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与直线平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与直线平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：A. 4. 由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径， 如图，切线长，当最小时，最小， 最小值为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值. 故选：C. 5. 点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 6. 已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据推断出，进而根据勾股定理可知，把进而整理关于a和c的方程求得即离心率e的值. 【详解】 ，， ，即， 整理得，即， 等号两边同时除以得，即，求得， ，， 故选：B. 7. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】弦中点问题，用点差法求出直线斜率与之间的关系，然后再由即可求出. 【详解】设，则，直线的斜率， 把两点代入椭圆方程得：，， 两式作差得： ，即， 又因为，即，解得：， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A 8. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 方程表示的曲线中，可以是（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程即可判断. 【详解】当，且，即时，方程表示椭圆， 当即时，方程表示双曲线，故AB正确； 要想表示圆，则无解，故C错误； 直线为一次曲线，故D错误. 故选：AB 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆相交所得公共弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 13. 若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，在根据双曲线的定义求出双曲线的，再求双曲线的. 【详解】椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，根据双曲线的定义可得：，解得，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解. 【详解】设，因为点，，， 所以，即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 16. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. 【小问1详解】 联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 17. 某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. （1）求圆C的方程. （2）规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】（1）；（或） （2）小次车会进入安全预警区，理由如下： 圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：∥平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明如下： 如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又，， ，， 所以四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. （2）（i）； （ii）存在点，. 【解析】 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，又，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ，又， 所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， （i）设平面的一个法向量为，则 ，即，令，可得，， ， 又平面的一个法向量为， ， 所以二面角的余弦值为. （ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设，，， ， 由（i）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 则，解得或， 又，所以， 即存在点到平面的距离为，且. 19. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）① 证明：由消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为， 故的面积为定值． ②不存在，理由如下： 假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可； （2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论． 【小问1详解】 由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $