专题09 二元一次方程组易错必刷题型专训（57题19个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题09 二元一次方程组组易错必刷题型专训（57题19个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东惠州·期末）若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元． (1)试列出关于x，y的二元一次方程：__________________． (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数． (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）某人身上只带有2元和5元两种货币，他买一件物品需支付27元，则付款恰好不用找零的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【易错必刷三 二元一次方程组的解求参数】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知是方程的解，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组】 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【易错必刷五 代入消元法】 1．（24-25七年级上·全国·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程组中，m与n互为相反数，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【易错必刷六 加减消元法】 1．（23-24七年级上·全国·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（      ） A．①② B．①② C．①② D．①② 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【易错必刷七 二元一次方程组的特殊解法】 1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）若x，y满足方程组，则的值为（    ） A．17 B．9 C．21 D．7 2．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【易错必刷八 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级上·山东泰安·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 3．（23-24七年级上·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【易错必刷九 方案问题】 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 种． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上） (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 【易错必刷十 行程问题】 1．（23-24七年级上·山东德州·期中）滨德高速（S12）是连通滨州德州的重要路线，全长约144km．一辆小汽车，一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，“……”．设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h．可以列出方程组为．则“……”处省略的条件为（   ） A．相遇时货车比小汽车多行12km B．相遇45分钟后货车比小汽车少行12km C．相遇时小汽车比货车多行12km D．相遇45分钟后小汽车比货车多行12km 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）甲地到乙地全程，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果上坡路的平均速度为，下坡路的平均速度为．若小明走路从甲地到乙地需小时，从乙地走路到甲地需小时，来回走平路分别都用了小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程． 【易错必刷十一 工程问题】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 2．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【易错必刷十二 数字问题】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24七年级上·天津西青·期末）将9个数填入正方形的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图①就是填好的一个正方形，图②中已经填好一部分数字．    （1）图②中是否存在正整数x，y满足上述条件？ （填“是”或“否”）． （2）若图②中存在正整数x，y满足上述条件，请写出x与y的乘积：若不存在，请说明理由． ． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【易错必刷十三 分配问题】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（    ）    A．15 B．16 C．17 D．19 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个    3．（2024·安徽合肥·模拟预测）小明在某商店购买商品A，共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第 次购物打了折扣； (2)求出商品A、B的标价； 【易错必刷十四 销售利润问题】 1．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 2．（23-24七年级上·全国·假期作业）小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量/件 购买商品B的数量/件 购买总费用/元 第一次购物 4 3 93 第二次购物 6 6 162 若小明需要购买3件商品A和2件商品B，则他需要花费 元． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）某服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)问：A，B两种服装各购进多少件？ (2)如果A型服装按标价的7折出售，B型服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元 【易错必刷十五 和差倍分问题】 1．（23-24七年级上·全国·随堂练习）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（　　） A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 3．（2024·吉林松原·一模）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了、两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ 【易错必刷十六 几何问题】 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，两根铁棒直立于桶底在水平面的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的．两根铁棒长度之和为，则两根铁棒的长度分别为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【易错必刷十七 其他问题】 1．（2024·云南·模拟预测）为传承优秀传统文化，某校为各班购进《水浒传》和《三国演义》连环画若干套，据了解，购买5套《水浒传》和2套《三国演义》共需480元，购买3套《水浒传》和2套《三国演义》共需360元，则每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是（     ） A．90 元， 60元 B．30元， 150元 C．150元， 30元 D．60 元， 90 元 2．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）据某市旅游局发布信息，今年五一假期期间，市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长和，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．则某市去年外来旅游的人数是 万人． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． (1)若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元．问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？ (2)在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润＝销售额－原料费－运输费） 【易错必刷十八 三元一次方程组的定义及解】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【易错必刷十九 三元一次方程组的应用】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2024七年级·全国·竞赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：3千克水果，6千克水果；乙种搭配：2千克种水果，5千克水果，1千克水果；丙种搭配：3千克水果，7千克水果，1千克水果．已知水果每千克4元，水果每千克5元，水果每千克8元，某天该商店销售这三种搭配共得1630元，某中水果的销售额为384元，则水果的销售额为 元． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二元一次方程组组易错必刷题型专训（57题19个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是二元一次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东惠州·期末）若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 【答案】2，1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解二元一次方程组，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ，解得：； 故答案为：2，1． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元． (1)试列出关于x，y的二元一次方程：__________________． (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数． (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数． 【答案】(1) (2)4个 (3)5个 【分析】本题考查了列二元一次方程以及解一元一次方程的知识， （1）依据题意直接列式即可； （2）令，代入（1）的方程，解出即可作答； （3）令，代入（1）的方程，解出即可作答； 【详解】（1）根据题意有：， 故答案为：； （2）令，则有， 解得：， 即乙种奖章的个数为4个； （3）令，则有， 解得：， 即甲种奖章的个数为5个． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）某人身上只带有2元和5元两种货币，他买一件物品需支付27元，则付款恰好不用找零的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设付款时用了2元x张，5元y张，再利用买一件物品需支付27元，再建立二元一次方程求解即可． 【详解】解：设付款时用了2元x张，5元y张． ∴， ∵x和y只能取正整数． ∴当时，；当时，，当时，． ∴付款恰好不用找零的方法有3种； 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故答案为：4． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 【易错必刷三 二元一次方程组的解求参数】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知是方程的解，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程解的定义和一元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键．根据方程解的定义，把代入方程进行求解即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， 解得． 故选：C 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解， （1）根据和都是关于x、y的二元一次方程的解，得出，问题随之得解； （2）根据也是方程的解，得出，求出b的值即可． 【详解】（1）依题意得：， ， 解得； （2）由（1）得：， 是方程的一个解， 即． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组】 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 【易错必刷五 代入消元法】 1．（24-25七年级上·全国·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程组中，m与n互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组以及相反数的定义，先根据m与n互为相反数，得出，则方程组整理为，故得出，即可作答． 【详解】解：∵m与n互为相反数， ∴， 则方程组整理为， ∴得出， 则， 故答案为：2． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【答案】上面的两种解答均不正确，理由和过程见解析 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．根据二元一次方程组的解法分析即可． 【详解】解：上面的两种解答均不正确．理由如下： 解法一：犯了循环代入的错误，即③是由①变形得到的，再将其代入①，肯定恒等，应将③代入②． 解法二：最后没有写出方程组的解． 正确的解答过程如下： 由①，得③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，得， ∴原方程组的解为． 【易错必刷六 加减消元法】 1．（23-24七年级上·全国·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（      ） A．①② B．①② C．①② D．①② 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过加减消元法能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．按照所给选项逐个计算，看哪个选项能够消掉一个未知数即可． 【详解】解：A、由①②得出，故A错误； B、由①②得出，故B错误； C、由①②得出，故C错误； D、由①②得出，故D正确； 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解 【详解】（1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 【易错必刷七 二元一次方程组的特殊解法】 1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）若x，y满足方程组，则的值为（    ） A．17 B．9 C．21 D．7 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的加减消元法是解题的关键． 将两个方程组相加即可求解． 【详解】解： ①+②得： 故选：A． 2．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了字母系数的二元一次方程组的解法，在解方程组时，我们可以根据题目的特征，把一个数或者一个代数式当成一个字母，因而使得运算更加简捷．这样，便产生了数学上称之为“整体代换”或者“换元”的思想．本题的关键是将和看作整体进行换元即可．根据两个方程组中各项系数的对应关系可知，解出方程组的解． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程组的解， 关于、的二元一次方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 将方程②变形为，再整体代入即可求方程组． 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 【易错必刷八 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 故答案为： 3．（23-24七年级上·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【答案】、、、的值是：4，5，，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【详解】解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 【易错必刷九 方案问题】 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费元”，列出二元一次方程是解题的关键． 设购买毛笔支，围棋副，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买毛笔支，围棋副，根据题意得， ，即， ． 又，均为正整数， ∴或或或或， ∴班长有5种购买方案． 故选：B 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价二单价数量，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， 又∵均为正整数， 或或， ∴共有3种购买方案． 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上） (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 【答案】(1)参加游玩的家长5人，学生4人 (2)不能比分别购票更省钱，计算见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用． （1）设参加游玩的家长为人，学生为人，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出一起购票和分开购票的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设参加游玩的家长为人，学生为人，由题意得： 解得： 答：参加游玩的家长5人，学生4人； （2）家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱， 理由：购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人，团体购票需要购买10张，所以花费的钱数为：（元）， ， 如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为675元，不能比分别购票更省钱． 【易错必刷十 行程问题】 1．（23-24七年级上·山东德州·期中）滨德高速（S12）是连通滨州德州的重要路线，全长约144km．一辆小汽车，一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，“……”．设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h．可以列出方程组为．则“……”处省略的条件为（   ） A．相遇时货车比小汽车多行12km B．相遇45分钟后货车比小汽车少行12km C．相遇时小汽车比货车多行12km D．相遇45分钟后小汽车比货车多行12km 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，因为设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，全长约144km，经过45分钟相遇，列出，再结合“”得出相遇时小汽车比货车多行12km，据此即可作答． 【详解】解：依题意∵设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，全长约144km，经过45分钟相遇， ∴， ∵， ∴则“……”处省略的条件为相遇时小汽车比货车多行12km， 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分． 【答案】50 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据速度×时间=路程列方程组即可． 【详解】解：设孙悟空的速度是x里/分，风速是y里/分， 依题意，得，解得， 故风速是50里/分， 故答案为：50． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）甲地到乙地全程，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果上坡路的平均速度为，下坡路的平均速度为．若小明走路从甲地到乙地需小时，从乙地走路到甲地需小时，来回走平路分别都用了小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程． 【答案】小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为 【分析】本题考查了行程问题的二元一次方程组的应用；设小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为，根据来回的时间关系：去时上坡的时间去时下坡的时间平路的时间，返回时上坡的时间返回时下坡的时间平路的时间，列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为， 由题意得：， 解得：， 答：小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为． 【易错必刷十一 工程问题】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 2．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．设甲工作了x天，乙工作了y天，根据甲乙两人共用10天完成任务及两人合计完成的工程面积为88平方米列出方程，求解方程组即得答案． 【详解】设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： ， 解得 ， 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 【易错必刷十二 数字问题】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的二元一次方程，化简后，即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·天津西青·期末）将9个数填入正方形的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图①就是填好的一个正方形，图②中已经填好一部分数字．    （1）图②中是否存在正整数x，y满足上述条件？ （填“是”或“否”）． （2）若图②中存在正整数x，y满足上述条件，请写出x与y的乘积：若不存在，请说明理由． ． 【答案】 是 4 【分析】（1）设图②中间的数为，第三行第一个数字为，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出二元一次方程组，求出，即可解决问题； （2）用求出，代入可得答案． 【详解】解：设图②中间的数为，第三行第一个数字为， 由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 存在正整数，满足上述条件； （2）存在，， 故答案为：是；4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 【易错必刷十三 分配问题】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（    ）    A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解， 【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选:． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个    【答案】 2005 197 【分析】设做了竖式纸盒个，横式纸盒个，有张长方形纸板．根据所需正方形纸板和长方形纸板的张数列出方程组，再根据未知数均为整数的特点，判断出为的倍数，进而求解． 【详解】解：设张长方形纸板，根据题意列得， ， 得， ， ， 是的倍数， ． ， 解得， 横式纸盒比竖式纸盒多个． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组，再根据未知数的特点，判断出长方形纸板的张数正好是的倍数是解题的关键． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）小明在某商店购买商品A，共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第 次购物打了折扣； (2)求出商品A、B的标价； 【答案】(1)三 (2)A：90元，B：120元 【分析】（1）根据图表可得小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值． 【详解】（1）∵第三次购买的数量最多，总费用最少， ∴小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． 故答案为：三． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据已知列方程是解题的关键． 【易错必刷十四 销售利润问题】 1．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 【答案】A 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得， 解得： 即，两种图书的单价分别为10元、30元， 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·假期作业）小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量/件 购买商品B的数量/件 购买总费用/元 第一次购物 4 3 93 第二次购物 6 6 162 若小明需要购买3件商品A和2件商品B，则他需要花费 元． 【答案】66 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）某服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)问：A，B两种服装各购进多少件？ (2)如果A型服装按标价的7折出售，B型服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元 【答案】(1)A型服装购进10件，B型服装购进20件 (2)940元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型服装购进x件，B型服装购进y件，根据“服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由总价=单价×数量结合少收入的钱数=按标价出售的总钱数﹣打折后出售的总钱数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设A型服装购进x件，B型服装购进y件， 依题意，得：， 解得：． 答：A型服装购进10件，B型服装购进20件． （2）（元）． 答：服装店比按标价出售少收入940元． 【易错必刷十五 和差倍分问题】 1．（23-24七年级上·全国·随堂练习）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（　　） A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t 【答案】A 【分析】 本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t． 根据题意，得， 解得； 所以甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t． 故选A． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 【答案】14 【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案． 【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， 则； 解得：， ∴(30-6)，， ∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解． 3．（2024·吉林松原·一模）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了、两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ 【答案】型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元 【分析】 本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．根据型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，列出方程组，求解即可． 【详解】 解：设型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元， 由题意，， 解得， 答：型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元． 【易错必刷十六 几何问题】 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设每个长方形的长为，宽为，由题意， 得， 解得：， ． 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，两根铁棒直立于桶底在水平面的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的．两根铁棒长度之和为，则两根铁棒的长度分别为 ． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是设两根铁棒的长度分别为，，根据两根铁棒长度之和为，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设两根铁棒的长度分别为，，由题意得： 解得：， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是，． (2)为定值，过程见解析 【分析】 本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式： （1）设小长方形的宽为，长为，依题意，得，求解即可； （2）根据题意可知个小长方形的周长，根据题意可知，，大长方形的周长． 【详解】（1）设小长方形的宽为，长为． 根据题意，得 解得 答：小长方形的相邻两边长分别是，． （2）是定值，理由如下： 根据题意可知个小长方形的周长． 根据题意可知，，大长方形的周长． 可得 ． 所以，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为． 【易错必刷十七 其他问题】 1．（2024·云南·模拟预测）为传承优秀传统文化，某校为各班购进《水浒传》和《三国演义》连环画若干套，据了解，购买5套《水浒传》和2套《三国演义》共需480元，购买3套《水浒传》和2套《三国演义》共需360元，则每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是（     ） A．90 元， 60元 B．30元， 150元 C．150元， 30元 D．60 元， 90 元 【答案】B 【分析】 本题考查二元一次方程组的应用，设设每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是元和元．根据“购买5套《水浒传》和2套《三国演义》共需480元，购买3套《水浒传》和2套《三国演义》共需360元”列出二元一次方程组并解答． 【详解】解：设每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是元和元，列方程组得： ，解得， 故选B． 2．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）据某市旅游局发布信息，今年五一假期期间，市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长和，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．则某市去年外来旅游的人数是 万人． 【答案】80 【分析】设该市去年外来旅游人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，根据总人数为226万人，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人，列方程组求解即可． 【详解】设该市去年外来旅游人数为x万人，外出旅游的人数为y万人， 由题意得：， 解得：， 所以去年外来旅游的人数是80（万人）． 故答案是：80． 【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． (1)若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元．问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？ (2)在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润＝销售额－原料费－运输费） 【答案】(1)购买100吨原料，生产80吨产品 (2)该工厂这批产品获得利润28800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．题中的数量关系比较复杂，借助图形把各个数量之间的关系弄清是解题的关键． （1）设该工厂从A地购买了x吨原料，用这些原料能制成吨新产品，根据等量关系：①两次运输共支出公路运费6600元；②铁路运输24600元列方程组求解即可； （2）利用利润=销售额原料费运输费即可求解． 【详解】（1）解：设从A地购买吨原料，用这些原料能制成吨新产品． ， 解得： 答：购买100吨原料，生产80吨产品． （2）（元） 答：该工厂这批产品获得利润28800元． 【易错必刷十八 三元一次方程组的定义及解】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，得， ，得，解得， 把代入①，得， 把代入③，得， 则方程组的解为 故选：D． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：④， ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由①，得4x＝3y，x＝y④ 由②得4z＝5y，z＝y，⑤ 把④和⑤代入③，得，解得y＝12 把y＝12代入④和⑤，得． ∴原方程组的解为． （2）将原方程组改写为 由②，得x＝6＋4y，代入①化简，得 11y－4z＝－19，④ 由③，得2y＋3z＝4，⑤ 由④×3＋⑤×4，得33y＋8y＝－57＋16， ∴y＝－1 将y＝－1代入⑤，得z＝2 将y＝－1代入②，得x＝2 ∴原方程组的解为 【易错必刷十九 三元一次方程组的应用】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． 故小鸡的只数不可能是 故选： 【点睛】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 2．（2024七年级·全国·竞赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：3千克水果，6千克水果；乙种搭配：2千克种水果，5千克水果，1千克水果；丙种搭配：3千克水果，7千克水果，1千克水果．已知水果每千克4元，水果每千克5元，水果每千克8元，某天该商店销售这三种搭配共得1630元，某中水果的销售额为384元，则水果的销售额为 元． 【答案】1070 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设卖出x个甲种搭配、y个乙种搭配、z个丙种搭配，理解题意，正确列出方程组并灵活求解是解答的关键． 【详解】解：设卖出x个甲种搭配、y个乙种搭配、z个丙种搭配，则 ， 即， 得，则， ∴C水果的销售额为（元）， 则B水果的销售额为（元）， 故答案为：1070． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 学科网（北京）股份有限公司 $$