专题08 二元一次方程组的解法60道计算题专训（6大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题08 二元一次方程组的解法60道计算题专训（6大题型） 题型一 解二元一次方程的简单题型 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 同解方程组 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 解含参的二元一次方程组 【经典例题一 解二元一次方程的简单题型】 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； ∴方程组的解为：． 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）（1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，对于（1），先将两式相加消去y，再代入求出x，可得答案； 对于（2），先分别求出两个不等式的解集，再求出不等组的解集即可． 【详解】（1）， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是； （2）， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）解下列方程组： (1)（代入法）； (2)（加减法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， （1）将①整理为，再代入②求出x，即可求出y，可得答案； （2）消去y求出x，再代入①，可得答案． 【详解】（1）解： 由①得， ， 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 所以方程组的解是； （2）， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 所以原方程组的解是． 4．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）解方程组与不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解是：． （2）解： 解不等式得： 解不等式得：， 不等式组的解集为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 6．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 8．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）解方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可； （4）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得： ，解得：， 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； （2）， 由得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （3） 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （4）， 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为：； 9．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组； （3）用加减消元法解二元一次方程组； （4）用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 原方程组可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）解下列方程组 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是： （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）原方程组化简后利用加减消元法求解即可； （4）把，看成整体，利用加减消元法求出，，然后联立方程组，用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； （3）解：原方程化简为， ，得， ∴， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （4）解：， ，得， ∴， ，得， ∴， 联立方程组， 解得． 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 11．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代入消元法、整体消元法解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法、整体消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）把代入，求出的值并代入，得出的值，即可得出方程组的解； （2）把整体代入，求出的值并代入，求出的值，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 把②代入①得：， 移项、合并同类项得：， 把代入②得：， 移项、合并同类项得：， ∴方程组的解为：． 12．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 由①②得：，可求，则，计算求解即可． 【详解】解：， 由①②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴k的值为2． 13．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程组的解是，求关于的方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据题意可把新方程中可变形为，然后把看作整体，相当于方程组中的x和y且其对应值是1和2，据此构造新方程组求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：． 14．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，其中a为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含a的代数式表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用加减消元法解答，即可求解； （2）由可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解； （2）解：， 由得：， 解得：． 15．（23-24七年级上·广东广州·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1）；（2）或7 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）得，从而得出k的方程求解； （2）由得，结合，取正整数求出，的值，进而可求出整数的值． 【详解】解：（1） 得： （2） ，取正整数 ，或， 或7 16．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 17．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 将方程②变形为，再整体代入即可求方程组． 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 18．（23-24七年级上·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 19．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得， ∵且， ∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题： (1)【学以致用】解二元一次方程组：． (2)【能力提升】解二元一次方程组：． (3)【拓展训练】，求x和y的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，读懂题意是解题的关键． （1）设，那么，则，，代入于②中，得到，解得，即可得到答案； （2）设，那么，代入于②中，得，解得，即可得到答案； （3）由题意可得，，得到则得到由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： 设，那么，则，， 代入于②中，得， 解得， ∵，， ∴原方程组的解为 （2） 设，那么， 代入于②中，得， 解得， ∵，， ∴原方程组的解为 （3）∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得， ∴， 则 20．（23-24七年级上·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，得出，求出，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为：． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 21．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）甲、乙两人共同解关于x、y的方程由于甲看错方程组中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程组中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】0 【分析】将，代入方程组的第二个方程，，代入方程组的第一个方程，联立求出与的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：将代入方程组中的得：，即； 将代入方程组中的得：，即， 则． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 22．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）甲、乙两名同学在解方程组时，甲同学因看错了，从而求得解为，乙同学因看错了，从而求得解为，计算，并用幂的形式表示结果． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同底数幂的乘法及幂的乘方，解题关键是由二元一次方程组的解，求出，的值．根据题意，甲同学看错了，可将甲的解代入得，乙同学看错了，将乙的解代入得，求解即可得出，的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：由题意得 ，解得， ，解得， ． 23．（23-24七年级上·福建福州·期中）解关于x，y的方程组时，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙因为看错了方程②中的b，得到方程组的解为，计算a+b的值． 【答案】9 【分析】把代入方程②得出，求出，把代入方程①得出，求出，再求出值即可． 【详解】解：把代入方程②中，得， 解这个方程，得， 把代入方程①中，得， 解这个方程，得， 所以． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和平方根的定义，能求出、的值是解此题的关键． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得乙看错了②式中的y的系数，解得若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解． 【答案】原方程组为 其解为 【分析】根据题意可知将代入方程组中方程②，y的系数正确，将代入方程组中的方程①，x的系数正确，两个联立方程组即可求得a、b的值，从而可以求得原方程组和原方程组的解． 【详解】解：设①中x的系数为a，②中y的系数为b，由题意可得：， 解得：， ∴这个方程组是：，解得：． 即这个方程组是：，方程组的解是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，求出被挡住的未知数的系数． 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组，由于甲看错了方程(1)中的a得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中的b得到方程组的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出即可． 【详解】 解：， 把 代入(2)，得， 解得：， 把代入(1)，得， 解得：， 所以． 26．（23-24七年级上·全国·单元测试）王明和李亮解同一个方程组，急性子的王明把方程①中的看错了，得到方程组的解为，而马虎的李亮把方程②中的看错了，得到方程组的解为，学习委员张丽说，她可以根据王明和李亮的计算结果算出这个方程组的解．你能知道张丽求出的方程组的解是多少吗？ 【答案】． 【分析】将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立求出a与b的值，即可求出方程组的解． 【详解】解：根据题意，将代入②， 得：； 即； 将代入①得： 得：， 即； ∴方程组为， 解得． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 27．（23-24七年级上·四川遂宁·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答． 本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴原方程组为， ，得， 把代入③，得， ∴， 解得原方程组的正确解为：， 28．（23-24七年级上·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出a与b的值，即可； （2）将a与b的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：； （2）解：由（1）得：原方程组为， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 29．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、求代数式的值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立求出与的值； （2）将与的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，将代入②，得：， 即， 将代入①，得：， 即； （2）解：由（1）得：，， ． 30．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 【经典例题四 同解方程组】 31．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期中）已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴，得，解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为：， ∴， ∴，． 32．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解，根据方程组和方程组同解可以得到求出这个方程组的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可． 【详解】解：解方程组 解得： 把代入另外两方程得： 解得：． 33．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法得到，再由得到，则． 【详解】解： 得：， ∵， ∴， ∴ 34．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解； 【详解】解：∵和的解相同， ∴，解得：， 将代入中，得：， 解得： ∴， 35．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． （1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可； （2）根据（1）的结论代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， （2）解： 36．（23-24七年级上·浙江·单元测试）已知和是关于x，y的二元一次方程mx－ny＝10的两个解． (1)求m，n的值． (2)先化简，再求值：(m－n)(4m＋n)－(2m＋n)(2m－n)． 【答案】（1）；（2）－. 【分析】（1）先把和两组解分别代入mx－ny＝10得到关于m，n的二元一次方程组，再解出m,n的值即可.（2）先利用整式的乘法法则与平方差公式进行计算化简，再代入m，n即可解出. 【详解】【解】　(1)把和代入方程mx－ny＝10，得 解得 (2)原式＝4m2＋mn－4mn－n2－(4m2－n2) ＝4m2－3mn－n2－4m2＋n2 ＝－3mn. 当m＝5，n＝时， 原式＝－3mn＝－3×5×＝－. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知整式的乘法法则与公式的运用. 37．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）计算：； （2）解不等式组； （3）关于x，y的两个方程组和有相同的解，求a，b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，涉，熟练掌握各种计算的求解方法是解题的关键． （1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先解出两个不等式的解集，取其公共部分中的整数即可； （3）可用加减消元法先求解，求出，再代入即可． 【详解】（1） （2）解， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴原不等式组的解集为：． （3）解：∵两个方程组同解 ∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解 解方程组 ②①得 将代入①式得 解得 ∴方程组的解为 将代入方程组得 解关于a，b的方程组 ③④得，解得， 将代入③式得，解得． 38．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组问题： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意可得，解方程得到，进而得到，据此求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵上述方程组的解也是方程组的解， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（23-24七年级上·广东江门·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)已知实数的两个平方根是的立方根是n，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查同解方程组、解二元一次方程组及平方根和立方根，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据题意，联立，解方程组可求得x，y的值，即为所求． （2）将代入，可得关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n，进而可求a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 联立， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得． ∴这个相同的解为． （2）解：将代入， 得， ③④，得， 把代入③，得， 解得． ∴， ∴； ∴，即， ∴， ∴， ∵4的算术平方根是2． ∴的算术平方根为2． 40．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）设，则原方程变为，然后根据平方差公式及开平方法可进行求解方程； （2）由题意易得方程组可变为，然后根据同解方程组可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， ∴， 解得：， 即或； （2）解：由方程组可变形为， 即， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 41．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】k，b的值分别为和10 【分析】 本题主要考查了解二元一次方程组，根据当时，；当时，，建立方程组，解之即可得到答案． 【详解】解：∵在，当时，；当时，， ∴， ∴，即k，b的值分别为和10． 42．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数，规定新运算：，其中，是常数，已知：，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，先根据“，”和定义运算列出方程组，然后求解出a、b，继而运用新运算法则计算即可． 【详解】，， 解得 ， ． 43．（23-24七年级上·广东东莞·期中）已知与是同类项，求m，n的值． 【答案】． 【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，根据“字母和字母指数相同的单项式是同类项”构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ 解得：． 44．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）对于等式，当时，；当时，．求和的值． 【答案】的值为2，的值为 【分析】根据题意构造二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：对于等式，当时，；当时，， ， 解得：， 的值为2，的值为． 【点睛】本题考查了构造二元一次方程组求解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解此题的关键． 45．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）对有理数x、y定义一种新运算“※”，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知：， (1)求a、b的值； (2)求的最小值． 【答案】(1)a、b的值分别为1，2 (2)15 【分析】（1）根据题中新运算法则列关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可求解； （2）根据（1）中结果和题中新运算法则表示出，然后根据利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， 即a、b的值分别为1，2； （2）解：由（1）知，，， ∴ ， ∴的最小值是15． 【点睛】本题考查二元一次方程组得应用、完全平方公式的应用，解答的关键是掌握新运算法则，并正确求得a、b值． 46．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知边长分别为a、的两个正方形，其面积之差为32    (1)根据题意，请你列出一个关于a、b的方程组______； (2)请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； (3)分别求两个正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)81和49 【分析】（1）由边长之和与面积之差列方程组即可； （2）由，，可得，可得，从而可得答案； （3）先解方程组，再求解正方形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得： （2）∵，． ∴． ∴． ∴ （3）∵， 解得： ∴，， ∴这两个正方形的面积分别为81和49． 【点睛】本题考查的是利用图形性质建立方程组，平方差公式的应用，二元一次方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 47．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．例如：． (1)如果，，求y的值； (2)，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得出方程组，解答即可； （2）根据题意，得出方程组，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 把代入， 得， 解得； （2）解∶根据题意，得， 解得． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．理解新定义是解题的关键． 48．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）对于任意有理数， ， ， ，我们规定， 已知，同时，，求，的值． 【答案】， 【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解即可得到与的值． 【详解】解：∵，同时满足，， ∴， ①×3－②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，以及有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． 49．（23-24七年级上·海南海口·期中） 已知，当时，；当时，，则 (1)求k、b的值； (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意，可得关于k、b的二元一次方程组，应用加减消元法，求出k、b的值即可； （2）应用代入法，求出时，y的值是多少即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得： ， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：由（1）得， 当时， ． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 50．（23-24七年级上·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【详解】（1）当时，， （2）， ， 解得：， ∴a和b的值分别为，； （3）， ， ， 化简得：， 解得：， ∴a和b的值分别为，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题六 解含参的二元一次方程组】 51．（2024·河南南阳·七年级期中）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解，因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x、y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式，例如：方程组可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵的形式． (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由矩阵可得出原方程组为，再根据其解为，即可得出，解出a和b的值即可． 【详解】（1）解：根据题意将写成矩阵的形式为：； （2）解：由题意可知矩阵所对应的方程组为， ∵方程组解为， ∴， 解得． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组．理解题意是解题关键． 52．（2024·河南新乡·七年级期中）已知有理数a，b满足，且，求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组，再求k的值； 乙同学：先解方程组，再求k的值； 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)关于上述三种不同思路，正确的画“√”，错误的画“×”． 甲同学的思路（   ）；乙同学的思路（   ）；丙同学的思路（   ） (2)试选择其中你认为正确的思路，解答此题； (3)在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求m和n的值． 【答案】(1)√，√，√ (2)选丙， (3) 【分析】（1）根据题意进行判断即可； （2）按照正确的思路进行求解即可； （3）用加减消元法得出m、n的方程组，解关于m、n的方程组即可． 【详解】（1）解：甲同学的思路，乙同学的思路，丙同学的思路均正确． 故答案为：√；√；√． （2）解：选择甲同学的思路： 解方程组得：， ∵， ∴， 解得：； 选择乙同学的思路： 解方程组得：， 把代入得：， 解得：； 选择丙同学的思路： ， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． （3）解：∵用可以消去未知数x，用可以消去未知数y， ∴   整理得：， 由得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法，准确计算． 53．（2024·江苏无锡·七年级阶段练习）关于x，y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知 ，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求出x与y的表达式，从而可求出a的范围； （2）根据（1）问可求出a的范围，再结合所给条件，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组， 得， ∵方程组的解都为正数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法，本题属于中等题型． 54．（2024·广东惠州·七年级期中）已知关于x，y的方程组． (1)方程中，用含y的式子表示x； (2)若方程组的解满足③，求m的值． 【答案】(1)， (2)的值为． 【分析】（1）根据等式的性质将变形，即可得出用含的式子表示； （2）根据条件可求出，，代入方程即可得出的值． 【详解】（1）， ， （2）根据题意得， ，， 代入得， ， 解得：， 答：的值为． 【点睛】考查二元一次方程（组的解法和应用，代入法是常用的方法． 55．（2024·广东梅州·模拟预测）已知关于、的方程组．根据要求，解答下列问题： (1)当时，解这个方程组； (2)若此方程组的解也是方程的一个解，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程组，解方程组即可； （2）把和组成方程组解出和，再代入原方程可得的值． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， 得，， 把代入①得，， 方程组的解为； （2）解：由已知得，方程组， 解得：， 将代入， 得：， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 56．（2024·江苏泰州·七年级阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与______（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组其中a与都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． (4)【拓展】若一个关于x的方程的解为，则称之为“成章方程”，如：的解为，而 = 1；的解为，而，若关于x的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：． 【答案】(1)具有 (2)4或6 (3)具有，； (4) 【分析】（1）求出方程组的解，然后根据“邻好关系”定义进行判断即可； （2）解方程组得出，根据方程组 的解与具有“邻好关系”，得出，解关于m的方程即可； （3）解方程组得出，根据a与都是正整数，得出或，求出当时，，，当时，，，根据，得出当时，方程组的解与是否具有“邻好关系”； （4）由定义得出，即，解方程得出， 把代入得：． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴方程组的解与具有“邻好关系”； 故答案为：具有． （2）解：由方程组得：， ∵方程组 的解与具有“邻好关系”， ∴， 解得：或． （3）解方程组得：， ∵a与都是正整数， ∴或， 当时，，， 当时，，， ∵， ∴当时，方程组的解与是否具有“邻好关系”，此时方程组的解为． （4）解：∵关于x的方程为“成章方程” ∴， ∴， 由得：， ∴， 把代入得：． 即． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义运算，解题的关键是理解定义，准确计算． 57．（2024·广东广州·七年级期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)若方程组没解，求m的值． (4)无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1)，； (2)； (3) (4)． 【分析】（1）将方程化为，再由x，y为正整数，即可得出结论； （2）将与组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：中，可得m的值； （3）方程组消去x，得到，当时，方程组无解； （4）根据方程总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又因为，为正整数， ∴， 即：y只能取2或4； ∴方程的所有正整数解：，； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入， 解得； （3）解：方程组整理得， ①-②得， 当即时，方程组无解； （4）解：∵方程总有一个固定的解， 即方程总有一个固定的解， ∴，． ∴． 【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，理解题意，熟练掌握求方程组的解的方法是本题的关键． 58．（2024·江苏盐城·七年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组（实数m是常数） (1)若，求实数m的值 (2)若，求实数m的取值范围． (3)在（2）的条件下，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题先将两式相加求出m的值； （2）再将两式相减可求出m的范围； （3）根据m的范围以及绝对值的性质进行化简． 【详解】（1）在方程组中， 得， ∴     （2）在方程组中， 得，        （3） ∴． ∴ =   =   【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解之和或差求参数，以及已知字母的取值范围化简绝对值，解题的关键是对方程组进行适当的恒等变形． 59．（2024·河北石家庄·七年级期末）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】得出，求出，把代入求出即可； 把代入求出，再求出，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以方程组的解是：； （2）设“”为， 、是一对相反数， 把代入得：， 解得：， 即， 所以方程组的解是， 代入得：， 解得：， 即原题中“”是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解的关键． 60．（2024·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组（k为常数） (1)若方程组的解是，则k的值为 ； (2)若方程组的解满足，则k的值为 ； (3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，请直接写出这组公共解． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解一元一次方程，关键是理解二元一次方程组的解． （1）将方程组的解代入方程中求解即可； （2）解方程组，再将解代入中求解即可； （3）将整理为，当时求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：， 故答案为：． （2）解：∵方程组的解满足， 即方程组与的解相同； 解方程组， 得：， 解得：， 将代入①解得：， 故方程组的解为， 将代入得， 解得：， 故答案为：7． （3）解：将方程整理为：， 当时，代入求得， 即， ∴公共解为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二元一次方程组的解法60道计算题专训（6大题型） 题型一 解二元一次方程的简单题型 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 同解方程组 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 解含参的二元一次方程组 【经典例题一 解二元一次方程的简单题型】 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）解二元一次方程组： 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）（1）解方程组 （2）解不等式组 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）解下列方程组： (1)（代入法）； (2)（加减法） 4．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）解方程组与不等式组： (1) (2) 5．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 6．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 7．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 8．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）解方程组 (1) (2) (3) (4) 9．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）解下列方程组 (1)； (2)． (3) (4) 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 11．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）解方程组： (1) (2) 12．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值． 13．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程组的解是，求关于的方程组的解． 14．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，其中a为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含a的代数式表示）； 15．（23-24七年级上·广东广州·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 16．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 17．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 18．（23-24七年级上·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 19．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得， ∵且， ∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题： (1)【学以致用】解二元一次方程组：． (2)【能力提升】解二元一次方程组：． (3)【拓展训练】，求x和y的值． 20．（23-24七年级上·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 21．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）甲、乙两人共同解关于x、y的方程由于甲看错方程组中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程组中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 22．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）甲、乙两名同学在解方程组时，甲同学因看错了，从而求得解为，乙同学因看错了，从而求得解为，计算，并用幂的形式表示结果． 23．（23-24七年级上·福建福州·期中）解关于x，y的方程组时，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙因为看错了方程②中的b，得到方程组的解为，计算a+b的值． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得乙看错了②式中的y的系数，解得若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解． 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组，由于甲看错了方程(1)中的a得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中的b得到方程组的解为，求的值． 26．（23-24七年级上·全国·单元测试）王明和李亮解同一个方程组，急性子的王明把方程①中的看错了，得到方程组的解为，而马虎的李亮把方程②中的看错了，得到方程组的解为，学习委员张丽说，她可以根据王明和李亮的计算结果算出这个方程组的解．你能知道张丽求出的方程组的解是多少吗？ 27．（23-24七年级上·四川遂宁·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 28．（23-24七年级上·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 29．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 30．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【经典例题四 同解方程组】 31．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期中）已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 32．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 33．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m． 34．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值． 35．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 36．（23-24七年级上·浙江·单元测试）已知和是关于x，y的二元一次方程mx－ny＝10的两个解． (1)求m，n的值． (2)先化简，再求值：(m－n)(4m＋n)－(2m＋n)(2m－n)． 37．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）计算：； （2）解不等式组； （3）关于x，y的两个方程组和有相同的解，求a，b的值． 38．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 39．（23-24七年级上·广东江门·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)已知实数的两个平方根是的立方根是n，求的算术平方根． 40．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 41．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 42．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数，规定新运算：，其中，是常数，已知：，，求的值． 43．（23-24七年级上·广东东莞·期中）已知与是同类项，求m，n的值． 44．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）对于等式，当时，；当时，．求和的值． 45．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）对有理数x、y定义一种新运算“※”，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知：， (1)求a、b的值； (2)求的最小值． 46．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知边长分别为a、的两个正方形，其面积之差为32    (1)根据题意，请你列出一个关于a、b的方程组______； (2)请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； (3)分别求两个正方形的面积． 47．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．例如：． (1)如果，，求y的值； (2)，，求x，y的值． 48．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）对于任意有理数， ， ， ，我们规定， 已知，同时，，求，的值． 49．（23-24七年级上·海南海口·期中） 已知，当时，；当时，，则 (1)求k、b的值； (2)求时，y的值． 50．（23-24七年级上·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 【经典例题六 解含参的二元一次方程组】 51．（2024·河南南阳·七年级期中）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解，因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x、y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式，例如：方程组可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵的形式． (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 52．（2024·河南新乡·七年级期中）已知有理数a，b满足，且，求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组，再求k的值； 乙同学：先解方程组，再求k的值； 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)关于上述三种不同思路，正确的画“√”，错误的画“×”． 甲同学的思路（   ）；乙同学的思路（   ）；丙同学的思路（   ） (2)试选择其中你认为正确的思路，解答此题； (3)在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求m和n的值． 53．（2024·江苏无锡·七年级阶段练习）关于x，y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知 ，且，求的取值范围． 54．（2024·广东惠州·七年级期中）已知关于x，y的方程组． (1)方程中，用含y的式子表示x； (2)若方程组的解满足③，求m的值． 55．（2024·广东梅州·模拟预测）已知关于、的方程组．根据要求，解答下列问题： (1)当时，解这个方程组； (2)若此方程组的解也是方程的一个解，则______． 56．（2024·江苏泰州·七年级阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与______（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组其中a与都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． (4)【拓展】若一个关于x的方程的解为，则称之为“成章方程”，如：的解为，而 = 1；的解为，而，若关于x的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：． 57．（2024·广东广州·七年级期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)若方程组没解，求m的值． (4)无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 58．（2024·江苏盐城·七年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组（实数m是常数） (1)若，求实数m的值 (2)若，求实数m的取值范围． (3)在（2）的条件下，化简．          59．（2024·河北石家庄·七年级期末）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？ 60．（2024·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组（k为常数） (1)若方程组的解是，则k的值为 ； (2)若方程组的解满足，则k的值为 ； (3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，请直接写出这组公共解． 学科网（北京）股份有限公司 $$