专题06 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题06 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 方案问题 题型二 行程问题 题型三 工程问题 题型四 数字问题 题型五 年龄问题 题型六 分配问题 题型七 销售、利润问题 题型八 和差倍分问题 题型九 几何问题 题型十 图表信息题 题型十一 古代问题 题型十二 其他问题 知识点、二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 方案问题】 【例1】（23-24七年级上·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）已知：用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请问1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费是多少． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元． (1)求A，B两种航模每件分别为多少元？ (2)由于商家进行优惠促销活动，每种航模的价格都有所调整，调整后B种航模的单价是A种航模单价的1.2倍，学校分别花了3000元和2400元购买A、B两种航模共20件，则两种航模各降价了多少元？ 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 素材3 学校花费600元后，该超市赠送张兑换券（如右图）用于商品兑换．兑换后，精美书签与风琴包数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，求所有符合条件的兑换方式．（求风琴包和精美书签分别用的兑换券张数） 【经典例题二 行程问题】 【例2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 1．（23-24七年级上·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（23-24七年级上·福建泉州·期末）6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）印江河是印江的母亲河，为了确保河道畅通，现需要对一段长为180米的河道进行清淤处理，清淤任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天完成12米，B工程队每天完成8米，共用时20天． 根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：        乙： (1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义． x表示______，y表示______；请你补全乙同学所列的方程组______ (2)求A、B两工程队分别完成河道清淤多少米？（写出完整的解答过程） 【经典例题四 数字问题】 【例4】（23-24七年级上·重庆大足·期末）一个两位数，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数．当时，我们把放在的左边将所构成的新数叫做的“叠加数”．例如：，，∴47的“叠加数”为1547；，，∴26没有“叠加数”． (1)请判断5543是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数（，且均为整数）有“叠加数”，且能被11整除，求所有满足条件的两位数的“叠加数”． 1．（23-24七年级上·重庆涪陵·期末）对于一个三位数M，如果它的百位数字与它的十位数字之和为10，则称M是“十成九稳数”． 例如：，∵，∴是“十成九稳数”． 又如：454，∵，∴454不是“十成九稳数”． (1)判断375，602是否是“十成九稳数”？说明理由； (2)已知一个“十成九稳数”(其中，，，且a，b，c都是整数)，把百位数字的3倍记作，百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作，若，求满足条件的所有N． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 3．（23-24七年级上·重庆大渡口·期末）阅读下列材料，并根据材料回答以下问题 材料一：一个三位数，各个数位均不相等且不等于0，满足这样条件的数叫“无独数”．任选无独数的两个数字，组成六个新的两位数，并把这六个两位数相加得到的和再除以11，得到的结果记作．例如：无独数351，得到的六个两位数分别为：35，31，53，51，13，15，则． 材料二：一个三位数，各个数位上的数字均为偶数，且百位数字最大，称这样的三位数为“有偶数”． (1)______；最小的有偶数为______； (2)试说明任意一个无独数m，的值均能被2整除； (3)若一个三位数，，既是无独数，又是有偶数，且的结果为6的倍数，求满足条件的所有n． 【经典例题五 年龄问题】 【例5】（2024·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 2．（23-24七年级上·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    3．（23-24七年级上·云南·期中）今年（2024年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【经典例题六 分配问题】 【例6】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）寒假社会实践活动期间，某中学参与服务工作．学校组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．计划调配36座新能源客车多少辆？该学校共有多少名志愿者？ 1．（23-24七年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）一养鱼专业户承包了20口相同的鱼塘，准备投入175000元养殖特种鱼类和一般鱼类，投入资金和所需人数如下表： 鱼类 投入资金/（元/口） 所需人数 特种鱼类 20000 每口鱼塘1人 一般鱼类 5000 三口鱼塘1人 该养鱼专业户应如何安排鱼塘？需要安排多少人？ 3．（23-24八年级·陕西西安·期末）某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，一共用了8辆汽车满载运送． (1)小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组，请写出小宇所列方程组中未知数，表示的意义：表示 ，表示 ，该方程组中“？”处的数应是 ，“*”处的数应是 ． (2)小琼同学的思路是设甲种汽车运送m台家电，乙种汽车运送n台家电．请你按照小琼的思路列出方程组，并求甲种汽车的数量． (3)如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运送这190台家电后的总运费是多少？ 【经典例题七 销售、利润问题】 【例7】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）某班毕业时，结余经费1800元，一部分给老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念，已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册，求每件文化衫和每本相册各多少元？ 1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 2．（23-24七年级上·广西桂林·期末）今年“五一”期间，桂林秀甲天下的自然风光和人头攒动的热闹景象“霸屏”央视，据统计全市共接待游客万人次，实现旅游总收入亿元．某外地游客购买了三种桂林特色商品，因不小心污染了商品销售单上的部分信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价(元) 数量(瓶) 金额(元) 豆腐乳 15 三花酒 40 辣椒酱 a 2 50 合计 5 145 (1)某游客购豆腐乳，三花酒各几瓶？ (2)某游客再次购买3瓶豆腐乳，4瓶三花酒和3瓶辣椒酱共多少钱？ 3．（23-24七年级上·北京海淀·期末）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【经典例题八 和差倍分问题】 【例8】（2024·海南三亚·二模）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球．现有A、B两种品牌的足球，已知A品牌足球比B品牌足球的单价便宜元，购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需元，求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？ 1．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）用方程组解决问题：某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 2．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答） 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元，求这两种大米各购进多少袋； (2)据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为1500元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (3)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【经典例题九 几何问题】 【例9】（23-24七年级上·吉林通化·阶段练习）在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 1．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 2．（2024·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 3．（23-24七年级上·河北沧州·期中）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 【经典例题十 图表信息题】 【例10】（23-24七年级上·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 1．（23-24七年级上·全国·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 3．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 【经典例题十一 古代问题】 【例11】（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 1．（23-24七年级上·北京通州·期中）列方程组解应用题： 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个最简的二阶幻圆的模型，将一些数字分别填入图中的圆圈内，要求：①外、内两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，请你求出图中外，内两个圆周上两空白圆圈内应填写的数字是多少? 2．（23-24七年级上·河南南阳·期末）下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程． 古代问题：某人工作一年报酬是一件衣服和10枚银币，但他工作满8个月后就不干了，结账时，给他一件衣服和2枚银币，求这件衣服的价值是多少枚银币？每月报酬是多少枚银币？ 南南：             阳阳：， 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x的意义是_____________； (2)阳阳的方程所用等量关系是（    ） A．每月所得的报酬相等　　　　B．8个月所得的报酬相等 (3)从以上两个方程（组）中选一个，并直接回答老师提出的问题． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）在九章算术的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图所表示的方程组为______ ． (2)任务二：请解你所列的方程组． (3)任务三：请聪明的你尝试用不同的方法解你所列的方程组． 【经典例题十二 其他问题】 【例12】（23-24七年级上·全国·单元测试）某校六（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人   数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．请求出捐款2元和捐款3元的同学各有几名？   1．（23-24七年级上·河南周口·期末）五一节假日期间，小明和爸爸带着客人去某动物园游玩，已知该动物园成人票每张元，儿童票每张元，共买了张票，花费了元，问购买成人票与儿童票各多少张？ (1)设购买成人票张，根据题意，列出一元一次方程（不需要解方程）． (2)请你用二元一次方程组的知识解决这个问题，并写出解题过程． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 3．（23-24七年级上·广西防城港·期末）【综合与实践】某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用 同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和 原计划租用45座客车的数量． 【合作探究】 小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为  x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程 ”． 小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y 辆，则多出一辆车，且  其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y 少1，可以表示为 辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为 ，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程”． 【问题解决】 (1)请按顺序写出小聪和小明分析的结论： ， ， ； (2)根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解； (3)若45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．若租用同一 种车，要使每位参加活动的人都有座位，怎样租车更合算？请直接写出租车的类型和数量即可． 1．（23-24七年级上·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 2．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为28，则图中阴影部分的面积为（   ） A．120 B．110 C．90 D．80 3．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）妈妈带着小明观看了亚运会游泳比赛共消费了410元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干13元，每瓶矿泉水2元，那么他们买了 包饼干、 瓶矿泉水．（    ） 项目 早餐 午餐 游泳门票 饼干 矿泉水 支出金额（单位：元） 40 100 240 A．1，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需 元． 7．（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 8．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ． 9．（23-24七年级上·河南周口·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 10．（23-24七年级上·广西来宾·期末）小丽逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列仍然能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有 ． 11．（24-25七年级上·海南·期中）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得80万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 12．（24-25七年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 13．（23-24七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 14．（24-25七年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 15．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 方案问题 题型二 行程问题 题型三 工程问题 题型四 数字问题 题型五 年龄问题 题型六 分配问题 题型七 销售、利润问题 题型八 和差倍分问题 题型九 几何问题 题型十 图表信息题 题型十一 古代问题 题型十二 其他问题 知识点、二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 方案问题】 【例1】（23-24七年级上·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； (2)2，1940． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）结合题意和（1）得，易知 结合a、b都是正整数，可确定 或 或 三种租车方案，分别计算三种租车方案的费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得 ， 解得 ∴1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； （2）解：结合题意和（1）得， ∵a、b都是正整数， 或 或 ∴ 有3种租车方案： 方案一：A型车2辆， B型车7辆； 方案二：A型车6辆， B型车4辆； 方案三∶ A型车10辆， B型车1辆； ∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次， ∴方案一需租金： (元)； 方案二需租金： (元)； 方案三需租金： (元)； ∴最省钱的租车方案是方案一： A型车租2辆， B型车租7辆，最少租车费为1940元， 故答案为：2，1940． 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）已知：用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请问1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费是多少． 【答案】(1)1辆A型车可运32吨，1辆B型车可运40吨． (2)有两种方案：方案一：租A型车7辆，B型车2辆方案二：租A型车2辆，B型车6辆． (3)租A型车2辆，B型车6辆，最少租车费为9200元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨，1辆B型车可运y吨，根据“用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，”列方程组求解即可； （2）根据“某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，”得出，再根据m，n都是自然数，即可得出m，n的值，从而得出方案； （3）由（2）可知两种方案，再将值分别代入两种方案中求出值后再比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆A型车可运x吨，1辆B型车可运y吨， 根据题意可列方程组：， 解得：， 答：1辆A型车可运32吨，1辆B型车可运40吨． （2）根据题意得： 则，且m，n都是自然数． 当时，；当时，时； 故一共有两种方案：方案一：租A型车7辆，B型车2辆 方案二：租A型车2辆，B型车6辆． （3）根据题意可知，方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） ∵， ∴最省钱的租车方案为方案二：租A型车2辆，B型车6辆，最少租车费为9200元． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件B种航模共需1800元；3件A种航模和1件B种航模共需1300元． (1)求A，B两种航模每件分别为多少元？ (2)由于商家进行优惠促销活动，每种航模的价格都有所调整，调整后B种航模的单价是A种航模单价的1.2倍，学校分别花了3000元和2400元购买A、B两种航模共20件，则两种航模各降价了多少元？ 【答案】(1)A种航模每件300元，B种航模每件400元； (2)A型航模降价50元，B型航模降价100元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到题中等量关系是解题的关键． （1）设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设A型航模单价为m元，购买A型航模n件，则B型航模单价为元，购买B型航模件，根据题意列出方程组求解即可； 【详解】（1）解：设A种航模每件x元，B种航模每件y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种航模每件300元，B种航模每件400元； （2）解：设A型航模单价为m元，购买A型航模n件，根据题意，得， 解得 调整后B种航模的单价是元， 两种航模各降价了A：（元），B：（元） 答：A型航模降价50元，B型航模降价100元． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 素材3 学校花费600元后，该超市赠送张兑换券（如右图）用于商品兑换．兑换后，精美书签与风琴包数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，求所有符合条件的兑换方式．（求风琴包和精美书签分别用的兑换券张数） 【答案】任务1：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元；任务2：可购买精美书签30个，风琴包30个；或购买精美书签60个，风琴包20个；任务3：当购买精美书签60个，风琴包20个时，超市赠送5张兄换券时，其中5张兄换风琴包；或者，超市赠送9张兑换券时，其中8张兑换风琴包，1张兑换精美书签 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务2：找准等量关系，正确列出二元一次方程；任务3：找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务1：设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元，根据“顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买个风琴包，个精美书签，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，，，为整数，且是10的倍数，即可得出各购买方案； 任务3：由任务2的结论，可知分两种情况考虑，当购买30个风琴包，30个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签，根据兑换后精美书签与风琴包数量相同，可列出关于，的二元一次方程，结合，为整数，，均为自然数，即可得出各兑换方案；当购买购买20个风琴包，60个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签，根据兑换后精美书签与风琴包数量相同，可列出关于，的二元一次方程，结合，为整数，，均为自然数，即可得出各兑换方案． 【详解】解：任务1：设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元； 任务2：设购买个风琴包，个精美书签， 根据题意得：， ． 又，，，为整数，且是10的倍数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买30个风琴包，30个精美书签； 方案2：购买20个风琴包，60个精美书签； 任务3：①当购买30个风琴包，30个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签， 根据题意得：， ， ，为整数，，均为自然数， 或， 当购买30个风琴包，30个精美书签时，若超市赠送4张兑换券，则3张兑换风琴包，1张兑换精美书签；若超市赠送8张兑换券，则6张兑换风琴包，2张兑换精美书签； ②当购买购买20个风琴包，60个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签， 根据题意得：， ， ，为整数，，均为自然数， 或， 当购买20个风琴包，60个精美书签时，若超市赠送5张兑换券，则5张兑换风琴包：若超市赠送9张兑换券，则8张兑换风琴包，1张兑换精美书签． 答：当购买30个风琴包，30个精美书签时，若超市赠送4张兑换券，则3张兑换风琴包，1张兑换精美书签；若超市赠送8张兑换券，则6张兑换风琴包，2张兑换精美书签；当购买20个风琴包，60个精美书签时，若超市赠送5张兑换券，则5张兑换风琴包：若超市赠送9张兑换券，则8张兑换风琴包，1张兑换精美书签． 【经典例题二 行程问题】 【例2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设甲的速度为，乙的速度为，根据“第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】设甲的速度为，乙的速度为． 由题意，得 解得 答：甲的速度为，乙的速度为． 1．（23-24七年级上·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过t小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过t小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 【答案】①②④ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设上坡路长x千米，平路长y千米，根据时间、路程、速度之间的关系列方程组，逐项判断即可． 【详解】解：设上坡路长x千米，平路长y千米， 则，故①正确； 解上述方程组，得， 甲地到乙地的全程：，故②正确； 表示往返所用时间差，表示下坡与上坡速度差，两者之比不能得出上坡路长，故③错误； 设上坡路长x千米，根据上坡、下坡所用时间差等于往返所用时间差，可得，故④正确； 综上可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】(1)相差19分钟 (2)小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据“两人付给滴滴快车的乘车费相同”列方程求解即可； （2）根据题意小张乘车时间短，然后根据“他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟” 列方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟， 根据题意，得， 解得， ∵两人实际乘坐滴滴快车的时间即为这两辆滴滴快车的实际行车时间， ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟； （2）解：由知小张乘车时间短， 根据题意，，解得， 答：小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（23-24七年级上·福建泉州·期末）6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 【答案】甲每小时打包60件，乙每小时打包70件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时打包件、乙每小时打包件，根据“若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设甲每小时打包件、乙每小时打包件， 依题意，得， 解这个方程组，得， 经检验，符合题意， 答：甲每小时打包60件、乙每小时打包70件． 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【答案】(1) (2)时间上考虑选择甲公司 (3)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解． （2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （3）解：从节约开支上考虑选择乙公司，理由如下； 设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 【答案】(1)原计划拆建各4500平方米 (2)1620平方米 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积计划建造新校舍面积平方米，计划建造新校舍面积计划拆除旧校舍面积平方米．依等量关系列方程，再求解． （2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积． 【详解】（1）解：由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米， 则，解得 答：原计划拆建各4500平方米． （2）计划资金元 实用资金 ∴节余资金： ∴可建绿化面积平方米 答：可绿化面积1620平方米． 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）印江河是印江的母亲河，为了确保河道畅通，现需要对一段长为180米的河道进行清淤处理，清淤任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天完成12米，B工程队每天完成8米，共用时20天． 根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：        乙： (1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义． x表示______，y表示______；请你补全乙同学所列的方程组______ (2)求A、B两工程队分别完成河道清淤多少米？（写出完整的解答过程） 【答案】(1)x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数， (2)A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米 【分析】本题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数，运用不同设未知数的方法列出不同的方程组解决实际问题是解本题的关键． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答即可． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天， 由此列出的方程组为； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y， 由此列出的方程组为 ； 故答案为： A工程队工作的天数，B工程队工作的天数，； （2）解：选择甲同学的思路：依据题意得：，解得： 答：A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米． 若选择乙同学的思路：依据题意得：，解得 答：A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（23-24七年级上·重庆大足·期末）一个两位数，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数．当时，我们把放在的左边将所构成的新数叫做的“叠加数”．例如：，，∴47的“叠加数”为1547；，，∴26没有“叠加数”． (1)请判断5543是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数（，且均为整数）有“叠加数”，且能被11整除，求所有满足条件的两位数的“叠加数”． 【答案】(1)5543是43的“叠加数”，理由见解析 (2)14361或18773或4844或9652． 【分析】（1）根据“叠加数”的定义判断即可； （2）根据“叠加数”的定义及能被11整除两个条件可得出关于a和b的方程，依次可得出a，b的值，进而得出M的“叠加数”． 【详解】（1）5543是43的“叠加数”，理由如下： 对于5543，其中， ∵， ∴43的“叠加数”为5543； （2）∵两位数（，且均为整数）有“叠加数”， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∴和至少有一个能被11整除， ∵， ∴， 当时，或； 当时，或， 当时，，则M的叠加数为14361； 当时，，则M的叠加数为18773； 当时，，则M的叠加数为4844； 当时，，则M的叠加数为9652． 综上，满足条件的两位数M的“叠加数”为14361或18773或4844或9652． 【点睛】本题考查数的整除类，涉及二元一次方程的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 1．（23-24七年级上·重庆涪陵·期末）对于一个三位数M，如果它的百位数字与它的十位数字之和为10，则称M是“十成九稳数”． 例如：，∵，∴是“十成九稳数”． 又如：454，∵，∴454不是“十成九稳数”． (1)判断375，602是否是“十成九稳数”？说明理由； (2)已知一个“十成九稳数”(其中，，，且a，b，c都是整数)，把百位数字的3倍记作，百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作，若，求满足条件的所有N． 【答案】(1)是“十成九稳数”；是“十成九稳数”，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据“十成九稳数”的定义进行计算判断即可求解； （2）根据同一得出，，根据得出，继而分类讨论得出的值，根据，求得对应的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：，∵，∴是“十成九稳数”； ，∵，∴是“十成九稳数”； （2）解：∵是一个“十成九稳数” ∴， 把百位数字的3倍记作，则， 百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作，则 ∵， ∴， 即， ∵ 又，，， ∴或或或 又∵， ∴或或或 ∴满足条件的所有为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的求值，列代数式，分类讨论是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5 (2)第一次他们拼成的两位数为45 (3)第二次拼成的两位数是54 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． （3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是， 所以第二次拼成的两位数是54． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 3．（23-24七年级上·重庆大渡口·期末）阅读下列材料，并根据材料回答以下问题 材料一：一个三位数，各个数位均不相等且不等于0，满足这样条件的数叫“无独数”．任选无独数的两个数字，组成六个新的两位数，并把这六个两位数相加得到的和再除以11，得到的结果记作．例如：无独数351，得到的六个两位数分别为：35，31，53，51，13，15，则． 材料二：一个三位数，各个数位上的数字均为偶数，且百位数字最大，称这样的三位数为“有偶数”． (1)______；最小的有偶数为______； (2)试说明任意一个无独数m，的值均能被2整除； (3)若一个三位数，，既是无独数，又是有偶数，且的结果为6的倍数，求满足条件的所有n． 【答案】(1)26；200 (2)见解析 (3)642，624，864，846 【分析】（1）理解无独数的定义，类比示例计算F（G）．根据有偶数的定义找到最小的有偶数． （2）通过设出任意一个无独数的三个数位上的数字，计算F（m）是2的整数倍，从而说明F（m）能被2整除． （3）根据无独数和有偶数的定义，设出三个数位上的偶数，计算F（n），找到各个数位上的数字需要满足的条件，然后写出所有的n． 【详解】（1）由题知，． 由题知，最小的有偶数为200． 故答案为：26，200． （2）设任意一个无独数（1≤a，b，c≤9且a≠b≠c，a，b，c为整数），则得到的六个新两位数分别为，，，，，，则 ， ∴的值均能被2整除． （3）设， 由（2）可知， ∵1≤a，b，c≤9且a≠b≠c，a，b，c为整数， ∴ 又∵的结果为6的倍数， ∴a＋b＋c＝6，9，12，15，18，21，24 ∵n为有偶数， ∴a，b，c均为偶数．即a＋b＋c为偶数． ∴a＋6＋c＝12，18，24． 又∵百位上的数字a最大， 当a＋b＋c＝12时，a＝6，b＝4，c＝2；a＝6，b＝2，c＝4； 当a＋b＋c＝18时，a＝8，b＝6，c＝4；a＝8，b＝4，c＝6； 当a＋b＋c＝24时，不成立． 综上，满足条件的所有n为：642，624，864，846． 【点睛】本题是新定义问题，能从题中给出的定义中找到无独数和有偶数的数字特征，并能类比例子进行F（G）的运算． 【经典例题五 年龄问题】 【例5】（2024·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 3．（23-24七年级上·云南·期中）今年（2024年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【经典例题六 分配问题】 【例6】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）寒假社会实践活动期间，某中学参与服务工作．学校组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．计划调配36座新能源客车多少辆？该学校共有多少名志愿者？ 【答案】计划调配36座新能源客车6辆，该学校共有218名志愿者 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，涉及二元一次方程组的解法，根据题意，设计划调配36座新能源客车辆，该校有名志愿者，则调配22座新能源客车辆，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，根据等量关系列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设计划调配36座新能源客车辆，该校有名志愿者，则调配22座新能源客车辆，依题意，得： ， 解得， 答：计划调配36座新能源客车6辆，该学校学共有218名志愿者． 1．（23-24七年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）一养鱼专业户承包了20口相同的鱼塘，准备投入175000元养殖特种鱼类和一般鱼类，投入资金和所需人数如下表： 鱼类 投入资金/（元/口） 所需人数 特种鱼类 20000 每口鱼塘1人 一般鱼类 5000 三口鱼塘1人 该养鱼专业户应如何安排鱼塘？需要安排多少人？ 【答案】5口鱼塘用于养殖特种鱼类，15口鱼塘用于养殖一般鱼类，需要安排10人 【分析】设安排x口鱼塘用于养殖特种鱼类，y口鱼塘用于养殖一般鱼类，根据题意，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设安排x口鱼塘用于养殖特种鱼类，y口鱼塘用于养殖一般鱼类，根据题意，得 ，解得. 需要安排（人）. 答：5口鱼塘用于养殖特种鱼类，15口鱼塘用于养殖一般鱼类，需要安排10人. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（23-24八年级·陕西西安·期末）某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，一共用了8辆汽车满载运送． (1)小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组，请写出小宇所列方程组中未知数，表示的意义：表示 ，表示 ，该方程组中“？”处的数应是 ，“*”处的数应是 ． (2)小琼同学的思路是设甲种汽车运送m台家电，乙种汽车运送n台家电．请你按照小琼的思路列出方程组，并求甲种汽车的数量． (3)如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运送这190台家电后的总运费是多少？ 【答案】(1)使用甲种汽车的数量；使用乙种汽车的数量；8；190． (2)5辆 (3)1800元 【分析】（1）根据使用汽车的总数量、每种汽车的装载量及需运送的家电的总数量，即可得出，的意见及“？”和“”处的数； （2）根据8辆汽车一次运送家电190台，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将的值代入中即可求出结论； （3）根据总运费每辆车的运费使用该种车的数量，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：表示使用甲种汽车的数量，表示使用乙种汽车的数量，“？”处的数应是8，“”处的数应是190． 故答案为：使用甲种汽车的数量；使用乙种汽车的数量；8；190． （2）设甲种汽车运送m台家电，乙种汽车运送n台家电． 依题意得：， 解得：， ． 答：使用甲种汽车5辆． （3）总运费为：（元． 答：该公司运完这190台家电后的总运费是1800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题七 销售、利润问题】 【例7】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）某班毕业时，结余经费1800元，一部分给老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念，已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册，求每件文化衫和每本相册各多少元？ 【答案】每件文化衫的费用为35元，每本相册的费用为26元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每件文化衫的费用为x元，每本相册的费用为y元，根据每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册列出方程组求解即可． 【详解】解：设每件文化衫的费用为x元，每本相册的费用为y元， 由题意得，， 解得， 答：每件文化衫的费用为35元，每本相册的费用为26元． 1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【答案】(1)5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克 (2)7折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意列二元一次方程组，即可解答； （2）设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，即得打折后甲水果每千克利润为元，再列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克． （2）解：设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，所以打折后甲水果每千克利润为元， 由题意可知， 解得， 答：甲种水果打了7折． 2．（23-24七年级上·广西桂林·期末）今年“五一”期间，桂林秀甲天下的自然风光和人头攒动的热闹景象“霸屏”央视，据统计全市共接待游客万人次，实现旅游总收入亿元．某外地游客购买了三种桂林特色商品，因不小心污染了商品销售单上的部分信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价(元) 数量(瓶) 金额(元) 豆腐乳 15 三花酒 40 辣椒酱 a 2 50 合计 5 145 (1)某游客购豆腐乳，三花酒各几瓶？ (2)某游客再次购买3瓶豆腐乳，4瓶三花酒和3瓶辣椒酱共多少钱？ 【答案】(1)购豆腐乳1瓶，三花酒2瓶 (2)280元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设游客购豆腐乳x瓶，购买三花酒y瓶，根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可求解． （2）利用总价单价数量，即可求解． 【详解】（1）解：设游客购豆腐乳x瓶，购买三花酒y瓶，根据题意得： ， 解得：， 答：游客购豆腐乳1瓶，购买三花酒2瓶； （2）解：， （元）． 答：购买3瓶豆腐乳，4瓶三花酒和3瓶辣椒酱共花280元． 3．（23-24七年级上·北京海淀·期末）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；任务二：精包装6个，简包装21个，见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用， （1）设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； （2）设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出下列方程和不等式解答 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． 解这个方程组，得 答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意可列出下列方程和不等式： ，① ．② 由①得．将代入②．得； 因为m，n为正整数，所以，或，． 分装方案1：精包装6个，简包装21个 分装方案2：精包装3个，简包装23个 【经典例题八 和差倍分问题】 【例8】（2024·海南三亚·二模）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球．现有A、B两种品牌的足球，已知A品牌足球比B品牌足球的单价便宜元，购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需元，求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？ 【答案】A种品牌的足球单价是元，B种品牌的足球单价是元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题关键． 设A种品牌的足球单价是x元，B种品牌的足球单价是y元，根据“A品牌足球比B品牌足球的单价便宜元，购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需元”列方程组计算求解． 【详解】解：设A种品牌的足球单价是x元，B种品牌的足球单价是y元， 由题意得： ， 解得： ， 答：A种品牌的足球单价是元，B种品牌的足球单价是元． 1．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）用方程组解决问题：某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 【答案】捐5元的有2人，捐10元有13人 【分析】设捐5元的有x人，捐10元有y人，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐5元的有x人，捐10元有y人， 根据题意得：， 解得， 答：捐5元的有2人，捐10元有13人． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组． 2．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答） 【答案】甲有羊63只，乙有羊45只 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍可得方程；根据甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只， 根据题意，得 解得， 答：甲有羊63只，乙有羊45只． 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元，求这两种大米各购进多少袋； (2)据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为1500元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (3)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【答案】(1)购进A种大米30袋，B种大米40袋 (2)该超市3月份已售出大米的进货款为1000元 (3)有两种购买方案：方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋． 【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算； （2）列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算； （3）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量． 【详解】（1）解：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得 ， 解得 答：购进A种大米30袋，B种大米40袋； （2）解：设售出A种大米m袋，B种大米n袋， 则， 化简得， 进货款（元） 答：该超市3月份已售出大米的进货款为1000元； （3）解：设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋． 由题意得：． 解得， 为正整数， ∴或， 则有① ， ② ∴有两种购买方案： 方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋； 方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． 【经典例题九 几何问题】 【例9】（23-24七年级上·吉林通化·阶段练习）在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组解答即可； （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， 故小长方形的长为，宽为． （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为． 1．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 【答案】种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点，设小长方形的宽为，长为，再结合图形可得方程组，然后解方程组求出的值，进而即可得解，结合图形找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】设小长方形的宽为，长为， 根据题图，得， 解得， 种植番茄的面积为， 种植辣椒的面积为， 答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 2．（2024·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键． 设小正方形的边长为，根据题意可得，求得，即每个栏目宽为，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由图知， 即， ∴每个栏目的宽为． 则 故中缝的宽度为． 3．（23-24七年级上·河北沧州·期中）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 【答案】(1)， (2)①，；②甲型：，；乙型：，；③． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量 关系，列出二元一次方程组． （1）根据裁法一和裁法二裁出甲、乙的张数及剩余，可得出关于、的二元一次方程组，即可求解； （2）①由裁法一裁出2张甲和一张乙，裁法二裁出一张甲和2张乙，结合标准板材即可求解；②根据制作一个竖式无盖需要甲和张乙，制作一个横式无盖需要甲和张乙，即可求解；③根据甲、乙裁出的张数列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ，； （2）①一共可裁剪出甲型板材；（张）， 乙型版：（张）， 故答案为：，； ②甲型：，；乙型：，； ③根据题意得：， 解得：， ， 故答案为． 【经典例题十 图表信息题】 【例10】（23-24七年级上·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 1．（23-24七年级上·全国·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程． 【答案】76分 【分析】设掷中A区得x分，掷中B区得y分，根据小华和小芳的得分列出二元一次方程组，再通过变形直接得到小明的得分． 【详解】解：设掷中A区得x分，掷中B区得y分， 依题意，得， ，得． 答：小明的得分为76分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际问题，解决此题的关键是读懂题目，理清数量之间的关系． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B 【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：， ∴． 当时，；当时，；当时，． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 【答案】(1)乙种车型需辆．丙种车型需辆 (2)参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆 【分析】（1）设乙种车型需辆，丙种车型需辆，根据共150吨及运费元，列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆，根据一共吨列出方程，根据均为正整数，分别求出符合题意的，，的值即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙种车型需辆，丙种车型需辆， 根据题意得 解得 答：乙种车型需辆，丙种车型需辆． （2）解：设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆， 由题意得， 即 ， 因为均为正整数， 所以时； 时，； 时，； 时，； 答：参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 【经典例题十一 古代问题】 【例11】（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【答案】甲有钱 ，乙有钱25 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键． 设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y， 由题意得： 解得： 答：甲有钱 乙有钱25． 1．（23-24七年级上·北京通州·期中）列方程组解应用题： 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个最简的二阶幻圆的模型，将一些数字分别填入图中的圆圈内，要求：①外、内两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，请你求出图中外，内两个圆周上两空白圆圈内应填写的数字是多少? 【答案】图中外圆周上空白圆圈内填写的数字是4，图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是7. 【分析】设外圆周上的数字是x，内圆周上的数字是y，由题意：（1）内、外两个圆周上的四个数字之和相等；（2）外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设图中外圆周上空白圆圈内填写的数字是x， 图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是y， 根据题意得， 解得：， 答：图中外圆周上空白圆圈内填写的数字是4图中内圆周上空白圆圈内填写的数字是7． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·河南南阳·期末）下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程． 古代问题：某人工作一年报酬是一件衣服和10枚银币，但他工作满8个月后就不干了，结账时，给他一件衣服和2枚银币，求这件衣服的价值是多少枚银币？每月报酬是多少枚银币？ 南南：             阳阳：， 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x的意义是_____________； (2)阳阳的方程所用等量关系是（    ） A．每月所得的报酬相等　　　　B．8个月所得的报酬相等 (3)从以上两个方程（组）中选一个，并直接回答老师提出的问题． 【答案】(1)衣服的价值 (2)B (3)这件衣服值14枚银币，每月报酬为2银币 【分析】（1）根据南南所列方程组及明明所列方程的等量关系，可得出x的意义均为衣服的价值，进而可得出以上两个方程（组）中x意义； （2）由（1）的结论结合，即可得出结论； （3）分别选择南南及阳阳的方法，解二元一次方程组或一元一次方程，即可求出结论． 【详解】（1）南南所列方程组中x的意义为衣服的价值，阳阳所列方程中x的意义为衣服的价值， ∴以上两个方程（组）中x意义为：衣服的价值． 故答案为：衣服的价值． （2）∵x的意义为衣服的价值， ∴为8个月所得的报酬相等． 故选B． （3）选择南南的方法，解得：； 选择阳阳的方法，解得：， ∴． 答：这件衣服值14枚银币，每月报酬为2银币． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据所列方程组及方程，找出x的意义；（2）根据（1）的结论，找出的含义；（3）通过解方程或方程组，找出这件衣服的价值和每月报酬． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）在九章算术的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图所表示的方程组为______ ． (2)任务二：请解你所列的方程组． (3)任务三：请聪明的你尝试用不同的方法解你所列的方程组． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据图所表示的方程组可得出图所表示的方程组； （2）利用加减法解方程组即可； （3）利用代入法求解即可． 【详解】（1）解：根据图所示的算筹的表示方法，可推出图所示的算筹的表示的方程组：， 故答案为：； （2）由（1）得：， 得，， 即， 把代入得，， ． 所以方程组的解为：； （3）由（1）得：， 由得，， 将代入得， 解得， 把代入得，． 所以方程组的解为：． 【点睛】本题是古代问题，考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解二元一次方程组；观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题十二 其他问题】 【例12】（23-24七年级上·全国·单元测试）某校六（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人   数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．请求出捐款2元和捐款3元的同学各有几名？ 【答案】捐款2元的同学有15名，捐款3元的同学有12名 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设捐款元的有x人，捐款元的有人．根据共有名同学，得方程；根据共捐款元，得方程，联立解方程组即可解题． 【详解】解：设捐款2元的同学有名，捐款3元的同学有名，         根据题意，得， 解得 答：捐款2元的同学有15名，捐款3元的同学有12名． 1．（23-24七年级上·河南周口·期末）五一节假日期间，小明和爸爸带着客人去某动物园游玩，已知该动物园成人票每张元，儿童票每张元，共买了张票，花费了元，问购买成人票与儿童票各多少张？ (1)设购买成人票张，根据题意，列出一元一次方程（不需要解方程）． (2)请你用二元一次方程组的知识解决这个问题，并写出解题过程． 【答案】(1) (2)购买成人票张，儿童票张；过程见解析 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意找出等量关系列出方程、方程组． （）设购买成人票张，根据该动物园成人票每张元，儿童票每张元，共买了张票，花费了元列出方程； （）设购买成人票张，儿童票张．根据成人的票数加上儿童的票数等于总票数，成人的票数乘以票价加上儿童的票数乘以票价等于总的收入，列出方程组，然后求解方程组即可得出成人的票数和儿童的票数． 【详解】（1）解：． （2）解：设购买成人票张，儿童票张． 根据题意，得 由①得， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， 答：购买成人票张，儿童票张． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 【答案】任务1：；任务2：这个矿泉水瓶的质量是10克；任务3：支撑点向左平移 【分析】二元一次方程组的应用； 任务1：依据题意，由左盘砝码质量右盘物体质量，进而列式计算可以得解； 任务2：依据题意，设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2可列方程组，计算即可得解； 任务3：依据题意，由左盘量码质量右盘物体质量，矿泉水瓶水的质量，可得，进而计算可以得解． 【详解】解：任务1： 左盘砝码质量右盘物体质量， 解得． 所以的长为． 任务2： 设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组： ， 解得． 答：这个矿泉水瓶的质量是10克． 任务3： 左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量， ． 解得：． ，所以支撑点向左平移． 3．（23-24七年级上·广西防城港·期末）【综合与实践】某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用 同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和 原计划租用45座客车的数量． 【合作探究】 小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为  x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程 ”． 小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y 辆，则多出一辆车，且  其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y 少1，可以表示为 辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为 ，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程”． 【问题解决】 (1)请按顺序写出小聪和小明分析的结论： ， ， ； (2)根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解； (3)若45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．若租用同一 种车，要使每位参加活动的人都有座位，怎样租车更合算？请直接写出租车的类型和数量即可． 【答案】(1)，， (2)参加此次活动的总人数为240人，原计划租用45座客车5辆 (3)应租用60座客车4辆更合算 【分析】该题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）根据“租用45座客车若干辆，但有15人没有座位”可得总人数为；根据“租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”即可求解； （2）根据（1）中等量关系列出方程组，即可求解； （3）根据题意分别计算费用即可判断； 【详解】（1）解：依题意可得： ，，乘客的总数量为； （2）解：依题意可列方程组为 ， 解得， 所以，参加此次活动的总人数为240人，原计划租用45座客车5辆． （3）解：若租用45座客车，则需租6辆才能保证人人有座位，费用为元每天， 若租用60座客车则需租4辆即可，刚好每辆车都坐满，费用为元每天，故租用60座客车4辆更合算． 故应租用60座客车4辆更合算． 1．（23-24七年级上·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 2．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为28，则图中阴影部分的面积为（   ） A．120 B．110 C．90 D．80 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据“与的差为2，小长方形的周长为28”，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为，根据“车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时”列方程组求解即可． 【详解】解：设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为， 根据题意，得， 化简得， 两式相加，得， ∴， 即甲乙两地的公路长， 故选：B． 5．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）妈妈带着小明观看了亚运会游泳比赛共消费了410元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干13元，每瓶矿泉水2元，那么他们买了 包饼干、 瓶矿泉水．（    ） 项目 早餐 午餐 游泳门票 饼干 矿泉水 支出金额（单位：元） 40 100 240 A．1，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设买了x包饼干，y瓶矿泉水，根据题意列得，得到x，y的正整数解即可，正确理解题意列得方程是解题的关键． 【详解】解：设买了x包饼干，y瓶矿泉水，则 ， ∴， 得， ∵x，y均为正整数， 当时，， 故选：B． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需 元． 【答案】100 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后观察方程组的特点和所求问题，只要将两个方程相加，再除以3，即可求得购甲、乙两种商品各1件共需的钱数． 【详解】解：设购甲种商品每件元，乙种物品每件元， 由题意可得：， ①②，得：， ， 即购甲、乙两种商品各1件共需100元， 故答案为：100． 7．（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 8．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意．设有x人，物品价格为y钱，根据每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，列出方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价格为y钱， 根据题意得：， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·河南周口·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x，y的二元一次方程，求出x，y的值即可得出结论． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． ∴最左下角的数为， ∴最中间的数为，或为； 最右下角的数为：，可为； ∴ 解得， ∴， 故答案为：8． 10．（23-24七年级上·广西来宾·期末）小丽逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列仍然能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有 ． 【答案】// 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为， 根据题意得： 解得： ． 则10个碗放在一起时，它的高度为． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·海南·期中）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得80万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 【答案】该企业甲类生产线有20条，则乙类生产线各有10条 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有y条，再利用更新完这条生产线的设备，该企业可获得80万元的补贴，建立方程求解即可． 【详解】解：设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有y条，则 ，解得：， 答：该企业甲类生产线有20条，则乙类生产线各有10条． 12．（24-25七年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案． 【详解】解：选择的方程组为甲， 设为工程队工作的天数； 为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 13．（23-24七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 14．（24-25七年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 15．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$