专题05 解二元一次方程组重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题05 解二元一次方程组重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 二元一次方程的解 题型四 二元一次方程组的解求参数 题型五 代入消元法 题型六 加减消元法 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 二元一次方程组的错解复原问题 题型九 三元一次方程组的定义及解 题型十 三元一次方程组的应用 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可得：， 解得． 故选：A． 1．（23-24七年级上·四川资阳·期中）下列方程中，二元一次方程共有（   ） ①；②；③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：①是一元一次方程； ②是二元二次方程； ③是二元一次方程； ④是二元一次方程； 故选：B． 2．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）若是二元一次方程，则值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义进行求解即可：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果； 【详解】（1）根据定义，得到， 解得， “雅系二元一次方程”的“完美值”为6． （2）根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； （3）不存在，理由如下： 根据定义，得到，， 解得， 假设存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同， 则，无解， 不存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同； 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二元一次方程组的判断，掌握二元一次方程组的定义是解决此题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，故A不符合题意； B． 是二元二次方程组，故B不符合题意； C．是二元一次方程组，故C符合题意； D．是分式方程组，故D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·课前预习），这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做 ． 二元一次方程组的条件：共含有 个未知数；每个方程都是 方程． 【答案】 二元一次方程组 两 一次 【解析】略 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 【经典例题三 二元一次方程的解】 【例3】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值，则可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】解：设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为非负整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴方程一共有6组不同的非负整数解， ∴不同的换法一共有6种， 故选：B． 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案． 【详解】解：由得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴二元一次方程的正整数解有3组， 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据题意得，满足以及周长大于，高大于的一组正整数，即可作答． 【详解】解：如图可得， 解得：， ∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm， ∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·全国·期中）下面是甲、乙两人求二元一次方程的正整数解的过程：甲说： 我可以用不等式知识求解．∵x、y为正整数，且由已知易得： ，所以，且应为正整数，∴x为3的倍数，从而x只能取3，代入得，所以的正整数解为． 乙说：由于12和都是偶数，所以是正偶数且小于12，我可以用简单列举法尝试得到的正整数解只有； 请结合以上解法解答下列问题： (1)直接写出方程的一组正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（     ）个． A．5   B．6    C． 7      D．8 (3)七年级某班为了奖励课堂“展示之星”与“质疑之星”，特购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔．两种奖品，共花费48元，请直接写出所有购买方案． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)B (3)有3种购买方案：方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；方案3：购买笔记本1个，钢笔9支 【分析】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据题意得出，即可求解； （2）根据为自然数，可得能被12整除，即可求解； （3）设购买了m个笔记本，n支钢笔，则，，求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∵为自然数， ∴能被12整除， ∴、2、3、4、6、12； 解得：、5、6、7、9、15共6个， 故选：B； （3）解：设购买了m个笔记本，n支钢笔， ， ∴①时，；②时，；③时，； ∴有3种购买方案： 方案1：购买笔记本11个，钢笔3支； 方案2：购买笔记本6个，钢笔6支； 方案3：购买笔记本1个，钢笔9支． 【经典例题四 二元一次方程组的解求参数】 【例4】（23-24七年级上·湖北荆门·期末）若二元一次方程组的解，也是关于x、y的二元一次方程的解，则k的值是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程，将方程组的解代入方程是解题的关键． 解方程组，然后将方程组的解代入二元一次方程即可得出结论． 【详解】解：解方程组， 得：， 得：， 将代入①可得： 故方程组的解是：， 将代入中得：， 解得：， 故选：B． 1．（23-24七年级上·北京·期中）已知是二元一次方程的一个解，那么m的值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握二元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键． 将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东德州·开学考试）已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 将代入方程组，可得，据此判断即可； 当时，解方程组，由加减消元法解得，据此判断即可； ③当时，方程组为，由加减消元法解得，再将解代入方程中，据此判断即可； 由加减消元法解方程组得，则，据此判断即可． 【详解】解：①将代入方程组，可得， 故①符合题意； ②当时，方程组为， ①②得，， 将代入①得，， 、互为相反数， 故②符合题意； ③当时，方程组为， ①②得，， 将代入②得，， 方程组的解为， 将满足方程， 故③符合题意； ④， ①②得，， 将代入②得，， ， ④不符合题意； 故答案为①②③． 3．（23-24七年级上·广西贵港·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，根据题意得到，得到，代入即可求出答案． 【详解】解： 由题意得：， 解得， 将，代入， 得：， ∴， 【经典例题五 代入消元法】 【例5】（23-24七年级上·全国·期末）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法解方程组，将方程①变形用含x、a的式子表示出y，进而再代入方程②，用含a的式子表示出x的值，从而即可用含a的式子表示出y，据此即可求出x、y的比值了． 此题考查解二元一次方程组的方法，用含a的式子表示出x、y的值是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 代入②得，， ， ， ， ∴，， 故选：A． 1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）对于任何的m值，关于x、y的方程都有一个与m无关的解，这个解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程的解、解二元一次方程组，把原方程整理成，再根据题意得，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵对于任何的m值，关于x、y的方程都有一个与m无关的解， ∴， 解得， 故选：D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）在方程中用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则进行变形即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上，得：，即， 方程两边再同时减去2，得：，即． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 4 a b c 3 … (1)求a、c的值； (2)把上面的表格补充完整，并求出第2024个格子中的数． 【答案】(1)，； (2)补全表格见解析，第2024个格子中的数为； 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，求方程组的解即可得出答案； （2）根据题意可得：格子中的整数以“”为周期循环．由为第9个空格里面的数，可得，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 解得：． （2）解：∵任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等， ∴格子中的整数以“”为周期循环． ∵为第9个空格里面的数， ∴， ∴补全表格如下： 4 3 … ∵， ∴第2024个数是． 【经典例题六 加减消元法】 【例6】（23-24七年级上·全国·期末）已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，由题意得，用表示，，再根据、、，为非负数得不等式组即可求得，进而可得，的值，即可求解．熟练掌握相关运算是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故排除C和D， 由题意，得，解得， ∵a、b、c均非负，∴， 解得， ∵c的最大值为m，最小值为n， ∴，， ∴， 故选：B． 1．（23-24七年级上·全国·期中）已知是方程组的解，则的值是（      ） A． B．8 C．2 D． 【答案】D 【分析】把方程组的解回代转化为关于a，b的新方程组，求得a，b的值后计算即可 本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，熟练运用方程解的定义化已知方程组为被求字母为未知数的新方程组是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得， ∴=， 故选D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先分别解两个方程组得到，，再根据两个方程组的解相同得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 解方程组得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）用代入消元法解方程组     （2）用加减消元法解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法求方程组的解，并能正确计算是解题的关键． （1）用代入消元法求解方程组即可； （2）用加减消元法求解方程组即可． 【详解】解：（1）， 由①得：③， 将③代入②，得， 整理得，， 将代入③，得， ∴方程组的解为； （2）， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解为． 【经典例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例7】（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案．本题考查二元一次方程组的解得定义，结合已知条件求得，是解题的关键． 【详解】解：已知关于，的方程组的解为， 那么将关于，的方程组变形得， 则， 解得：， 即该方程组的解为：， 故选：A． 1．（2024·山东·一模）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，这类题目的解题关键是灵活运用二元一次方程组的解法，观察题目特点灵活解题．在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答． 【详解】解：设，， 则方程组变形为， 方程组的解为， ， ． 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 【答案】18 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用换元法变形后，即可求出解即可． 【详解】设，， 则可变形为， 两个方程相减得，即， 把代入得， 解得， ∴， 故答案为：18． 3．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 【经典例题八 二元一次方程组的错解复原问题】 【例8】（23-24七年级上·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）解方程组时，一学生把c看错而得到而正确的解是，那么 ． 【答案】 【分析】将错误的解和正确的解分别代入方程组，得出和，，联立关于的方程组，解得的值，即可得解. 【详解】解：将代入方程组，得①， 将代入方程组，得②， 联立，得 解得 ∴， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查利用二元一次方程组的解求参数的值，掌握方程组的解的概念是关键. 3．（23-24七年级上·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 【经典例题九 三元一次方程组的定义及解】 【例9】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 1．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】 得： 得： 把代入中 ， 把，代入得： ， 方程组的解为， 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】（1）  （2）  （3）比不打折少花了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． （1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； （3）设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】解：（1）， 把②代入①中，得：， 解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为； （2）， ①②得： ； （3）设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， ∴(元)， 答：比不打折少花了元． 【经典例题十 三元一次方程组的应用】 【例10】（23-24七年级上·广西南宁·期末）如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质、三元一次方程组，设每个球体的质量为，每个正方体的质量为，每个圆柱体的质量为，根据天平可得，，进而利用等式的性质解答即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：设每个球体的质量为，每个正方体的质量为，每个圆柱体的质量为， 根据题意得，，， 根据等式的基本性质，将的两边同时除以得，， 将代入得，， 根据等式的基本性质，将的两边同时减得，， ∴与个球体质量相等的圆柱体的个数为， 故答案为：． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x，根据图形之间的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x． 由题意得， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴大长方形的周长． 故选：B． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币：丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 次． 【答案】8 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用．根据题意可知，设在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次．在甲机上每换一次多1个；在乙机上每换一次多3个；在丙机上每换一次多9个；进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可． 【详解】解：设在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次， 在甲机上每换一次多 1 个； 在乙机上每换一次多 3 个； 在丙机上每换一次多 9 个； 进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个； ∴ 由②①，得：， ∴， ∴， 结合，能满足上面两式的值为： ∴； 即在丙机换了8次． 故答案为：8． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，4 (2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元 (3)1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识， （1）由得，则，再由得，则； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意列出方程组，再由整体思想求出，即可求解； （3）由定义新运算：得，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，4； （2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元， 由题意得：， 得：， ∴， 即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元； （3）解：∵， ∴， 得：， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义逐项分析判断，即可求解． 本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是二元一次方程，故符合题意； B. ，最高次是二次，不是二元一次方程，故不符合题意； C. ，只含有一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题． D. ，不是整式方程，故不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期末）若，则(   ) A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 解得， 则原式， 故选B． 3．（23-24七年级上·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程变形后进行判断即可． 【详解】解：由①得：或， 则A，B均不符合题意； 由②得：或， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 5．（2024·河北邯郸·三模）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （      ） A．△最重 B．◯最重 C．□最重 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据两个托盘的质量相等列出方程组是解题的关键．设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z，通过理解题意，可知本题的等量关系为．即，根据等量关系求解即可． 【详解】解：设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z， 根据题意可得， 解得， ∴ 即“□”最重， 故选：C． 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如果，那么 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二元一次方程组的解法，根据非负数的性质列出关于x和y的方程组是解答本题的关键．根据非负数的性质列出方程组，即可求出x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得： ∴ 解得：， ∴， 故答案为： 7．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 8．（23-24七年级上·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，熟练运用整体法解方程组是解题的关键． 把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解， 【详解】解：， 得： ， ， x，y互为相反数， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·北京朝阳·期末）某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分． （1）在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负 场；（写出一种情况即可） （2）在这次足球联赛中，若甲、乙两队都得33分，甲队所有比赛都没有踢平，甲、乙两队负场数不同，则乙队最多胜 场． 【答案】 10（答案不唯一） 10 【分析】本题考查二元一次方程和一元一次不等式的应用． （1）设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据“每队需参赛19场，某队得13分”，即可列出方程，求解即可； （2）根据甲队的比赛情况可知甲队共胜了11场，负了8场．设乙队胜了a场，平了b场，负了c场，根据“参赛19场，某队得33分”即可列出方程，结合a，b，c均为非负整数，且，即可得到a的最大值，从而解答． 【详解】解：（1）设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据题意，得 ， ∵x，y，z均为非负整数 ∴或，，， ∴该队可能负8场或10场，12场，14场． 故答案为：10（答案不唯一） （2）∵甲队所有比赛都没有踢平，且得33分， ∴甲队共胜了（场） 负了（场）， 设乙队胜了a场，平了b场，负了c场，根据题意，得 ， ∵a，b，c均为非负整数，且， ∴a最大值为 即乙队最多胜了10场． 故答案为：10 11．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解下列方程（组）： (1)（用代入消元法解）； (2)（用加减消元法解）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知代入消元法与加减消元法的运用． （1）由得，将其代入即可得关于y的一元一次方程，进而可得，再将代入可得x，方程得解； （2）将整体乘2，再减去即可消去x，解得y，再将y代入任一方程即可得x，方程得解． 【详解】（1）解：， 由②得③， 把③代入①得， 解得：， 把代入②得， 方程组的解为； （2）， 解：②①得， 解得， 把代入②得， 解得， 方程组的解为． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可； （2）先将和消去，解出，再解出和即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为； （2）解：， 由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是：． 13．（23-24七年级·全国·假期作业）如果（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 【答案】a≠2，b≠﹣1 【分析】根据二元一次方程含有两个未知数可知a﹣2≠0，b+1≠0，即可求出a，b所满足的条件． 【详解】解：∵（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程， ∴a﹣2≠0，b+1≠0， ∴a≠2，b≠﹣1． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义：即含有两个未知数的方程，根据定义求参数满足的条件，难度一般． 14．（23-24七年级上·全国·期中）已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法消去即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 把代入得：， 则， ∴． 15．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；； (2)3 (3)元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解二元一次方程组重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 二元一次方程的解 题型四 二元一次方程组的解求参数 题型五 代入消元法 题型六 加减消元法 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 二元一次方程组的错解复原问题 题型九 三元一次方程组的定义及解 题型十 三元一次方程组的应用 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·四川资阳·期中）下列方程中，二元一次方程共有（   ） ①；②；③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）若是二元一次方程，则值 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课前预习），这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做 ． 二元一次方程组的条件：共含有 个未知数；每个方程都是 方程． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【经典例题三 二元一次方程的解】 【例3】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．10种 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      3．（23-24七年级上·全国·期中）下面是甲、乙两人求二元一次方程的正整数解的过程：甲说： 我可以用不等式知识求解．∵x、y为正整数，且由已知易得： ，所以，且应为正整数，∴x为3的倍数，从而x只能取3，代入得，所以的正整数解为． 乙说：由于12和都是偶数，所以是正偶数且小于12，我可以用简单列举法尝试得到的正整数解只有； 请结合以上解法解答下列问题： (1)直接写出方程的一组正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（     ）个． A．5   B．6    C． 7      D．8 (3)七年级某班为了奖励课堂“展示之星”与“质疑之星”，特购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔．两种奖品，共花费48元，请直接写出所有购买方案． 【经典例题四 二元一次方程组的解求参数】 【例4】（23-24七年级上·湖北荆门·期末）若二元一次方程组的解，也是关于x、y的二元一次方程的解，则k的值是（   ） A．4 B． C． D．5 1．（23-24七年级上·北京·期中）已知是二元一次方程的一个解，那么m的值为（　　） A．3 B． C．4 D． 2．（24-25七年级上·山东德州·开学考试）已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）． 3．（23-24七年级上·广西贵港·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值． 【经典例题五 代入消元法】 【例5】（23-24七年级上·全国·期末）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）对于任何的m值，关于x、y的方程都有一个与m无关的解，这个解是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）在方程中用含的式子表示，则 ． 3．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 4 a b c 3 … (1)求a、c的值； (2)把上面的表格补充完整，并求出第2024个格子中的数． 【经典例题六 加减消元法】 【例6】（23-24七年级上·全国·期末）已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·期中）已知是方程组的解，则的值是（      ） A． B．8 C．2 D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）用代入消元法解方程组     （2）用加减消元法解方程组 【经典例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例7】（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为（　 　） A． B． C． D． 1．（2024·山东·一模）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【经典例题八 二元一次方程组的错解复原问题】 【例8】（23-24七年级上·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）解方程组时，一学生把c看错而得到而正确的解是，那么 ． 3．（23-24七年级上·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【经典例题九 三元一次方程组的定义及解】 【例9】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 1．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【经典例题十 三元一次方程组的应用】 【例10】（23-24七年级上·广西南宁·期末）如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 ． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币：丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 次． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期末）若，则(   ) A． B．1 C． D． 3．（23-24七年级上·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 4．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2024·河北邯郸·三模）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （      ） A．△最重 B．◯最重 C．□最重 D．无法比较 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如果，那么 7．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 8．（23-24七年级上·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 9．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为 ． 10．（23-24七年级上·北京朝阳·期末）某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分． （1）在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负 场；（写出一种情况即可） （2）在这次足球联赛中，若甲、乙两队都得33分，甲队所有比赛都没有踢平，甲、乙两队负场数不同，则乙队最多胜 场． 11．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解下列方程（组）： (1)（用代入消元法解）； (2)（用加减消元法解）． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 13．（23-24七年级·全国·假期作业）如果（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 14．（23-24七年级上·全国·期中）已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 15．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$