精品解析：广东省广州市四校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

广东省广州市四校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 一、单选题 1. 对下列各图的变换顺序描述正确的是（ ） A. 翻折、旋转、平移 B. 翻折、平移、旋转 C. 平移、翻折、旋转 D. 旋转、翻折、平移 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形，根据翻折、平移及旋转的性质解答即可. 【详解】观察图形可得：第一个图形通过翻折变换得到第二个图形；第二个图形通过平移变换得到第三个图形；第三个图形通过旋转变换得到第四个图形；由此可得，图形变换的顺序依次为：翻折、平移、旋转． 故选B. 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变化的定义并准确识图是解题的关键. 2. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， ∵， ∴， 故选：B． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A. k≤ B. k< C. k≥ D. k> 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，方程有两个不相等的实数根，所以，解得 5. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行分析求解即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线得：，， ∴抛物线开口向下，与轴交点在负半轴上， ∴图象大致是： 故选：． 6. 如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处（点在一条直线上），则本次旋转的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质，根据题意，理解本次旋转的旋转角度等于，数形结合，由已知角度即可得到，熟记旋转性质，数形结合表示出旋转角是解决问题的关键． 【详解】解：如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处， 边旋转到边，即本次旋转的旋转角度等于， 点在一条直线上， ， ， 故选：C． 7. 已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（ ） A. B. ± C. ﹣ D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则二次项系数大于0，即2－a＞0，且a2－3＝2，从而得到答案． 【详解】根据题意，得， 解得：a＝－， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质，解本题的要点在于不可忘记考虑二次项系数的范围． 8. 已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，然后代入求解即可． 【详解】∵m、n是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 9. 若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x－m）2+1的顶点必在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由直线y=3x+m经过第一，三，四象限可判断m的符号，再由抛物线y=（x-m）2+1求顶点坐标，判断象限． 【详解】∵直线y=3x+m经过第一，三，四象限， ∴m＜0， ∴抛物线y=（x-m）2+1的顶点（m，1）必在第二象限． 故选B． 【点睛】要求掌握直线性质和抛物线顶点式的运用． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键． ①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误． 【详解】解：①∵， ∴ ∵， ∴故①错误； ②由图象可知：时，； 即，故②正确； ③由图象可知， ∴， 又， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④由图象可知：时，， 又， 即， ∴， ∴故④错误． 二、填空题 11. 把方程化为一元二次方程的一般形式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，理解并掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为．据此即可获得答案． 【详解】解：把方程化为一元二次方程的一般形式：． 故答案为：． 12. 已知函数是关于的二次函数，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故答案为：． 13. 若点与关于原点对称，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，把绕点顺时针旋转得到，此时于，已知，的度数是________． 【答案】40 【解析】 【分析】由垂直的定义，旋转的性质先求解，再利用旋转的性质可得答案． 【详解】解：， ， ， 由旋转的性质得： ， ， ∴旋转角． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，旋转的性质，掌握旋转角及旋转的性质是解题的关键． 15. 已知二次函数（为常数，且）的图像上有三点，则的大小关系是____．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质，求出对称轴，得到到对称轴距离为，再由二次函数，开口向上确定，点到对称轴距离越近函数值越小即可得到答案，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（为常数，且）开口向上、对称轴为， 到对称轴距离为， 抛物线开口向上，确定点到对称轴距离越近函数值越小， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕着点顺时针旋转后得到． （1）请在图中画出； （2）线段旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留）． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转，坐标与图形，勾股定理，扇形面积公式．利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出绕点顺时针旋转后各顶点的对应点，再顺次连接即可； （2）根据勾股定理可求出的长，再根据线段旋转过程中所扫过的面积即为扇形的面积，结合扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知线段旋转过程中所扫过的面积即为扇形的面积，且圆心角为，半径长为长． ∵，， ∴， ∴． 19. 已知抛物线y＝－x2＋2x＋2． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … … y … … （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小． 【答案】（1）直线x＝1；（1，3） （2）填表： x … －1 0 1 2 3 … y … －1 2 3 2 －1 … （3）y1＜y2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）代入对称轴公式和顶点公式（，）即可； （2）尽量让x选取整数，通过解析式可求出对应的y的值，填表即可 （）结合图象可知这两点位于对称轴右边，图象随着x的增大而减小，因此y1＜y2． 试题解析：（1）直线x＝1；（1，3） （2）略 （3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2． 考点： 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． （1）根据根的判别式得到，然后解不等式即可求解； （2）由可得到或，讨论：当，根据根与系数的关系得到，解得，不满足（1）中的取值范围，舍去；当，根据根的判别式得到，求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ， ． 【小问2详解】 解：， 或， 当时，则， 解得，不满足（1）中的取值范围，舍去； 当时，则， 解得． 综上，的值是． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元/个．测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少个． （1）设售价在元/个的基础上涨价x元，则月销售量为______个，每个头盔的利润是______元．（用x的代数式表示） （2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠．则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1），； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）利用月销售量每个头盔降低的价格，可用含x的代数式表示出月销售量，利用每个头盔的利润=售价-进价，可求出每个头盔的利润； （2）利用月销售利润=每个的头盔的利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：当售价在元/个的基础上涨价x元，月销售量为个，每个头盔的利润是元． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 22. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧． （1）若一元二次方程的一个解是，求出A，B两点的坐标； （2）若抛物线的顶点在直线上，求此抛物线的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入方程，求出c，即可求得抛物线解析式，再令，求解，即可求解； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线的顶点坐标为，再把代入，求出c值，即可求解． 【小问1详解】 解：一元二次方程的一个解是， 把代入，得 ∴ 抛物线解析式为， 令，则 解得：，， ∵抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧， ∴，． 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴把代入，得 ， ∴， ∴抛物线解析式为． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．    素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 【答案】任务1：；任务2：4.5米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数应用，理解题意，求出函数表达式是解题的关键． 任务1：由待定系数法求解即可； 任务2：由待定系数法求出函数表达式，进而求解； 【详解】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 可设抛物线为． 又由题意，， ． ， 顶棚部分抛物线的表达式； 任务2：如图， ∵从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同， ∴从喷水口喷出的水流看成的抛物线为， 由题意，点， 把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵ ∴当时，抛物线有最大值为3.05米， 即处喷出的水流在距离点水平距离为4.5米时达到最高． 24. 如图1，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，将绕点C顺时针旋转至，连接． （1）证明：是等边三角形； （2）证明：； （3）如图2，如果点E在线段的延长线上，其它条件不变，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转至， ∴，， ，， ∴是等边三角形； （2） 证明：∵是等边三角形， ， 又， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ； （3） 解：，理由如下： ∵绕点顺时针旋转至， ，， ∴是等边三角形， ， 又， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由旋转可得，可得是等边三角形； （2）由（1）可得，进而得，根据是等边三角形，可得，即可证，得，，而，故； （3）由绕点顺时针旋转至，可得是等边三角形，即可得，又是等边三角形，可得；而，可推得，从而，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 综合与探究 如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC， (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值； (3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)3；(3). 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可； (2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； (2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F， ∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2， 由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S△OAC=， ∵S△BCD=S△AOC， ∴S△BCD =， 设直线BC的函数表达式为， 由B，C两点的坐标得，解得， ∴直线BC的函数表达式为， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4， ∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=， ∴S△BCD =， ∴， 解得(舍)，， ∴的值为3； (3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图， 以BD为边时，有3种情况， ∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±， 当点N的纵坐标为时，如点N2， 此时，解得：(舍)， ∴，∴； 当点N的纵坐标为时，如点N3，N4， 此时，解得： ∴，， ∴，； 以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合， ∵，D(3，)， ∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)， 综上，点M的坐标为：. 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市四校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 一、单选题 1. 对下列各图的变换顺序描述正确的是（ ） A. 翻折、旋转、平移 B. 翻折、平移、旋转 C. 平移、翻折、旋转 D. 旋转、翻折、平移 2. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A. k≤ B. k< C. k≥ D. k> 5. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处（点在一条直线上），则本次旋转的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（ ） A. B. ± C. ﹣ D. 0 8. 已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 9. 若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x－m）2+1的顶点必在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题 11. 把方程化为一元二次方程的一般形式：_______． 12. 已知函数是关于的二次函数，则的值为 _____． 13. 若点与关于原点对称，则_______． 14. 如图，把绕点顺时针旋转得到，此时于，已知，的度数是________． 15. 已知二次函数（为常数，且）的图像上有三点，则的大小关系是____．（用“<”连接） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕着点顺时针旋转后得到． （1）请在图中画出； （2）线段旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留）． 19. 已知抛物线y＝－x2＋2x＋2． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … … y … … （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，求a的值． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元/个．测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少个． （1）设售价在元/个的基础上涨价x元，则月销售量为______个，每个头盔的利润是______元．（用x的代数式表示） （2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠．则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧． （1）若一元二次方程的一个解是，求出A，B两点的坐标； （2）若抛物线的顶点在直线上，求此抛物线的解析式． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．    素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 24. 如图1，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，将绕点C顺时针旋转至，连接． （1）证明：是等边三角形； （2）证明：； （3）如图2，如果点E在线段的延长线上，其它条件不变，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 25. 综合与探究 如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC， (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值； (3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $