精品解析：江西省景德镇市2024-2025学年上学期11月九年级数学期中考试数学试卷

景德镇市2024−2025学年度上学期期中质量检测卷 九年级数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个菱形的面积是120，其中一条对角线的长为10，则另一条对角线长是（ ） A. 10 B. 12 C. 24 D. 26 3. 化学课上张老师在讲解《物质的变化与性质》时，为了增加课堂的趣味性，特意准备了四张卡片，卡片上分别写有：酒精挥发、水结成冰、铁生锈、粮食酿酒，将四张卡片背面朝上放在讲台上（背面完全一样），老师让小华从中抽取一张，则小华抽到显示化学变化的卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 5. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，点在边上运动且不与点、重合，连接，取的中点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_____． 8. 对一批灯泡进行抽检，统计合格灯泡的只数，得到合格灯泡的频率见下表： 抽取只数/只 合格频率 估计从该批次灯泡中任抽一只灯泡是合格品的概率为_____． 9. 在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 10. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 11. 如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为_____ 12. 如图，矩形的长为，宽为，点在边上，，在上找一点，使为等腰三角形，则的长为_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1） （2） 14. 如图，在四边形中，，为的中点，，求证：四边形为矩形． 15. 今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设个教学班，班号依次为、、、，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任． （1）充亮被抽到班是_____事件（填“必然”“随机”） （2）求充亮和班主任计老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）． 16. 如图，四边形为菱形，，过点作交延长线于点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图； （1）如图，在边上找一点，使； （2）如图2，在边上找一点，使． 17. 请用配方法讨论关于的一元二次方程的根的情况． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则： （1）点燃的蜡烛的火焰高度是多少？ （2）若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？ 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 20. 以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： （1）热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ （2）热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在中，，，为的中点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求的长． 22. 追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 六、（本题12分） 23. 马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究： 如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12． （1）__________；__________； （2）_____； 如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段； 深入探究： （3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点． 方法应用： （4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2024−2025学年度上学期期中质量检测卷 九年级数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：解：A、不是整式方程，不是关于x的一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程整理后不含项，故此选项不符合题意； C、含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 一个菱形的面积是120，其中一条对角线的长为10，则另一条对角线长是（ ） A. 10 B. 12 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积公式对角线乘除的一半，求出另一条对角线的长即可． 【详解】解：由题意，菱形的另一条对角线的长为； 故选C． 3. 化学课上张老师在讲解《物质的变化与性质》时，为了增加课堂的趣味性，特意准备了四张卡片，卡片上分别写有：酒精挥发、水结成冰、铁生锈、粮食酿酒，将四张卡片背面朝上放在讲台上（背面完全一样），老师让小华从中抽取一张，则小华抽到显示化学变化的卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用化学变化的张数除以总张数即可．先根据化学变化的定义得出铁生锈和粮食酿酒是化学变化,再根据概率的计算公式进行计算即可求解． 【详解】解：“铁生锈”和“粮食酿酒”过程中，有新物质生成，故是化学变化，“酒精挥发”和“水结成冰”过程中，没有新物质生成，故不是化学变化， 故从中抽取一张，抽到显示化学变化的卡片的概率是． 故选：A． 4. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，三角形的三边关系，利用一元二次方程根与系数关系，可得到方程的两根之和，再运用三角形成立的条件判断即可． 【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为， 这个三角形的两边之和为， 第三边应小于， 答：这个三角形的第三边的长可能是． 故选：D． 5. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴ 故选：B． 6. 如图，在中，，，，，点在边上运动且不与点、重合，连接，取的中点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据平行线的判定和性质得出，根据如果两个三角形中有两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，，推得当的值最小时，的值最小；根据等腰直角三角形的定义和性质得出，设，求得，，，，根据勾股定理得出，推得当时，的值最小为，即可求出的最小值为，的最小值为． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， 故， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴，， ∴； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， 故， ∵，，， ∴， ∴，， 故， 当的值最小时，的值最小； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ， ， 在中，， 故， 整理得：， 当时，的值最小为， 此时的最小值为， 故， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，直接代入法求代数式的值．根据比例的性质设，，代入计算即可求解． 【详解】解：设，， 则． 故答案为：． 8. 对一批灯泡进行抽检，统计合格灯泡的只数，得到合格灯泡的频率见下表： 抽取只数/只 合格频率 估计从该批次灯泡中任抽一只灯泡是合格品的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到灯泡合格的概率即可． 【详解】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于， 估计从该批次口罩中任抽一只灯泡是合格品的概率为． 故答案为：． 9. 在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质．根据题意可得与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，且相似比为， ∴的面积与的面积的比为， ∴． 故答案为：． 10. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 【答案】x（x+12）=864 【解析】 【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案． 【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864． 故答案为：x（x+12）=864． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键． 11. 如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质，可得，又由，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，进一步即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，矩形的长为，宽为，点在边上，，在上找一点，使为等腰三角形，则的长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】分为三种情况讨论：当时，为等腰三角形，过点作交于点，根据矩形的性质得出，，，根据当两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等时，这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，求得，根据矩形的判定和性质得出；当时，为等腰三角形，根据矩形的性质得出，，，根据勾股定理得出，即可求得；当时，为等腰三角形，过点作交于点，根据等腰三角形的三线合一的性质和等边对等角得出，，根据矩形的性质和勾股定理得出，求得，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的判定和性质求出，求得． 【详解】解：当时，为等腰三角形， 过点作交于点，如图： ∵四边形是矩形，且矩形的长为，宽为， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴； 当时，为等腰三角形， 如图： ∵四边形是矩形，且矩形的长为，宽为， ∴，，， 在中，， ∴， 故； 当时，为等腰三角形， 过点作交于点，如图： ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形，且矩形的长为，宽为， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 故； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴或 解得：， 【小问2详解】 解： ∵，， ∴ 解得：， 14. 如图，在四边形中，，为的中点，，求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定方法中的以及矩形的判定方法．解答此题先根据全等三角形的判定方法判定，得到，根据得到，证明出四边形为平行四边形，最后利用矩形的判定方法一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定． 【详解】略 15. 今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设个教学班，班号依次为、、、，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任． （1）充亮被抽到班是_____事件（填“必然”“随机”） （2）求充亮和班主任计老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，画树状图法求概率． （1）根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即可求解； （2）根据题意，画出树状图进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级共设个教学班，班号依次为、、、，充亮被抽到班是随机事件； 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：画出树状图，如图： 共有种等可能的结果，其中充亮和班主任计老师分到同一个班的结果有种， 故充亮和班主任计老师分到同一个班的概率为． 16. 如图，四边形为菱形，，过点作交延长线于点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图； （1）如图，在边上找一点，使； （2）如图2，在边上找一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）连接，与交于点，点即为所求． （2）连接，，交于点，连接，并延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 证明：连接，与交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 即， ∵， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． 证明：连接，，交于点，连接，并延长交于点，如图： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故． 17. 请用配方法讨论关于的一元二次方程的根的情况． 【答案】当即时，方程有实数根；当即时，方程无实数根 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据题意，配方后方程转化为：，根据非负数的性质，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴， 则：当即时，方程有实数根； 当即时，方程无实数根． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则： （1）点燃的蜡烛的火焰高度是多少？ （2）若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用； （1）设火焰高度是，根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解； （2）设火焰星倒立的像的高度为，根据题意列出比例式，即可求解． 【小问1详解】 解：设火焰高度是，根据题意可得，， ∴ ∴，即 解得：， 答：点燃的蜡烛的火焰高度是； 【小问2详解】 解：设火焰星倒立的像的高度为， 同理可得 ∴，即 解得：． 答：火焰星倒立的像的高度为． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，化简绝对值与二次根式； （1）计算一元二次方程根的判别式，根据，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）根据化简绝对值与二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解：解：∵关于的方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得： 【小问2详解】 解：∵ ∴ 20. 以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： （1）热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ （2）热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）此次参赛一共有8个球队 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【小问1详解】 解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． 【小问2详解】 解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在中，，，为的中点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知得出点为的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及含30度角的直角三角形的性质，得出，即可得证； （2）根据已知分别求得，，在中，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知为的中点，，得到， 即点为的中点， ， ， 又， ， ， 又，， 四边形为平行四边形， 而＝， 四边形为菱形． 【小问2详解】 四边形为菱形，， ∴， 又∵ ∵， ∴， ∴中， ， ∴， ∴ 在中，． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，菱形的判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得：，． 当，即，解得：； 当，即，解得：． 所以原方程的解，． （2）解：是直角三角形， 理由如下：∵、、为的三边， 故，， ∴， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即， 即， 故是直角三角形． （3）解：， ∵， 故， 即； 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 六、（本题12分） 23. 马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究： 如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12． （1）__________；__________； （2）_____； 如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段； 深入探究： （3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点． 方法应用： （4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）； （3）由题意知，，， ∴． （4）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例； （1）根据三角形中线的性质即可得出；设，根据三角形中线的性质得出，即可求解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据平行线分线段成比例可得，，等量代换即可证明． （4）根据（3）的结论得出，，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：（1）∵的面积为12，点是边的中点， ∴ 如图所示，连接 设， ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴ ∵是的中点 ∴， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ 由∵ ∴ ∴ ∴ 即 （2）∵的面积为12． 由（1）可得 ∴ 即， 故答案为：． （3）略 （4）如图所示，延长，交于点， 由（3）可得：， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $