精品解析：重庆市南开中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

重庆南开中学高2027届高一（上）期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 与是同一个函数 B. 是偶函数 C. 是单调递减函数 D. 的单调递增区间为 10. 已知实数，，且满足，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为7 C. 的最大值为18 D. 的最小值为1 11. 已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 已知数集，，若，则________. 13. 已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______. 14. 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 近日，重庆市第七届运动会田径比赛在合川体育中心落下帷幕，重庆南开中学田径队奋勇争先、顽强拼搏，经过个单元的激烈比拼，创造了金银铜的佳绩，累计打破项赛会纪录.好成绩离不开平时的刻苦训练.根据相关研究，某一体能训练项目有助于运动员的肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下： （1）训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？ （2）若在集训中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由. 17. 已知函数为一次函数，且对均满足. （1）求函数的解析式； （2）已知，，且，求的最小值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2027届高一（上）期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整数有理数的定义可判断A,B选项；利用集合的定义及集合的特性可判断C,D选项. 【详解】对于选项A：Z为正整数，显然A不正确； 对于选项B：Q为有理数，但为无理数，故B不正确； 对于选项C：利用集合元素的互异性即可判断，C正确； 对于选项D：表示集合里只有一个元素，而表示集合里的两个元素，两个集合不存在包含关系，故D不正确. 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得且. 故选：C. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性及具体点函数值即可判断. 【详解】，定义域为， 故函数是偶函数， 排除选项A；又，排除C,D, 故选：B. 5. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为8. 故选：A. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式直接确定函数单调性，即可求解. 【详解】由得定义域为； 因为单调递增，单调递减，所以单调递增； 当，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：C. 7. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在定义域上单调递减，则函数各段均单调递减，且左边函数的右端点值大于左边函数左端点值，建立不等式组，解得范围. 【详解】由题可知，解得， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 与是同一个函数 B. 是偶函数 C. 是单调递减函数 D. 的单调递增区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据函数相等分析判断；对于B：根据偶函数的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：定义域均为，且化简后解析式均为， 所以是同一个函数，故A选项正确； 对于选项B，由，解得， 可知函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故B选项正确； 对于选项C，因为，所以不是单调递减函数，故C选项错误； 对于选项D，由，解得， 可知函数的定义域为， 因为开口向下且对称轴为， 所以函数的单调递增区间为，故D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知实数，，且满足，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为7 C. 的最大值为18 D. 的最小值为1 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本不等式可判断A、B是否正确；由可判断C；由可得，再由基本不等式化简计算，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确； 对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确； 对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确； 对于D：由可得，， 所以，当且仅当即时取等号，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集. 【详解】选项A，令，则，则；令，则， 所以，所以不是奇函数，A选项错误； 选项B，，，且，因为，所以； 又因为当时，，所以，所以， 故在上的单调递增，B选项正确； 选项C，令，则有，所以，，，…，， 将以上式子相加可得：，C选项正确； 选项D，因为，所以原不等式可化为； 由选项C可知，所以原不等式可化为； 因为在上单调递增，所以，解得，D选项正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 已知数集，，若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 13. 已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据充要条件可得是奇函数，根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，是奇函数， 即是奇函数； ， 由，解得. 故答案为： 14. 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，再将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】关于的不等式在区间有解， 则，使得不等式成立，即， 令，则， 令，函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合，根据集合的并集运算即可； （2）根据交集的定义即可列不等式求解. 【小问1详解】 对于集合，由可得，所以； 当时，，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为 16. 近日，重庆市第七届运动会田径比赛在合川体育中心落下帷幕，重庆南开中学田径队奋勇争先、顽强拼搏，经过个单元的激烈比拼，创造了金银铜的佳绩，累计打破项赛会纪录.好成绩离不开平时的刻苦训练.根据相关研究，某一体能训练项目有助于运动员的肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下： （1）训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？ （2）若在集训中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由. 【答案】（1）训练开始后分钟效果最好，且能维持分钟 （2） 进行该项体能训练能达标.理由如下： 当时，，解得； 当时，，满足要求； 当时，，解得； 故分钟分钟，所以进行该项体能训练能达标. 【解析】 【分析】（1）分段求出函数的最值，再比较大小即可； （2）分段列出不等式，解出即可. 【小问1详解】 由题意可知，当时，单调递增， 所以当时，的最大值为； 当时，； 当时，. 所以训练开始后分钟效果最好，且能维持分钟. 【小问2详解】 略 17. 已知函数为一次函数，且对均满足. （1）求函数的解析式； （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）最小值为9 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列式求即可； （2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 设，则， 可得，解得，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，即； 法一：所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为9； 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为9. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 【答案】（1） （2）由（1）知，则在上单调递减， 下面用定义证明： 任取且， 则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减. （3）1或 【解析】 【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可； （3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因是上的奇函数，故， 当时，，，满足题意. 综上知，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增， 显然， 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 故，， 于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得， 即，解得或或（舍去）. 综上，实数的值为或. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点为－2和3 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【小问1详解】 令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. 【小问2详解】 （i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $