福建省厦门第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

班级： 座号： 姓名： (在此卷上答题无效) 福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第一学期期中考试 高二年数学试卷 命题教师李寅童审核教师周翔 2024.11 本试卷共4页，满分150分 注意事项： 1.答题能，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的班级、座号、姓名。考生要认真 核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需成动，用橡皮擦 干净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。 3.考试结束，考生只须将答题卡交回. 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案。 1.若直线1的一个方向向量为a=(-√2，√6)，则它的倾斜角为 A.150° B.120° C.60 D.30 2.若椭圆C:父 厅+号(m>0)的焦点在y轴上，其离心南为，则稻圆C的短轴长为 A.2 B.4N2 C.2月 D.8 3.若M0,0,1),N(2,m,3),P(2,2,n+)三点共线，则m+n= A.4 .B.-2 C.1 D.0 4.如图，在直三棱柱ABC-ABC,中，△MBC为等腰直角三角形， 且AB=AC=AA=1,则异面直线A8与AC所成角的余弦值为 A.3 2 c D. 3 5.若点(a,b)关于直线y=2x的对称点在y轴上，则a,b满足的条件为 A.4a-3b=0 B.3a-2b=0 C.2a-3b=0 D.3a-4b=0 6.若圆C:x2+y2-2x+4y+m=0与圆C2:x2+y2+2x-1=0恰有两条公共的切线，则m的取值范围为 A.(-13,3) B.(3,5) C.(0,5) D.(0,3) 7已如4为双能线后若卡=阳>06>0的右顶点。0为坐标原点，，C为双值维E上两点 且丽+C=20,直线AB，4C的斜率分别为4和子，则双曲线E的离心率为 A.5 B.v5 D.2 2 c. 2 8.PA,PB,PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，PA=PB=PC=3, 若M满足PM=P+PB+2P元，则点M到平面PAB的距离为 A.√6 B.2W2 C.32 D.26 第1页 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分。 9.已知曲线G:4+3y2=48,Gx-二=1，剩 3 A.C的长轴长为4 B.C,的渐近线方程为y=士√5x C.C与C,的焦点坐标相同 D.C与C,的离心率互为倒数 10.如图，在平行六面体ABCD-AB,GD中，AB=AD=A4=1,AB⊥AD, ∠AAD=∠AAB=60°，P为AD与AD,的交点，设AB=ā，AD=6,AA=c,则 A.BD=-+b+ B.AC=a+8- c.I DC元- 11.动直线4与圆x2+y2=1相切，并与圆x2+y2=25相交于点A,B, 点P为直线2：x+y-10=0上的动点，则 A存在(，使以AB为直径的圆与相切 B.|PA2+|PBP的最小值为150-20W2 C.AP.PB的最大值为10N2-27 D.|PA|+PB1的最小值为8V3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知平面a的-个法向量为开=(1,2，)，直线1的一个方向向量为m=1,0,), 则直线l与平面所成角的正弦值为▲ 13.题G:x2+y2=1与圆C3:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线 板圆C,:-2Y+0-护=2空所截得的弦长为▲ 4 4已知精四E名+发0>b>0)的左、右焦点分别为R,,P为椭腾上不与项点巢合的任意一白 I为△PF5的内心，记直线OP,O的斜率分别为太，太，若无=k,则稀图E的离心率为 4 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 把解答过程填写在答题卡的相应位置。 15.(本小题满分13分) 己知直线4：2x+3y-2=0,4:mx+(2m-1)y+1=0,其中m为实数 ()当4∥4时，求直线，42之间的距离： (2)当m=1时，求过直线4,4的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程 第2页 16.(本小题满分15分) 已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线1：x+y一6=0上. (1)求圆C的方程： (2)若从点M(4,)发出的光线经过x轴反射，反射光线马恰好平分圆C的圆周，求反射光线4的一般方程. 17.(本小题满分15分) 如图，四楼锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP,BCI AD,∠PAB=90°，PA=AB=2,AD=3,BC=m, E是PB的中点。 (1)证明：AE⊥平面PBC； (2若二面角C-AE-D的余弦值是 ,求m的值： 3 (3)若m=2,在线段AD上是否存在一点F,使得PF⊥CE.若存在，确定F点的位置： 若不存在，说明理由， D 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E的左、右焦点分别为F(-C,O),F(c,，0c>0),点M在椭圆E上，M压⊥FF, △MR5的周长为4+25，面积为2C (1)求椭圆E的方程. (②)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点(L,0)的直线I与椭圆E交于C,D两点（不同于左右顶点）， 记直线AC的斜率为所，直线BD的斜率为k2,问是否存在实常数2，使得k=k恒成立？ 若成立，求出的值，若不成立，说明理由. 第3页 19.(本小题满分17分) 双曲线C:亡_上=1的左、右德点为F,B,右顶点为A, 93 ⊙M的圆心在x轴上，位于A的右侧，与双曲线C有且仅有一个公共点， (1)求⊙M的最大半径为，及此时⊙M的方程： (2)如图1，在(1)的条件下，过双曲线C上一点P作⊙M的切线，切点为Q,过P且垂直于x轴的直线 与双曲线中一条渐近线交于R,求PQ+PR的最小值： (3)双曲线右支上一点N在右焦点F的正上方，如图2，将双曲线的左支绕y轴翻折，使左右支所在的 两个半平面所成的二面角大小为B,若寸日≠0，过N的直线m总与左支相交，以原双曲线所在坐标 平面的O为原点，过O垂直于xOy平面方向为z轴建立空间直角坐标系，求直线m的一个方向向量 图1 图2 第4页厦门一中2024-2025学年高二上期中考试数学答案 一、单项选择题：1.B2B3.A 4B5.D 6.A 7.A 8.D 7.解：由AB+AC=2A0,可得B,C两点关于原点对称，且A(a,0),设B(x。,),C(-x。,-), 则空冷k业=4，c方= xo-a a+x2' k方冷6公 x2-a a =4x 、2 b2 e-后 a=v3. &丽=4网++风设+师+-m,因为 =1 所以4，B,C,N四点共面，设)PA+PB=PO,0为AB的中点， 所以m+丽+c-报m+丽+元-o+-m. 所以N在AB边上的中线CO的中点上，由题意知，P-ABC为正四面体， 所以根据相似关系，N到平面PBA的距离为C到平面PBA的距离的。倍， 所以M到面PBA的距离d为C到面PBA的距离的2倍，即为正四面体的高的2倍， 因为正四面体棱长为a=3,高为h=y6。 a=√6，所以所求距离为d=26 3 二、多项选择题：9BD 10.AD 11.BCD 11.设l与小圆相切于T(cos0,sin),则T为AB中点，所以AT=V52-1=2√6，则以AB为直径的 圆的方程为(x-cos0)'+(0-sin0)=24,则动圆圆心到直线l,的距离 d=Icos0+sin0-101 5s0+}-1 因为距离最小值dmm=5V2-1>5, 2 2 e[52-152+1], 所以I2总与以AB为直径的圆相离，A错误： IPAP+IPBP= P4+PB)+(PA-PB)4PT+B4 2 2 =2P72+48≥2(P0-+48 当P011是，P01mm=5V2,所以PA+1PB≥25V2-1+48=150-205,B正确： D.丽.m+P-F-P丽丽-所-24-P所≤24-65-=105-27C正确： 4 对于D选项，不妨重新建系，将A,B放置在新坐标系x轴上关于y轴对称的两点，则A-2V6,0),B(2√6,0) 固定两已知圆，使其圆心位于y轴上的C(0,-1),则相对于线段AB,原先的直线I,可看作是绕圆心 C(0,-1)旋转的动直线，到圆心C(0,-1)的距离为5√2，故动直线恒与圆⊙C:x2+(y+1)=50 相切，设PA+PB=2a,则P在以A,B为焦点，长轴为2a的椭圆上，同时P在⊙C:x2+(y+1)=50 及圆以外的区域，则|PA+|PB=2a的最小值，即为寻求以A,B为焦点，与区域x2+(y+1)≥50 有公共点的长轴最小的椭圆，易知椭圆内切于圆时长轴最小，设其方程为号 ata24-1. 联立x2+(y+12=50,得24y2-2(a2-24)y-(a2-49)(a2-24)=0, 第1页 △=4(a2-24+96(a2-49(a2-24=(,化简得△=(a2-24)+24(a2-49)=0, 故a2=48,所以川PA+|PB|的最小值为8√5，D正确。 三、填空题：12.5 13.7 14 13.解：圆C:x2+y2=1与圆C,:x2+y2-2x-2y+1=0的两方程作差得2x+2y-2=0, 即公共弦所在直线方程为x+y-1=0,又圆(：-2少+心-小-空的圆心为2)，半径r一 2 所以圆心(2，到直线x+y-1=0的距离d=2+-山=2， √2 则图C被直线x+y-1=0所裁得的弦长为2P-=2 臣-2=7 14.解：设P(x,),I(x,y,),设圆与PF,PF2,x轴相切于点M,N,T,所以|PM曰PN,|FM曰FT|, IFN曰FTI,所以IFT|+|PN|+|NF=a+c,即IFT|+|PF=a+c,所以|FT=x,+c. 由椭圆的第二定义可知PF卢a-ex。,所以FT=a+c-(a-ex),所以x,=ex。, 由等面积法得到)2a+2Cy=号×2g,所以y=9必，因为k=k, 5 2 c+a 4 Cyo 所以五=xa+e,所以a=4c,即e= Xo 4 cXo 4 四解答题： 15.解： (1)由∥l2得2(2m-1)=3m,解得m=2,.2分 此时直线4：2x+3y-2=0,2:2x+3y+1=0,4,2不重合，.4分 则直线，4之间的距离为23国 …6分 V4+913 (2)当m=1时，2：x+y+1=0, 2x+3y-2=0 联立 9分 x+y+1=0 解得x=-5,y=4, 又直线X-2y+4=0斜率为210分 故过直线4,42的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程为y-4=-2(x+5),12分 即2X+y+6=013分 16.解： 0-4=-1, 0①油44,0，B0,4),得直线AB的斜率为ka=4-0 -(2分) 线段中点D(2,2)所以kD=1,直线CD的方程为y-2=x-2, (4分) x+y-6=0 x=3 即y=x,联立 ,解得 即C(3,3), -(6分) y=x 3’ 所以半径r4C=V(4-3)2+(0-3)2=V10,-(8分) 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10:- --(10分) (2)M(4,)关于x轴的对称点为N(4,-1), --(11分)》 由4恰好平分圆C的圆周，得1经过圆心C(3,3), -(12分) 料4， -(13分) 4的方程为：y-3=-4(x-3),即4x+y-15=0. -(15分) 第2页 17解：(I)证明：因为AD⊥平面PAB,BC/AD,所以BC⊥平面PAB.-----(2分) 又因为AEc平面PAB,所以AE⊥BC. 在△PAB中，PA=AB,E是PB的中点，所以AE⊥PB. 又因为BC∩PB=B,所以AE⊥平面PBC, --(4分) (2)因为AD⊥平面PAB,所以AD⊥AB,AD⊥PA. 又因为PA⊥AB,所以，如图建立空间直角坐标系A-z, -(5分) 则A0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,m),E1,1,0),P(2,0,0),D(0,0,3), AC=(0,2,m),AE=(11,0).设平面AEC的法向量为万=(x,y，z). -(6分) 则 nC=0即2y+肥=0令x=l,则y=-1,=2,于是元=1，-1，弓.7分) 即 AE=0x+y=0. 因为AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB.又PB⊥AE,所以PB⊥平面AED. 又因为PB=(-2,2,0),所以取平面AED的法向量为m=(-1,1,0). -(8分) 所以os<元，m水方m=5 1-1-1川V5 州m3,即 。,43,解得m2=1。 2,2+ m 又因为m>0,所以m=1. -(11分) (3)结论：不存在.理由如下：设F(0,0,t)(0≤≤3) 当m=2时，C(0,2,2).PF=(-2,0,),CE=(L,-1,-2) -(13分) 由PF⊥CE知，PF.CE=0,-2-2t=0,t=-1.这与0≤13矛盾. 所以，在线段AD上不存在点F,使得PF⊥CE, --(15分) 18.解： (1)由椭圆的定义知，|ME|+ME=2a, 因为△MFE的周长为4+2√5，所以2a+2c=4+2,即a+c=2+√5，-(1分) 因为△MFR的面积为，且ME上FR,所以C=号20M,即AMC卡 股椭圆方程为若+卡a>h>0,将x=c代入千+得， =1 -(3分) 所以护=0-今-答所以医 2、b4 b21 -(5分) 又a2-6=心，所以a2=4,6=,c=3,所以椭圆E的方程为+产1， -(6分)】 (2)由题意知，直线1的斜率不可能为0，设其方程为x=少+1，C(:,y),D(x,y2), x=y+1 联立{ 2+y=1得+4r2+20-3=0,△=16f2+48>0, ---(8分) 2t 所以月+片2=- 2+4’=- 3 12+4’ (9分) 因为4(-2,0)，B2,0),所以片=1 2-2 -(11分) 所以点=-，注意到=0+， 3 (13分) k,2(G+2)2(+1+2)y+32 点.0+为)1.2+3 3 1 3 t. 0++3逃335方即3好 3 -(16分) 所以存在实常数天，使得=流恒成立，此时入-号 -(17分) 第3页 19.解：(I)设双曲线上右支上一点为P(x,),则当⊙M半径最大时，公共点位于双曲线右顶点A(3,0), 此时双曲线右支上任一点到圆心M(m,O)的最小距离恰好在顶点处取到， PMVG-m旷+=-m+号-3=传2-2m+m-3.23小2分) 若PM的最小值在无=3时取到，则二次函数y=行2-2m+㎡-3的对称轴x=0≤3： 4 则m≤4，⊙M的半径r=m-3≤1，当m=4时，⊙M的最大半径为1，-(4分) 此时⊙M的方程为(x-4)2+y2=1: -(5分) (2)设P(xo),则|P=VPM2-QM2=x-3}'+2-1,因为P(x%)在双曲线上， 所以2-号-3，所以0-4号-31--+12251-3-0例 3 3 当P在双曲线左支时，切线长总比P在右支时长，故不妨设P在双曲线右支， 又因为PRHYx-ypH±？名片，/， -(8分) ①当P均位于第一象限时，5-儿以- 3 36%1, 故PQ1+|PR=V3x。-y。-2V3,设直线1为V3x-y-2V5=0, 则|PQ1+PR=V5x。-。-2V5可看作是双曲线上的点到直线1距离的2倍， -(9分) 设平行于1的双曲线的切线为y=√3x+t,联立双曲线方程x2-3y2-9=0得： 8x2+65x+312+9=0,△=108t2-96t2+3)=122-288=0,1=±2√6， 此时距1较近的切线为y=3x-2√6，故两线距离为√6-5， 所以(PO1+1PR)=26-25,当且仅当x-,人=6时取到： -(11分) 4 ②当P均位于第四象限时，借助对称性，P1+PR=V5x。+。-25, 0PQ1+PR)=26-25,当且仅当=y5,为=5时取到 4 -(12分) (3)注意到左半支双曲线旋转时，曲线上的点P(x,)绕(0，)作圆周运动，轨迹是以(0，)为圆心，|x,|为 半径的圆，故可在空间直角坐标系中设经旋转后的P点坐标为P(x,y,z),则x=xC0s8,y=o, 2=±x,sn0,因为o,八满足专-令=，所以经旋转后的P点坐标满足。-兰+号=1,13分 93 939 由题意，N点的空间坐标为(2V3l,0),设直线m的方向向量为m=(a,b,c), 则直线上任意点的坐标为E2V3+at,l+bt,ct,t∈R,- -(14分) 若E总是在左支上，则(25+am-31+bm2+(c)2=9,化简得a7+c27-36r+43at-6b=0, 同理，E'(2V3-at,1-bl,-c1,1eR也在左支上，带入化简得a2+c22-3bt-4W3at+6bt=0, 两式相加得。2+c2-3办2=0，两式相减得2a=36,令a=1,则6=95，c=±5,16分) 直线m的一个方向向量可以为m= (只写出一个也给满分)- -(17分) (注：当左支向上翻折，方向向量为m 255 当左支向下翻折，方向向量为m=1 2W3 3 第4页