山西省2024-2025学年高三上学期11月学情调研测试数学试卷

null 2024—2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．设，则（ ） A． B． C． D． 4．记无穷等差数列的公差为，前项和为．设甲：且；乙：有最小值，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．已知且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知四面体的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为空间内的一条直线，为空间内两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若∥，，则∥ B．若，则 C．若∥，，则∥ D．若，，则 10．已知，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，若，则（ ） A． B．是偶函数 C．以4为周期 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是奇函数，则的值为________． 13．已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则________． 14．对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求在区间上的最大值．（参考数据：） 16．（15分） 在△中，内角的对边分别为，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）如图，为△内一点，且，证明：． 17．（15分） 如图，在以为顶点的五面体中，平面平面，∥∥，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知是首项为1的等差数列，其前项和为，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是次多项式，分母是次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足． 注：． 已知函数在处的阶帕德逼近为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）当时，比较与的大小； （Ⅲ）证明：当时，． 2024—2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷 数学（A卷）答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A A C D C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．命题透析本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性和极值。 解析（Ⅰ）． 由题意知，即，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知． 当时，单调递减， 当时，单调递增． 所以在区间上的最大值为和中的较大者． 因为， 所以，即， 故在区间上的最大值为． 16．命题透析本题考查正余弦定理，三角形中的最值． 解析（Ⅰ）∵， 由正弦定理得，整理得． 由余弦定理得 又，∴． （Ⅱ）设． 在△中，由余弦定理可得， ∴，整理得， 即 在△中，∵，∴，即，∴，∴． 故方程有唯一解， 即． 17．命题透析本题考查立体几何中面面垂直的性质定理，直线与平面所成的角． 解析（Ⅰ）∵平面平面，平面平面， ∴平面， 又平面，∴． （Ⅱ）如图，过作∥交于点，作于点． 由（Ⅰ）得平面，∵∥，∴平面， ∴两两垂直， 故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由条件可得， ∴． 设平面的法向量为， 则可取． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18．命题透析 本题考查等差数列、等比数列的通项公式，并项求和，数列的单调性问题． 解析（I）设的公差为． ∵，∴， 解得，∴． 设的公比为， ∵，∴． ∴． （Ⅱ）， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． ∴ （Ⅲ）∵，∴． 令， 则， 当时，，当时，，∴的最大项为，． ∵恒成立，∴，即实数的取值范围为． 19．命题透析本题考查学生对新定义的理解，考查函数的导数、单调性、极值等知识． 解析（1）由题意知， ， 即解得 所以． （Ⅱ）设，则． 记，则． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，， 所以，仅当时，，故在上单调递减． 又因为， 所以当时，，当时，，当时，． 即当时，，当时，，当时，． 另解：设，则．． （Ⅲ）要证当时，，需证． 设，则． 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 要证，只需证，需证． 记，易知在（0，2）上单调递增． 由（Ⅱ）知，当时，，即， 取，则有． 所以结论成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$