立体图形的表面积与体积检测卷-2025年高三数学上学期一轮复习卷

立体图形的表面积与体积检测卷-2025年高三数学上学期一轮复习卷 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•达州期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为（　　） A．63π B．39π C．52π D．42π 2．（2024秋•恩施州期中）若圆锥的表面积为4π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•海安市期中）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（　　） A． B．2 C． D．3 4．（2024秋•端州区校级期中）圆锥的顶点为S，AB为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•徐汇区校级期中）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包可近似看作由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为2m，底面半径为4m，O是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以O为球心，半径为4m的球相切，则圆锥的侧面积为（　　） A． B． C．20πm2 D．40πm2 6．（2024秋•靖远县校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若点E，F分别满足，平面EB1C1F将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（　　） A．19：8 B．2：1 C．17：10 D．16：11 7．（2024秋•青羊区校级期中）已知四面体A﹣BCD的外接球半径为2，若，则四面体A﹣BCD的体积最大值为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•邯郸模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当三棱锥A1﹣AMD的体积最小时，线段BC的长度为（　　） A． B． C．2 D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•广西期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列四个结论正确的有（　　） A．BC1与AC所成角为60° B．三棱锥A﹣D1PC的体积不变 C．DP∥平面AB1D1 D．DP⊥BC1 （多选）10．（2024秋•杭州期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AD1和B1C1上（含端点），则下列命题正确的是（　　） A．MN长的最小值为1 B．四棱锥M﹣BNC的体积为定值 C．有且仅有一条直线MN与AD1垂直 D．当点M、N为线段中点时，则△MBN为等腰三角形 （多选）11．（2024秋•博罗县期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（　　） A．三棱锥B1﹣A1D1P的体积为定值 B．直线B1E∥平面A1BD C．当A1P⊥BD时，点E到平面A1AP的距离为 D．当∠APA1的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•崇明区校级期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积V1，V2的关系是 　 　． 13．（2024秋•徐汇区校级期中）已知某球体的半径为R，当R扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的 　 　倍． 14．（2024秋•虹口区校级期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆AOC和半圆BOD的直径均为2.8米，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 　 　立方米．（精确到0.1立方米） 四．解答题（共5小题） 15．（2024•黄浦区校级模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝，E，F分别是AB，B1C1的中点． （Ⅰ）证明：EF⊥BC； （Ⅱ）若AC＝BC＝2，直线EF与平面ABC所成的角为，求三棱锥B1﹣A1EC的体积． 16．（2024春•鄞州区校级期中）如图，多面体ABCDE中，直角梯形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面垂直，∠ADC＝90°，AB＝AD＝2CD＝4． （1）求该多面体的体积V； （2）在棱BC上是否存在点P，使得直线PE和平面ADE所成的角大小为30°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（2024•商洛模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别是PD和BC的中点，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD＝2． （1）证明：MN∥平面PAB． （2）求三棱锥M﹣ABC的体积． 18．（2024•如东县开学）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4． （1）求证：A1B∥平面DCC1D1． （2）若ΔA1BC1为直角三角形，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积． 19．（2024秋•惠州月考）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，过A，D1，E三点的平面α与此正方体的面相交，交线围成一个多边形． （1）在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比（其中V1≤V2）； （3）若点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α，当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积． 立体图形的表面积与体积检测卷-2025年高三数学上学期一轮复习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•达州期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为（　　） A．63π B．39π C．52π D．42π 【解答】解：∵圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5， ∴该圆台的高为＝4， ∴该圆台的体积为． 故选：C． 2．（2024秋•恩施州期中）若圆锥的表面积为4π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵圆锥的表面积为4π，底面圆的半径为1， 设该圆锥底面圆半径为r，母线长为l，高为h， ∴r＝1，πr2+πrl＝4π，∴l＝3，∴， ∴圆锥体积为． 故选：C． 3．（2024秋•海安市期中）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：分别取BB1靠近B的三等分点N，取DD1靠近D的三等分点M，取AA1靠近A1的三等分点Q， 连接PD，PB，PM，PN，CM，BP，QM，QN，建系如图： 不妨设AB＝1，则C（0，1，0），N（1，1，1），M（0，0，1）， Q（1，0，2），A（1，0，0），P（0，1，1）， ∴，，， ∴，且C，N，M，Q不共线， ∴C，N，Q，M共面， 又，∴AP⊥CN， ∵，∴AP⊥CM，又CM∩CN＝C， ∴AP⊥平面CNQM， 作出较小部分的几何体如下图所示： 其体积为V1＝VN﹣ABCD+VN﹣CDM+VN﹣ADMQ， 由正四棱柱结构特点易知BM∥平面ADMQ，BM∥平面CDM， ∴， ∴较大部分体积V2＝1×1×3﹣1＝2， ∴较大部分与较小部分的体积比为2． 故选：B． 4．（2024秋•端州区校级期中）圆锥的顶点为S，AB为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：圆锥的轴截面△ABS为等腰三角形，又， 则△ABS为等边三角形，所以圆锥的外接球的球心O即为△ABS外接圆的圆心， 设圆锥底面圆的圆心为O′，底面圆的半径为r，外接球的半径为R， 且，， 则球O的半径为， 所以外接球的表面积为． 故选：B． 5．（2024秋•徐汇区校级期中）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包可近似看作由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为2m，底面半径为4m，O是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以O为球心，半径为4m的球相切，则圆锥的侧面积为（　　） A． B． C．20πm2 D．40πm2 【解答】解：设PO1＝h，PA＝l（h为圆锥高，l为圆锥母线长） OM⊥PA，∵以O为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则OM＝4， 在△POA中，，可得h+2＝l， 且h2+16＝l2，则（l﹣2）2+16＝l2，解得l＝5， 所以圆锥的侧面积为． 故选：C． 6．（2024秋•靖远县校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若点E，F分别满足，平面EB1C1F将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（　　） A．19：8 B．2：1 C．17：10 D．16：11 【解答】解：设△ABC的面积为S，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h， 则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝Sh， 因为，， 所以EF∥BC， 所以△AEF∽△ABC，且， 所以△AEF的面积， 则三棱台AEF﹣A1B1C1的体积， 从而， 故． 故选：A． 7．（2024秋•青羊区校级期中）已知四面体A﹣BCD的外接球半径为2，若，则四面体A﹣BCD的体积最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示， 令△BCD的外接圆圆心为E，四面体A﹣BCD的外接球球心为O， 因此OE⊥底面BCD，A，O，E共线且A在OE上方时四面体的高h最大， 最大值为h＝EA＝2+OE，令BC的中点为F， 根据， 由正弦定理得：， 因此， 易知当D，E，F共线时，D到BC距离最大， 因此， 所以四面体A﹣BCD最大体积为． 故选：D． 8．（2024•邯郸模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当三棱锥A1﹣AMD的体积最小时，线段BC的长度为（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，，点M在线段BC上，且AM⊥MD， ∴设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y， 又AA1⊥平面ABCD，MD⊂平面ABCD， ∴AA1⊥MD，又AM⊥MD，AA1∩AM＝A， ∴MD⊥平面AA1M， 又由题意知， ∴在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2， ∴x2+1+y2+1＝（x+y）2，∴xy＝1， ∴三棱锥A1﹣AMD的体积为， 当且仅当x＝y＝1时取等号，此时BC＝x+y＝2． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•广西期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列四个结论正确的有（　　） A．BC1与AC所成角为60° B．三棱锥A﹣D1PC的体积不变 C．DP∥平面AB1D1 D．DP⊥BC1 【解答】解：∵AC∥A1C1，且△A1C1B为等边三角形， ∴BC1与AC所成角为60°，∴A选项正确； ∵BC1∥AD1，又BC1⊄平面AD1C，且AD1⊂平面AD1C， ∴BC1∥平面AD1C，又P在线段BC1上运动， ∴P到平面AD1C的距离为定值，又△AD1C的面积也为定值， ∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，∴B选项正确； 易知平面BDC1∥平面AB1D1，又DP⊂平面BDC1， ∴DP∥平面AB1D1，∴C选项正确； ∵DP在侧面BC1内的射影为CP，而CP不一定垂直BC1， ∴根据三垂线定理可得DP⊥BC1不一定成立，∴D选项错误． 故选：ABC． （多选）10．（2024秋•杭州期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AD1和B1C1上（含端点），则下列命题正确的是（　　） A．MN长的最小值为1 B．四棱锥M﹣BNC的体积为定值 C．有且仅有一条直线MN与AD1垂直 D．当点M、N为线段中点时，则△MBN为等腰三角形 【解答】解：对于A，由点M、N所在线段分别在两个平行平面AA1D1D，BB1C1C上，且为异面直线， 其间距最小值为异面直线的距离， 即两个平面间的距离，即MN长的最小值为1，A对； 对于B，由，其中h表示M到平面BNC的距离，显然h为定值1， 而△BNC的中，底BC与BC边上的高均为定值1，由此可知△BNC面积为定值， 综合上述，四面体MNBC的体积为定值，B对； 对于C，点N在平面AA1D1D上的射影N'的轨迹为线段A1D1， NN'⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1， 所以NN'⊥AD1，则MN⊥AD1的一个充要条件MN'⊥AD1， 当射影N'位于线段A1D1上的任意位置时，过N'作AD1的垂线，所得垂足记为M， 则MN'⊥AD1， 根据以上垂直关系可知，NN'∩MN'＝N'，NN'、MN'⊂平面MNN'， 所以AD1⊥平面MNN′，MN⊂平面MNN'， 从而MN⊥AD1，于是这样的直线MN不唯一，C错； 对于D，以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当M、N分别为AD1，BC1的中点时， 则B（1，1，0）、，， 所以， 同理可得，， 此时，△BMN为等腰三角形，D对． 故选：ABD． （多选）11．（2024秋•博罗县期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（　　） A．三棱锥B1﹣A1D1P的体积为定值 B．直线B1E∥平面A1BD C．当A1P⊥BD时，点E到平面A1AP的距离为 D．当∠APA1的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 【解答】解：对于A，根据正方体的性质可得三棱锥B1﹣A1D1P的体积为： ＝＝＝，故A正确； 对于B，如图2，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面A1BD的法向量为， 则，取， 因为， 所以与不垂直， 故直线B1E与平面A1BD不平行，故B错误； 对于C，设P的坐标为（a，b，0），所以， 若A1P⊥BD，则，所以a﹣1＝﹣b， 所以， 设平面A1AP的法向量为， 则，取， 又， 所以点E到平面A1AP的距离为＝＝，故C正确； 对于D，因为tan∠A1PA＝＝＝2，所以AP＝， 所以P点轨迹为底面ABCD内以P为圆心，半径r＝的圆弧， 所以P的轨迹长为，故D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•崇明区校级期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积V1，V2的关系是 　相等　． 【解答】解：根据祖暅原理可得： 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积相等． 故答案为：相等． 13．（2024秋•徐汇区校级期中）已知某球体的半径为R，当R扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的 　9　倍． 【解答】解：根据球的表面积公式为S＝4πR2可得： 球体的半径为R，当R扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的32＝9倍． 故答案为：9． 14．（2024秋•虹口区校级期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆AOC和半圆BOD的直径均为2.8米，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 　3.7　立方米．（精确到0.1立方米） 【解答】解：设截面正方形的边长为a，半圆AOC的半径为r，正方形ABCD的中心到截面正方形的距离为d，则a＝，解得a＝（其中r＝1.4 米，r＝AB），根据“祖暅原理”，构造一个正四棱柱，底边为AB，高为r，并挖去一个正四棱锥， 如图所示： 用平行于底面的任意一个平面（高度为d∈[0，r]）去截左图和右图的两个几何体，所得截面的面积均为相等， 所以该帐篷围成几何体的体积为： V＝ ×1.4﹣××1.4＝×1.43≈3.7（立方米）． 故答案为：3.7． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•黄浦区校级模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝，E，F分别是AB，B1C1的中点． （Ⅰ）证明：EF⊥BC； （Ⅱ）若AC＝BC＝2，直线EF与平面ABC所成的角为，求三棱锥B1﹣A1EC的体积． 【解答】解：（Ⅰ）证明：取BC中点H，分别连结EH，FH， 因为F为B1C1的中点， 所以FH∥BB1， 因为三棱柱为直棱柱， 所以BB1⊥平面ABC， 所以FH⊥平面ABC， 因为BC⊂平面ABC， 所以FH⊥BC， 又E为AB的中点，则EH∥AC，且AC⊥BC， 所以EH⊥BC， 因为EH，FH⊂平面EFH，EH∩FH＝H， 所以BC⊥平面EFH， 因为EF⊂平面EFH， 所以EF⊥BC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知∠FEH为EF与平面ABC所成的角， 所以， 由AC＝BC＝2， 得，，且CE⊥AB， 又AA1⊥CE，AA1∩AB＝A，AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1， 则CE⊥平面ABB1A1， 则＝＝． 16．（2024春•鄞州区校级期中）如图，多面体ABCDE中，直角梯形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面垂直，∠ADC＝90°，AB＝AD＝2CD＝4． （1）求该多面体的体积V； （2）在棱BC上是否存在点P，使得直线PE和平面ADE所成的角大小为30°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）根据题意可得E到平面ABCD的距离即为E到AB的距离，即为， ∴求该多面体的体积V＝＝＝； （2）取AB中点O，连接OB，OE，OC，易知OB，OE，OC两两相互垂直， 故建系如图，则根据题意可得： A（0，﹣2，0），E（，0，0），D（0，﹣2，4），B（0，2，0），C（0，0，4）， 设，λ∈[0，1]， ∴，，，， ∴＝+λ（0，﹣2，4）＝（，2﹣2λ，4λ）， 设平面ADE的法向量为， 则，取， ∴直线PE和平面ADE所成的角的正弦值为： |cos＜，＞|＝＝＝sin30°＝，λ∈[0，1]， 化简得λ2+5λ﹣4＝0，λ∈[0，1]， 解得λ＝． ∴在棱BC上存在点P，使得＝λ＝． 17．（2024•商洛模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别是PD和BC的中点，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD＝2． （1）证明：MN∥平面PAB． （2）求三棱锥M﹣ABC的体积． 【解答】解：（1）取PA中点E，连结ME，BE， ∵M，E分别是PA，PD中点， ∴在△PAD中，MN∥AD，且， 又N是BC中点，四边形ABCD是矩形， ∴BN∥AD，且， ∴BN∥EM且BN＝EM， ∴四边形BNME是平行四边形， ∴MN∥BE，又BE⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB． （2）平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB， 过点P作PQ⊥AB，垂足为Q， 则PQ⊥平面ABCD， 因为PA＝PB＝AB＝AD＝2，所以PQ＝， 又四边形ABCD是矩形， 所以SABCD＝2×2＝4， 因为M是PD的中点， 所以＝＝． 18．（2024•如东县开学）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4． （1）求证：A1B∥平面DCC1D1． （2）若ΔA1BC1为直角三角形，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积． 【解答】解：（1）证明：因为AB∥DC，CD⊂平面DCC1D1， AB⊄平面DCC1D1，故AB∥平面DCC1D1， 在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1， 又因为DD1⊂平面DCC1D1，AA1⊄平面DCC1D1， 所以AA1∥平面DCC1D1， 因为AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1， 故平面ABB1A1∥平面DCC1D1， A1B⊂平面ABB1A1， 所以A1B∥平面DCC1D1． （2）设四棱柱的高为h， 在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以AA1⊥BD，同理可得，CC1⊥BC， 因为AB∥DC，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4， 所以AC＝5，， 因为CC1＝h，所以，， 在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以A1C1＝AC＝5， 因为， △A1BC1为直角三角形， 所以或， 解得h＝2， 因为四棱柱的底面积为， 所以四棱柱的体积为9×2＝18． 19．（2024秋•惠州月考）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，过A，D1，E三点的平面α与此正方体的面相交，交线围成一个多边形． （1）在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比（其中V1≤V2）； （3）若点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α，当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积． 【解答】解：（1）设BC中点为G，连接EG，BC1，则由正方体性质可得AB∥D1C1，且AB＝D1C1， 故四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1， 又BC中点为G，CC1中点为E，故EG∥BC1，则EG∥AD1，故这个多边形为四边形EGAD1． （2）在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交， 设D1E∩DC＝F，连接AF，设BC∩AF＝G，连接GE， 由E为CC1的中点，得G为BC的中点，所以EG∥AD1， 所以平面AGED1即为平面α， 因为E为CC1的中点，所以C为DF的中点， 所以平面α将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE﹣DAD1， 因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4， 所以 ＝， ∴另一部分几何体的体积， ∴两部分的体积． （3）取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N， 显然MN∥BC1，EG∥BC1，所以MN∥EG，MN⊄平面AGED1，EG⊂平面AGED1， 所以MN∥平面AGED1， 又E为CC1的中点，所以ME∥B1C1且ME＝B1C1，又A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1， 所以A1D1∥ME且A1D1＝ME， 所以A1D1EM为平行四边形，所以A1M∥D1E， A1M⊄平面AGED1，D1E⊂平面AGED1， 所以A1M∥平面AGED1， 又A1M∩ME＝M，A1M，ME⊂平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AGED1， 又点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α， 所以P在线段MN上，又， 即△A1MN为等腰三角形，所以当P为MN的中点时A1P最小， 因为△AA1D1为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点，设为Q， 令ME∩BC1＝H，则H为BC1的中点，连接QH，则QH∥AB，所以QH⊥平面AA1D1， 所以球心在QH上，设球心为O，连接OD1、OP、PH， 设外接球的半径为R，OQ＝h，则OD1＝OP＝R， 又，， 所以，， 解得，则， 所以外接球的表面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$