安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第四次素质拓展数学试题

合肥一中高三上学期数学素质拓展4 命题、审题人：刘斌 陈银科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　） A. B. C. D. 3. 已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（　　） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 4. 已知直线与曲线切于点，则b的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 5. 下列叙述中正确的个数是：（ ） ①若，，为平面向量，则； ②向量与垂直； ③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是 ④.记，则向量在向量上的投影向量为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义域在上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分. 9. 已知 ，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数f(x)的图象关于 对称 C. 函数f(x)的图象关于 对称 D. 函数f(x)在 上单调递增 11. 已知实数，满足，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知是三角形的内角，若，则________． 13. 已知函数在处有极小值，则实数______． 14. 圆与圆半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆上的动点，，则的最小值为___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小值，及取最小值时的x的值； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值. 16. 在平面四边形中，. （1）求的长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 18. 如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问： （1）当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求； （3）求面积的最大值． 19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：. （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围： （3）（i）证明：当时，； （ii）证明：. 合肥一中高三上学期数学素质拓展4 命题、审题人：刘斌 陈银科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）当，时， （2） 【16题答案】 【答案】（1）或 （2） 【17题答案】 【答案】（1）时在上递减；时在上递增，在上递减； （2） 由（1）知：时， 要证，即证， 只需证在上恒成立， 令且，则， 当时，递减；当时，递增； 所以， 即在上恒成立，故时，得证. 【18题答案】 【答案】（1）时，四边形的面积取得最大值为 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）（i），令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，成立； （ii）下面证明：当时，成立， 令，则 由前问解答过程，对任意成立，所以 所以在上单调递增，所以 所以当时，成立 令且，可得， 即， 由题意，令且，可得，因为 所以， 由①当时，，所以令且，可得 所以， 由前面解答过程得，对任意成立， 令且，可得， 所以， 又且，所以， 所以所以可得 ， 即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $