精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期内蒙古自治区锡林郭勒盟 九年级上册数学期中考试 注意事项： 1．本试卷满分100分，答案完成在答题卡上． 2．本试卷适用于期中考试． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题，每小题3分）． 1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 3. 对于抛物线y＝－2(x＋5)2＋4，下列说法正确的是 A. 开口向下，顶点坐标（5，4）． B. 开口向上，顶点坐标（5，4）． C. 开口向下，顶点坐标（－5，4）． D. 开口向上，顶点坐标（－5，4）． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　） A. 0 B. ±1 C. 1 D. ﹣1 6. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）． A. B. C. D. 7. 设，，是抛物线上的三点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④3a+c＞0；⑤当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．其中结论正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共6小题，每小题3分）． 11. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________． 12. 若，是一元二次方程的两根，且，则的值为______． 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则______度． 14. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是______m． 15. 已知抛物线，当时，的取值范围是______________ 16. 如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程______． 三．解答题（共52分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）将向下平移5个单位得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标； 19. 已知二次函数． （1）图像经过原点，求的值； （2）图像的对称轴为轴，求的值； （3）图像的顶点在轴上，求的值． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小； （2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 22. 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少. 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． (2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． (3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期内蒙古自治区锡林郭勒盟 九年级上册数学期中考试 注意事项： 1．本试卷满分100分，答案完成在答题卡上． 2．本试卷适用于期中考试． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题，每小题3分）． 1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中心对称图形的定义直接判断． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合， 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、是分式方程．错误； B、当a＝0时不是一元二次方程，错误； C、是，一元二次方程，正确； D、3x2+2＝x2+2(x﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误； 故选：C． 【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 对于抛物线y＝－2(x＋5)2＋4，下列说法正确的是 A. 开口向下，顶点坐标（5，4）． B. 开口向上，顶点坐标（5，4）． C. 开口向下，顶点坐标（－5，4）． D. 开口向上，顶点坐标（－5，4）． 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可． 【详解】解：抛物线中， 此抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故选． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系及顶点坐标公式是解答此题的关键． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：一元二次方程一般式为：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 5. 已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　） A. 0 B. ±1 C. 1 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】把y=0代入所给的方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0，求出m的值即可． 【详解】把y=0代入（m-1）y2+my+4m2-4=0得： 4m2-4=0，即m2-1=0 解得：m1=1，m2=-1 当m=1时，关于y的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程， 所以m=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，难度不大．本题易错，容易出现求出m就作答，忽略需满足方程是一元二次方程的条件． 6. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围. 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得：． 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P的坐标所在的象限. 7. 设，，是抛物线上的三点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的性质，抛物线开口向上，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，据此解答即可． 【详解】解：抛物线图象，开口向上，对称轴为直线， ∵，距离对称轴1个单位长度， 距离对称轴2个单位长度， 距离对称轴3个单位长度， ∴． 故选：C． 8. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用"增长后的量=增长前的量×（1+增长率）"，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程． 【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2=280． 故选B． 【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】解：由方程组得ax2＝−a， ∵a≠0 ∴x2＝−1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④3a+c＞0；⑤当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．其中结论正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对③进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对④进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴-＞0， ∴b＞0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故③正确； ∵x=-=1，即b=-2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故④错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当-1≤x≤3时，y≥0，故⑤正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共6小题，每小题3分）． 11. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________． 【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分） 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2． 故答案为y=2（x+1）2﹣2． 考点：二次函数图象与几何变换． 12. 若，是一元二次方程的两根，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则______度． 【答案】105 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和可得，．所以．再由三角形内角和定理可知，． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故答案为：105． 14. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是______m． 【答案】5 【解析】 【分析】以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键． 15. 已知抛物线，当时，的取值范围是______________ 【答案】1≤y＜9 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质求出抛物线在上的最大值和最小值即可． 【详解】 ∴抛物线开口向上 ∴当时，y有最小值，最小值为1 当时，y有最大值，最小值为 ∴当时，的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值和最小值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16. 如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x），由此即可求解． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程． 三．解答题（共52分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ， 解：即， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）将向下平移5个单位得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标； 【答案】（1）如图： 点的坐标为(5,-3)； （2）如图： 点的坐标(0,0) ． 【解析】 【分析】（1）由A的坐标据平移的坐标变化规律可直接写出A1的坐标； （2）先画出，再根据旋转的性质可直接画出，然后由图得出点的坐标即可． 【详解】（1）由图知点A的坐标为(5,2)，向下平移5个单位得A1的坐标为(5,-3)； （2）略 【点睛】此题考查图形的平移和旋转与其相关点坐标的变化，其关键是要熟悉平移和旋转的性质． 19. 已知二次函数． （1）图像经过原点，求的值； （2）图像的对称轴为轴，求的值； （3）图像的顶点在轴上，求的值． 【答案】（1）m=0；（2）m=1；（3）m=-1 【解析】 【分析】（1）将原点坐标代入解析式，解之即可得m的值； （2）由对称轴为y轴，得到，解之即可； （3）顶点在x轴上，则有，解之即可． 【详解】解：（1）因为图像经过原点 所以，； （2）因为对称轴为y轴， 所以， 解得：； （3）因为顶点在x轴上， 所以 ． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 21. 在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小； （2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明：∵点F是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【小问1详解】 解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 22. 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少. 【答案】（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【解析】 【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）w＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+60）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+60x﹣1800 ＝﹣x2+90x﹣1800， w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， 当x＝45时，w有最大值，最大值是225． （3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． (2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． (3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是. (2) . （3）P点的横坐标是或. 【解析】 【分析】（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可； （3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 【详解】解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得 解得 所以抛物线的解析式是. 设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得 解得 所以直线AB的解析式是. (2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时 ==. （3）若存在，则可能是： ①P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能. ②P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是. ③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去）， ①，所以P点的横坐标是. 所以P点的横坐标是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $