精品解析：安徽省全椒县2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

安徽省全椒县2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1 若线段，，则（ ） A. B. 5 C. D. 2 2. 下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 4. 把抛物线向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（　　） A. 3 B. C. D. 2 6. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（）的顶点坐标为，若，则抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数图象开口向上，则m的值是______． 12. 如图，直线，若，，，则长为_____． 13. 如图，在中，P为边上一点，且，若，，则的长为______． 14. 已知点抛物线上一动点． （1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______； （2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 已知，求和值． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点△ABC及点O． （1）以点O为位似中心，在网格范围内画出△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2 （2）填空：SΔA'B'C'：S△ABC= 17. 已知二次函数． （1）用配方法把该函数化为（其中、、都是常数且）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求函数图象与轴的交点坐标． 18. 已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）若点也在反比例函数的图象上，当时，求y的取值范围． 19. “丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． （1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？ 20. 如图，在中，、，的平分线相交于点O，过点O的直线，分别交、于点D、E． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 21. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 22. 已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． （1）若，当时，求长； （2）若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 23. 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点（﹣2，0），且关于直线x＝1对称． （1）求抛物线的解析式； （2）设此抛物线与直线l：y＝﹣x﹣1相交于P，Q两点，平行于y轴的直线x＝m交PQ于M点，交抛物线于N点． ①当点M在点N上方的时候，求MN的表达式（用含m的代数式表示）； ②在①的条件下当△PQN的面积最大的时候，求m的值及面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省全椒县2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若线段，，则（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：， ， 故选：B． 2. 下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的识别．根据反比例函数的形式为：或，逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，∴y一定是x的反比例函数，故此选项符合题意； B、∵，∴y是x的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； C、∵，当时，y不是x的反比例函数，故此选项不符合题意； D、∵，∴y是x的二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的比例中项的定义得到，再代值求解即可． 【详解】解：∵线段b是线段a和c的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查线段的比例中项，能根据定义正确列出a、b、c的关系式是解答的关键． 4. 把抛物线向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后的解析式为， 故选：A． 5. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（　　） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求出k的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故选B． 6. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段成比例．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， ∴之间的距离为， 故选：B． 7. 如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，设，根据题意，由于点C、D在的图象上，即可得到，解得． 【详解】解：设，根据题意， ∵点D是的中点， ∴， ∵点C、D在的图象上， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 8. 已知抛物线（）的顶点坐标为，若，则抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，判断出抛物线的开口方向，顶点的位置，对称轴位置，可得结论． 【详解】解：顶点坐标为，若， 顶点在第一象限或第三象限， 对称轴，，， ， 抛物线的顶点在第一象限， ， 开口向上， 抛物线与轴没有交点，即抛物线与轴的交点个数为0，与y轴有一个交点， ∴抛物线与坐标轴的交点个数为1． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理就可以求出AC的值，再根据轴对称的性质就可以得出，由得出就可以得出就可以求出结论． 【详解】解：∵，由勾股定理，得． ∵与关于成轴对称， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键． 10. 已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】用表示出、并求出的取值范围，再代入整理成关于的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出、的值，再相减即可得解． 【详解】∵，， ∴，， ∵，都是非负数， ∴， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 又∵是非负数， ∴， ∴对称轴为直线， ∴时，最小值， 时，最大值， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数最值问题，用x表示出y、z并求出x的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于x的函数关系式． 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数的图象开口向上，则m的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义，根据函数是二次函数，可得出，再由图象开口向上，得出，据此可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得，， 故答案为：2． 12. 如图，直线，若，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3．AB＝6，BC＝10， ∴， ∵EF＝9， ∴DE． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 13. 如图，在中，P为边上一点，且，若，，则长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据，，证明，得，是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 已知点是抛物线上一动点． （1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______； （2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______． 【答案】 ①. ## ②. 0或5##5或0 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可； （2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点M到y轴的距离不大于1， ∴， ∴此时点M在对称轴的左侧， ∵， ∴在对称轴的左侧随x的增大而减小， ∴当时，b取最大值，且最大值为， 当时，b取最小值，且最小值为， ∴b的取值范围是； 故答案为：； （2）∵点到直线的距离不大于， ∴，即， ∴， 令，代入，即，解得：，， 令，代入，即，解得：，， ∴点M应为或上动点， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为0或5； 故答案为：0或5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 已知，求和值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据比例的性质和计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查比的性质和计算，掌握其运算方法是解题的关键． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点△ABC及点O． （1）以点O为位似中心，在网格范围内画出△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2 （2）填空：SΔA'B'C'：S△ABC= 【答案】（1）见解析 （2）4：1 【解析】 【分析】（1）作图见解析部分； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接OA并延长至点A′，使得A A′＝OA，连接OB并延长至点B′，使得BB′＝OB，连接OC并延长至点C′，使得CC′＝OC，顺次连接A′、B′、C′，则△A′B′C′即为所求； 【小问2详解】 解：∵A A′＝OA，BB′＝OB，CC′＝OC， ∴， ∵∠AOB＝∠A′OB′， ∴ △AOB∽△A′OB′ ∴ 同理可证， ∴＝ ∴△ABC∽△A′B′C′ ∴SΔA'B'C'：S△ABC＝2＝4：1 故答案为：4：1 【点睛】本题考查作图﹣位似、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于常考题型． 17. 已知二次函数． （1）用配方法把该函数化为（其中、、都是常数且）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）对称轴为：，顶点坐标：； （2）与 【解析】 【分析】（1）先将二次函数的表达式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可； （2）令，然后解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ∵， ∴对称轴为：， 顶点坐标：； 【小问2详解】 时，有， ， ∴，， ∴图象与轴的交点坐标为：与． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及把二次函数一般式化为顶点式，掌握二次函数的性质和把二次函数一般式化为顶点式的方法是解题的关键． 18. 已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）若点也在反比例函数的图象上，当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点A的坐标，代入反比例函数解析式求出k即可； （2）分别求出时，时的函数值，根据反比例函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， ∴， 将点A的坐标代入， 得， ∴ 【小问2详解】 ∵， 当时，； 当时， ∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴当时，求y的取值范围是． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19. “丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． （1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？ 【答案】（1）每箱产品应涨价5元； （2）每箱产品应涨价7.5元才能获利最高． 【解析】 【分析】（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可； （2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值． 【详解】解：（1）设每箱应涨价x元， 则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元， 依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600， 整理，得x2﹣15x+50=0， 解这个方程，得x1=5，x2=10， ∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5， 答：每箱产品应涨价5元； （2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x）=﹣2x2+30x+500， 当x==﹣=7.5（元）， 答：每箱产品应涨价7.5元才能获利最高． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量． 20. 如图，在中，、，的平分线相交于点O，过点O的直线，分别交、于点D、E． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质： （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1）； （2）要围成面积的花圃，的长是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数的关系式是解题的关键． （1）设花圃的宽为，面积为，则的长为，然后根据长方形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设花圃的宽为，面积为，则的长为， ∴， ∵， ∴． ∴S与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 解得：，， ∵， ∴． 答：要围成面积花圃，的长是． 22. 已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． （1）若，当时，求的长； （2）若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 【答案】（1） （2）这个矩形的边长分别为30，20 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识，证明两个三角形相似是解题的关键． （1）由矩形性质易证明，则有；再证明四边形是矩形，得，结合，则由比例式得到关于的方程，解方程即可； （2）设，则可表示，由可求得，进而可表示出矩形的面积，由二次函数性质即可求得面积的最大值，从而求得矩形的边长． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ， ∴； 又， ， 四边形是矩形， ； ， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设，则， ， ， 即， ， 矩形的面积 ， 当时，矩形的面积取得最大值600， 此时． 所以，这个矩形的边长分别为30，20． 23. 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点（﹣2，0），且关于直线x＝1对称． （1）求抛物线的解析式； （2）设此抛物线与直线l：y＝﹣x﹣1相交于P，Q两点，平行于y轴的直线x＝m交PQ于M点，交抛物线于N点． ①当点M在点N上方的时候，求MN的表达式（用含m的代数式表示）； ②在①的条件下当△PQN的面积最大的时候，求m的值及面积的最大值． 【答案】（1）y＝x2-x-4，（2）-m2+m+3，（3）当m=时，面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴可求b，把（﹣2，0），代入可求c； （2）①表示出M、N点坐标，纵坐标相减即可；②根据铅锤法表示三角形面积，求二次函数顶点坐标即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为x＝1可得，， 解得，b=-1， 把b=-1，（﹣2，0），代入得，0=2+2+c， 解得，c=-4， 抛物线解析式为：y＝x2-x-4 （2）由题意可知，M（m, ﹣m﹣1），N（m，m2-m-4）， MN=﹣m﹣1-（m2-m-4）=-m2+m+3， （3）抛物线与直线l：y＝﹣x﹣1相交于P，Q两点可得， ， 解得，，， ∴P（-2,0）Q（3，） S△PQN=(-m2+m+3) ×[3-（-2）]=， 写成顶点式为：S△PQN=， 当m=时，面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练的运用待定系数法求解析式，准确理解题意，用铅锤法表示三角形面积，利用二次函数顶点坐标求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$