精品解析：江苏省南通市启东市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期中质量测试九年级 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意； B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意； C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意； D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 把抛物线向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：把抛物线向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 故选：A． 3. 已知的半径为r，点P到圆心O的距离为5，若使点P在外，则r的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握“设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内”是解题的关键． 【详解】解：的半径为，点到圆心距离． 点P在外， ， 即． 故选：A． 4. 在六张卡片上分别写有5，，3.1415，，，0.1010010001…六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的公式进行计算即可． 【详解】5，，3.1415，，，0.1010010001…六个数无理数有，，0.1010010001…共3个， 卡片上的数为无理数的概率是， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了无理数及概率公式，即无限不循环小数是无理数；一般地，如果一个试验有n次等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为． 5. 已知抛物线有最高点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟练的利用函数的图象有最高点是解本题的关键．根据函数的图象有最高点可知二次函数的二次项系数即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 即． 故选：B． 6. 如图，将量角器放在英语作业纸上（横线之间互相平行），其中两条线与量角器外图的交点分别为，，，，连接，．若，两点分别在量角器外圈的与的刻度处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，记量角器中心为点O，连接，，，由已知条件可得出，由圆周角定理，即可得出． 【详解】解：记量角器中心为点O，连接，，， ∵，两点分别在量角器外圈的60°与30°的刻度处， ∴， ∴， 故选：D． 7. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如： x … 0 1 … y … ﹣6 … 则该函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，找到对称点即可求解． 【详解】解：有表格数据可知，点是抛物线上对称的两点， ∴该函数图象的对称轴是 故选：B． 8. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求． 【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB=2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm． ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD=3mm． 在Rt△AOD中，∵mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm 故选D 【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键． 9. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（ ） A. 39分钟 B. 35分钟 C. 39.5分钟 D. 34.5分钟 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数的最值问题，设小明从文化宫回到家里所需的时间为，则，根据题意，确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间． 【详解】解：设小明从文化宫回到家里所需的时间为， 则， 当时，， 故选：C． 10. 如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，等边三角形的性质与判定，当时，连接，，先证明三点共线，再证明是等边三角形，得到，则，再利用弧长公式求解即可；当时，则，则为直径，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当时，连接，， ∵， ∴，点D为的中点， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长为； 如图所示，当时，则， ∴为直径， ∴弧的长为； 综上所述，弧的长为或， 故选D． 二、填空题（本题共8小题，第11～20题每小题3分，第13～20题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 二次函数 的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式，二次函数的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：二次函数 的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为_______（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率．此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 【详解】解：大量的重复试验，发现“该玉米种子发芽”出现的频率越来越稳定于0.801， ∵精确到0.1 该玉米种子发芽的概率为0.8 故答案为：0.8 13. 如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，交于，根据矩形的性质得到，求得，推出是等边三角形，得到边即为圆内接正六边形的边，即可求解． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 四边形是矩形， ， ，是的直径， 将的圆周等份， ， 是等边三角形， 边即为圆内接正六边形的边， 圆内接矩形的面积为， ， 圆内接正六边形面积为， 故答案为：30． 14. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是直线落在二次函数的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】根据图象可得出：当时，的取值范围是：． 故答案为：． 15. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为________________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率； 解：∵任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，共有8种情况，大于6的有2个， ∴指针指向大于6的数的概率为 ； 故答案是 ． 点睛：求概率的方法法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 17. 如图，在中，，，，点为线段上一动点．以为直径，作交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵， ∴， 当点、、共线时最小， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交y轴于点B，过点P作轴，垂足为H．则的最大值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点A的坐标，然后设，求直线解析式，得到点B的坐标，从而得到，即可求得，所以，最后根据二次函数的性质，即可求得答案． 【详解】由于与x轴正半轴交于点A， 则时，， 解得，或， 故， 点P是抛物线在第一象限部分上的一动点， 设， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意设抛物线为； 把代入，得： 解得： ∴ ∴，， 20. 如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点作于，由垂径定理得，由等腰三角形三线合一得，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， 即． 21. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 【答案】（1） （2）该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 （3） ， 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）； （2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标； （3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：点函数图象上， ， 解得：， ， 舍去， ， 点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键． 23. 如图，是的弦，经过圆心交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可． （1）连接，根据，求出，根据，则，即可； （2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的切线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 24. 一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【答案】（1）坐标系见解析， （2）米 （3）要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【小问1详解】 解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， 【小问3详解】 解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处， ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 25. 综合与探究 问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． （1）探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上； （2）探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； （3）探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，然后根据折叠的性质可判断将沿折叠，点一定落在直径上； （2）由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到； （3）先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到． 【小问1详解】 证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上； 【小问2详解】 解：． 理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ； 【小问3详解】 解：为正三角形， ，， ， ， ，， ， ， 而， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质． 26. 如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点． （1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； （3）当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值． 【答案】（1）； （2）点P的坐标是时，的面积最大，最大面积是； （3）-1或5． 【解析】 【分析】（1）先求出直线与y轴交点D的坐标，把点D和点A的坐标代入，求出t的值，即可得到抛物线的函数解析式； （2）先求出点D和点E的坐标，在过P作轴，交直线于点K，设点P的坐标为，其中，则，表示出PK，求出PK的最大值，进一步求得点P的坐标； （3）根据t的范围分三种情况讨论，即可解答． 【小问1详解】 解：在直线中， 令，得， ∴点D的坐标是（0，3）， 将点坐标代入， 得 ∴， ∴ ∴， 所以， 即抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：在直线中，令得，， ∴点C的坐标是（5，0） 直线交抛物线于D，E两点，联立方程组 解得， ∴点D的坐标为，点E的坐标为（，） 过P作轴，交直线于点K，如图1， 设，其中，则， ， ∵， ∴当时，． 设点D和点C到的距离分别是，， 则， ∴， ∴当时，， 把代入得， ∴此时点P的坐标是． ∴点P的坐标是时，的面积最大，最大面积是． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线． ①如图2，若，则当时，y有最小值． ∴， 解得， ∵， ∴ ②如图3，若，则当时，y有最小值． 此时，，不合题意，舍去． ③如图4，若，则当时，y有最小值． ∴， 解得， ∵， ∴． 综上所述，t的值为或5． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握函数的性质是基础，数形结合的方法是关键，还用到了分类讨论的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中质量测试九年级 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 把抛物线向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为r，点P到圆心O的距离为5，若使点P在外，则r的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在六张卡片上分别写有5，，3.1415，，，0.1010010001…六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线有最高点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将量角器放在英语作业纸上（横线之间互相平行），其中两条线与量角器外图的交点分别为，，，，连接，．若，两点分别在量角器外圈的与的刻度处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如： x … 0 1 … y … ﹣6 … 则该函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 9. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（ ） A. 39分钟 B. 35分钟 C. 39.5分钟 D. 34.5分钟 10. 如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本题共8小题，第11～20题每小题3分，第13～20题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 二次函数 的顶点坐标为________． 12. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为_______（精确到0.1）． 13. 如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为______． 14. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是______． 15. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是______． 16. 如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为________________． 17. 如图，在中，，，，点为线段上一动点．以为直径，作交于点，连接，则的最小值为______． 18. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交y轴于点B，过点P作轴，垂足为H．则的最大值为 ___________． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 20. 如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 21. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 22. 如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 23. 如图，是的弦，经过圆心交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 24. 一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 25. 综合与探究 问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． （1）探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上； （2）探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； （3）探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______． 26. 如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点． （1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； （3）当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $