6.1余弦定理与正弦定理课件 -2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

温故知新 甲乙两位同学均住在世博园的附近，已知甲同学家距离世博园入口处300米，乙同学家距离世博园入口处400米，某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求出甲乙两同学家相距多少米吗？ 情境导入 三角形中边角关系很丰富，本节继续研究.如已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三角呢？ 问题提出 1.掌握余弦定理的两种表示形式； 2.证明余弦定理的向量方法； 3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 课标要求 1.通过余弦定理的证明，培养逻辑推理素养． 2.通过余弦定理的应用，培养数学运算素养. 素养要求 2.6.1(1)余弦定理 探究点1 余弦定理 探究导学 A B C a b c 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 抽象概括 1.对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立. (2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求其第三边.实际上,若已知其中的任何三个量,都可以求出第四个量. 2.余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90°,则cos C=0,于是c2=a2+b2-2a·b·0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角),则 a2+b2<c2⇔△ABC是钝角三角形,且角C为钝角; a2+b2=c2⇔△ABC是直角三角形,且角C为直角; a2+b2>c2⇔△ABC是锐角三角形,且角C为锐角. 名师点析对余弦定理变形的理解 (1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形. (2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. (3)应用变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角. (4)余弦定理及变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式. 例1 如图,有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别是4km/h,4.5km/h.3h后两人相距多远?(精确到0.1km). A B Q C D O 80° A B C D 1 1 1 例2:如图,是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 的图形. 试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小.(长度精确到0.1,角度精确到10). 例3 在ΔABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知A是锐角,且cos2A= . ⑴若mbc=b2+c2-a2,求实数m的值. A B C b c h a ⑵若 ,求ΔABC面积的最大值. 课堂练习 课本Ｐ110练习 1.在ΔABC中，已知b=1,c=2,A=600,则a= 2.ΔABC三边之比为3:5:7.求这三角形的最大角。 3.在ΔABC中，已知b=2.730,c=4.297,A=58030ʹ.解这个三角形.(边精确到0.001，角精确到1ʹ) 1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2-2bccosA,　b2=a2+c2-2accosB,　c2=a2+b2-2abcosC. 课堂小结 3.余弦定理揭示了三角形中的边角关系，利用余弦定理可以解决以下两类三角形问题： (1)已知三边，求各角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角. (3)利用余弦定理也可求解已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的问题，建立关于第三边的方程，通过解方程求第三边. 知识点1:余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. [思考1] 余弦定理与勾股定理的关系是什么? 提示:余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. [思考2] 如果已知三角形的三边,如何求其内角? 自主学习测评 A C D C 已知三角形的两边及其夹角,可以直接使用余弦定理求出第三边的长度,再使用余弦定理求其余内角的余弦值.如果已知三角形的两边和一边的对角,可由余弦定理列出关于第三边的方程,通过解方程求得第三边. 方法总结 知识点2:三角形面积公式 C C 　　求三角形面积就是求出三角形的两边及其夹角的正弦值,这三个量乘积的二分之一即为该三角形的面积.余弦定理、三角形面积公式都是方程,解题中可以据此列出方程(组)求解未知元素. 方法总结 $$