江苏省南京市江宁区竹山中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年江苏省南京市江宁区竹山中学八年级（上）月考 数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各数中，无理数是（ ） A． B．3.14 C． D． 2．下列说法错误的是（ ） A．1的平方根是 B．的立方根是 C．是2的平方根 D．9的平方根是3 3．在中和中，已知，，增加下列条件后还不能判定的是（ ） A． B． C． D． 4．点，都在直线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 5．已知点，将它先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，则点坐标为（ ） A． B． C． D． 6．对于函数，下列结论正确的是（ ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 7．一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象所过象限为（ ） A．一、三、四象限 B．二、三、四象限 C．一、二、三象限 D．一、二、四象限 8．如图长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2023次相遇点的坐标是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．的平方根是______． 10．截止到2021年12月1日，全国累计新冠疫苗接种超2510剂次，精确到百位用科学记数法表示为______． 11．比较大小：______2（填“”，“”或“”）． 12．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为______． 13．将函数的图象向下平移4个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式是______． 14．如图，中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两条弧分别交于点、，作直线恰好经过点，则______度． 15．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为______． 16．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长______． 17．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数的图象如图所示．则关于的方程的解为______． 18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，两点，若点在内部，则的范围______． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题8分） 计算： （1）； （2）． 20．（本小题8分） 求下列各式中的： （1）； （2）． 21．（本小题6分） 已知：如图，点，，，在一条直线上，，，且．求证：． 22．（本小题7分） 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）与与关于轴对称，点的坐标为______； （3）在轴上有一点，能使的周长最小，直接写出的坐标______． 23．（本小题6分） 如图，已知，点是上一点，在射线上求作一点，使得．（尺规作图，保留作图痕迹，并说明理由） 24．（本小题9分） 如图，直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线经过点，且与交于点． （1）求直线与的解析式； （2）记直线与轴的交点为，记直线与轴的交点为，求的面积； （3）根据图象，直接写出的解集． 25．（本小题10分） 甲、乙两人从地前往地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离地的距离分别为（单位：）、（单位：），都是甲出发时间（单位：）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为，乙的速度为． （1）______，，______； （2）求与之间的函数表达式； （3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲出发时间（单位：）之间的函数图象． 26．（本小题10分） 建立模型 如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 （1）如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，求直线的表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1．【答案】D 【解析】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D．是无理数，故本选项符合题意；故选：D． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 2．【答案】D 【解析】解：1的平方根是，故A不符合题意； 的立方根是，故B不符合题意； 是2的平方根，故C不符合题意； 9的平方根是，故D符合题意．故选：D． 利用平方根，立方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 本题考查的是平方根与立方根的含义，根据定义逐一分析判断即可，熟记平方根与立方根的含义是解本题的关键． 3．【答案】B 【解析】解：A、根据即可推出，故本选项错误； B、不能推出，故本选项正确； C、根据即可推出，故本选项错误； D、根据即可推出，故本选项错误；故选B． 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理进行判断即可． 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 4．【答案】A 【解析】解：直线中，，随的增大而增大， ，，故选：A． 由一次函数的性质即可判断． 本题考查了一次函数的性质；用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，将随的增大而增大． 5．【答案】A 【解析】解：将点先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到点， 点坐标为．故选：A． 根据平移的性质可得答案． 本题考查坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 6．【答案】C 【解析】解：当时，，故A选项不符合题意； ，，函数的图象经过一、二、四象限，故B不符合题意； ，随着增大而减小，故D选项不符合题意； 当时，， 又随着增大而减小，当时，，故C符合题意，故选：C． 根据一次函数的图象和性质分别进行判断即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．【答案】C 【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，，，， 一次函数图象第一、二、三象限，故选：C． 根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到和的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题． 本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 8．【答案】B 【解析】解：由知，矩形周长为12， 甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒， 则两个物体每次相遇时间间隔为秒， 则两个物体相遇点依次为、、， ，第2023次两个物体相遇位置为，故选：B． 根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律． 本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律． 9．【答案】 【解析】解：的平方根是．故答案为：． 根据平方根的定义解答即可． 本题考查了平方根的运用．解题的关键是掌握平方根的定义，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 10．【答案】 【解析】解：；故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．本题确定，即可． 此题考查了科学记数法与有效数字．精确度的含义，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 11．【答案】 【解析】解：，，故答案为：． 求出的范围，两边都加上1，即可得出答案． 本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出的范围． 12．【答案】 【解析】解：面积为7的正方形的顶点在数轴上，， ，点表示的数为1， 点所表示的数为：，故答案为：． 根据题意，可得，当点表示的数为1时，则点所表示的数为：． 本题考查的是实数与数轴，熟练计算出正方形的边长是解题的关键． 13．【答案】 【解析】解：将函数的图象向下平移4个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式是，即．故答案为：． 直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 本题考查了一次函数图象与几何变换．掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 14．【答案】126 【解析】解：连接，， 由题意得，，， ，，，， 设，则，， ， ，， ，解得， ，， ，． 故答案为：126． 设，根据作法可知，，，利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理可求，，，从而得出，然后解方程求出的值，进而求，的度数即可解答问题． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，尺规作图等知识，添加合适的辅助线进行解答是解题的关键． 15．【答案】 【解析】解：直线与直线相交于点， 关于、的方程组的解为，故答案为：． 两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解． 本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 16．【答案】2.5 【解析】解：连接， ，，是的垂直平分线，， ，，， ，则， 在中，， 由勾股定理得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得， ，．故答案为：2.5． 连接，可证是的垂直平分线，从而，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，证出是解题的关键． 17．【答案】或 【解析】解：如图所示： 故关于的方程的解为或． 故答案为：或． 画出一次函数的图象，函数和的图象的交点的横坐标，就是方程的解． 本题考查了函数的图象，正确画出一次函数的图象，利用数形结合的方法是解答本题的关键． 18．【答案】 【解析】解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、， 点的坐标为，点的坐标为， 又点在的内部，， 解得：．故答案为：． 由一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，利用一次函数的性质可得出点，的坐标，结合点在的内部，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及点所在的位置，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 19．【答案】解：（1）； （2）． 【解析】（1）先分别求解算术平方根，立方根，再合并即可； （2）先计算乘方，化简绝对值，零次幂，再合并即可． 本题考查的是算术平方根，立方根的含义，化简绝对值，零次幂，实数的运算，掌握各自的运算法则是解本题的关键． 20．【答案】解：（1），，； （2），，即：，解得：． 【解析】（1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程． 本题考查开方法解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 21．【答案】证明：，， ，， 在和中，， ，． 【解析】先证出，，再证明，得出对应角相等即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 22．【答案】 【解析】解：（1）如图1所示； （2）如图2所示，，，； 故答案为：； （3）如图3所示，． 故答案为：． （1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）依据关于轴对称点的坐标特点求解即可； （3）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接并根据图象写出点的坐标即可． 本题考查了作图-平移变换，关于轴、轴对称的点的坐标，轴对称-最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 23．【答案】解：如图，点为所作． 理由如下： 点为的垂直平分线与的交点，， ，， ，，即． 【解析】先作的垂直平分线交于，再以点为圆心，为半径画弧交于，则，，然后根据等腰三角形的性质可判断． 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 24．【答案】解：（1）直线经过点，， 解得：，； 直线与轴交点，点， 经过点，， 解得：，； （2）令，则，， ，，， 的面积； （3）观察图象，的解集为． 【解析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式即可； （2）利用直线解析式求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得； （3）根据图象即可求解． 本题考查了利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与一元出不等式，熟知待定系数法，数形结合是解题的关键． 25．【答案】解：（1），75； （2）设与之间的函数表达式是， 点和点在该函数图象上，， 解得，即与之间的函数表达式是； （3）由题意可得，当时，此时； 当时，， 当时，， 当时，， 由图①和题意可知：当时，随的增大而增大，符合正比例函数； 当时，随的增大而减小，符合一次函数； 当时，随的增大而增大，符合一次函数； 当时，随的增大而减小，符合一次函数； 图象如下图所示． 【解析】【分析】 本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据图①中的数据，可知当时，两人相遇，然后即可列出方程，从而可以得到的值，然后计算出乙的速度，从而可以得到甲的速度，进而可计算出的值； （2）根据函数图象中的数据，可以利用待定系数法得出与之间的函数表达式； （3）根据图象和题目中的数据，可以计算出几个关键点的的值，然后画出相应的图象即可． 【解答】解：（1）由图可得，，解得， 乙的速度为：， 甲的速度为：，， 故答案为：，75； （2）（3）见答案． 26．【答案】解：（1）与轴、轴分别交于、两点， 点，点，，， 如图，过点作轴于， ，， ，又，， ，，点， （2）设直线的表达式为：， ，， 直线的表达式：； （3）当时，过点作轴于，过点作于， 点，，， ，，， ， ，又，， ，，点， 当时，又，， ，点， 综上所述：点坐标为或． 【解析】（1）由“”可证，可得，，即可求解； （2）由待定系数法可求解； （3）由“”可证，可得，，即可求解． 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$