3.2 抛物线的简单几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2 抛物线的简单几何性质 一、复习回顾 上一节课，我们共同学习了抛物线的一些简单几何性质，下面我们一起来复习一下. 那么，如何利用抛物线的相关知识解决实际问题呢？ 回忆一下，我们是如何定义抛物线的呢？ 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线 (l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线． 其中，这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线叫作 抛物线的准线． 在求解抛物线有关问题时，什么是隐含条件或者线索呢？ 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线距离. 二、引入新课 例1：已知点M 到点F(4，0)的距离比它到直线l : x+6=0 的距离小2， 求点M 的轨迹方程． 分析：到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线． 解：如右图，点M 到点F(4，0)的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，即点M 到点F(4，0)的距离等于它到直线：x+4=0的距离． 由此可知，点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，以直线 : 为准线的抛物线． 故点M的轨迹方程是:． 三、应用举例 例2：已知抛物线上的点P 到焦点F 的距离为5，求点P 的坐标． 设点P的坐标为( )，依题意有 解法1：可以利用两点间距离公式直接求解． 解：由抛物线方程可得焦点F(1，0)． 将①代入②，消去 ，然后两边平方，得 解得或4． 将代入①，得无解，故舍去； 将4代入①，得16，即． 所以点P的坐标为或()． 例2：已知抛物线上的点P 到焦点F 的距离为5，求点P 的坐标． 解法2：利用抛物线上的点到焦点和准线的距离相等求解． 解：设点P的坐标为( )，由点P( )在抛物线上，得． 由抛物线方程可得其准线方程为． 由点Р到焦点F的距离为5可知，点Р到抛物线的准线的距离也为5， 即解得4． 将4代入得即． 所以点P的坐标为或()． 例3：某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道?说明理由． 解: 如右下图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴 为y轴，建立平面直角坐标系， ． 将点A的坐标(3, ）代入上式，得即． 所以抛物线方程为． 将代入抛物线方程，得 则． 这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱 的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道． 设抛物线方程为 则点A的坐标为 3 2 3 6 h h 建系 建立适当的坐标系 求 抛 物 线 实 际 应 用 的 五 个 步 骤 假设 计算 求解 还原 设出合适的抛物线标准 方程 通过计算求出抛物线的 标准方程 求出需要求出的量 还原到实际问题中， 解决实际问题 1.已知点M 到点的距离比点M 到直线的距离小1，求点M 的轨迹方程． 解：由已知可发现动点M 满足：到定点A的距离与到直线的距离相等， 所以动点M 的轨迹是以为焦点， 直线为准线的抛物线，所以点M 的轨迹方程为． 四、课堂练习 2.若抛物线上的点到其焦点F的距离为3，则n的值为 ． 解：由抛物线的定义可知点P到准线的距离为3，所以． 12 A B 2 8 6 O x E F y 3.在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线形的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个与花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度． 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A()，B(6)， 设抛物线的方程为()，代入A(6，6)， 解得， 故抛物线的标准方程为 令x=4，得y=，此时E() . 所以，故所搭建舞台的最大高度为米． 4. 抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且经过 ， 则|AF|=（ ） 2 B. 3 C. D. 5 2.求抛物线实际应用的五个步骤. 五、课堂小结 1.利用抛物线上的点到焦点和准线的距离相等这个条件解决相关问题． 六、检测反馈 1、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于A，B两点，则 的值为________. 2、经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________. 3、过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若AF＝6，则|BF|等于________. 完成教材第75页习题2-3 A组 1-4题 六、课后作业 $$