精品解析：安徽省六安市霍邱县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

霍邱县2024～2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，线段，相交于点， ，若 ， ， ，则 的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，已知是 的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则 ．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 若函数（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（　　） A. 且 B. C. D. 或 9. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴为 ，过其顶点 的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点 ，使得的周长最小，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 线段是线段 、的比例中项，且 ，，则长为________． 12. 一次函数与反比例函数的图像交于点，点．当时，的取值范围是_______． 13. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为________秒． 14. 如图， ， ，．点 在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________． 三、解答题（本大题共有9个小题，共计90分） 15. 已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式； 16. 如图，在 中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作 交于点F．若 ，求的长． 17. 如图，在中，为斜边上的高，平分，交于点E．求证：． 18. 已知抛物线． （1）证明：无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与x轴的两个不同的交点分别为、且 ，求k的值． 19. 如图，平行四边形， 交 于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求 的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数的图像交于点C，连接，已知点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求 的面积． 21. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 22. 如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16． （1）若PN=18，求DE的长； （2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积． 23. 已知二次函数 的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作 轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为 ，过点M作 轴于点N，求线段 长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱县2024～2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（ 是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数， ）的函数叫做反比例函数．根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故选B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 4. 如图，线段，相交于点， ，若 ， ， ，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由 ，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ， ， ∴， 解得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点， 将，代入，则， ， ∴原方程为 解得：或 ； 故选：B． 6. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【详解】∵是公共角， ∴再加上 或都可以证明，故A，B可证明， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明． ∵ ， 若再添加，即，可证明，故D可证明． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 7. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则 ．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则 ， ∵对称轴为直线 ，则， ∴ ，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则 ， ∴ ，故①错误； ∵当 时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于 对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于 对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则 ；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 8. 若函数（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（　　） A. 且 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果． 【详解】解：当 时，， 此时一次函数与x轴只有一个公共点， 当时， 当时，， 当时，二次函数与x轴只有一个交点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数及其图象的性质，二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系等知识，解决问题的关键是分类讨论． 9. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数的应用，三角形的面积公式，分别求得点M、N的坐标是解决本题的关键． 设点P的坐标为，则点N的坐标为，点的坐标为，即可求得，，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， 轴，轴， ， 点N的坐标为，点的坐标为纵坐标为， ，解得， 点的坐标为， ，， ， 故选：A． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为 ，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为 ，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为 ， 当时， ，即， ∵，，， ∴ 此时三角形 的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点， 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形 的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形 的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 线段是线段、的比例中项，且 ，，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 一次函数与反比例函数的图像交于点，点．当时，的取值范围是_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】由题可得，当时，或 ，根据，两点，画出反比例函数和一次函数草图，结合图像，可以得到答案． 【详解】解：一次函数和反比例函数相交于，两点， ∴根据，两点坐标，可以知道反比例函数位于第一、三象限， 画出反比例函数和一次函数草图，如图： 由题意可得，当时，或 ， 由图可得，当时， 或． 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题．根据图像，直接写出答案，利用数形结合思想是解题的关键． 13. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为________秒． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题关键．对于二次函数，令，并解得的值，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，可得， 解得， （舍去）， 所以，当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒． 故答案为：50． 14. 如图， ， ，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________． 【答案】 或2或12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：若， ∴， 设， ， ， 解得； 若， ∴， 设， ， ， 解得； 综上所述，的长度为 或2或12， 故答案为： 或2或12． 三、解答题（本大题共有9个小题，共计90分） 15. 已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式； 【答案】（1）x=1 （2）y=－x2+2x－1 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式即可得到对称轴； （2）根据顶点在x轴上，可得，求出a的值即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线x=1； 【小问2详解】 由（1）可得， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得，=－1， ∵a<0， ∴a=－1， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 16. 如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作 交于点F．若 ，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴，， 解得：， ∴． 17. 如图，在中，为斜边上的高，平分，交于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用等量代换可得，再由角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质可得，利用等量代换可得 ，根据等角对等边可得，证明 ，可得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵CE平分， ∴， ∵ 是△BCE的外角， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵，为公共角， ∴ ， ∴， 即 ， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握掌握相关定理是解题的关键． 18. 已知抛物线． （1）证明：无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与x轴的两个不同的交点分别为、且 ，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据 列等式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为、， ∴，， ∴， 整理得， 解得 或． 19. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又 ， ． 【小问2详解】 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数的图像交于点C，连接，已知点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求 的面积． 【答案】（1） ， （2）6 【解析】 【分析】（1）过点作 轴于点，将点代入 ，得 ，由此可得一次函数的表达式；再求出点（0，2)，则 ，证得，进而得点，将点代入反比例函数得，由此可得反比例函数的表达式； （2）由（1）可知点，点，则，再根据三角形的面积公式可求出 的面积． 【小问1详解】 解：过点作 轴于点，如下图所示： ∵一次函数 的图象经过点， ， 解得： ， ∴一次函数的表达式为： ， 对于 ，当时， ， ∴点的坐标为 ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ 轴 ∴， ∴， ∴， 即， ， 即点的纵坐标为3， 对于 ，当时，， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 由（1）可知：点，点， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，待定系数法求函数的表达式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 21. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值． （1）根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； 【小问3详解】 解：根据故意得： ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当 时，有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 22. 如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16． （1）若PN=18，求DE的长； （2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积． 【答案】（1）10；（2）144 【解析】 【分析】（1）矩形PQMN中,由PN∥BC可得出△APN∽△ABC,从而得到，设DE=，则AE=16-，代入比例式即可求解； （2）由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，则DE=PQ，设DE=PQ=，则PN=，利用求得=4,即可算出矩形PQMN的面积． 【详解】解：依题意得：PN∥BC，则△APN∽△ABC， 又AD是高，则， （1）设DE=，则AE=16-， 由得，，解之得，=10 （2）由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，则DE=PQ. 设DE=PQ=，则PN=，同理得，，解之得，=4 则矩形PQMN的面积= 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 已知二次函数 的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作 轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为 ，过点M作 轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 当时， ， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ． ∴ ， ∴的值为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出， ，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把 代入即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 ∵二次函数 的图像经过点， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， 当 时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $