5.2 向量数量积的坐标表示课件 -2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

温故知新 “我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示.它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而使几何问题数量化,把“定性”研究推向“定量”研究. 情境导入 我们学习过两向量的线性运算可以转化为它们相应的坐标来运算,那么向量的数量积运算能否用坐标来进行呢？如何用a和b的坐标表示a·b？ 提出问题 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 2.能运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角，会判断两个向量的垂直关系. 课标要求 通过平面向量数量积的应用，培养数学运算与逻辑推理素养. 素养要求 5.2 向量数量积的坐标表 x o B(x2,y2) A(x1,y1) y 探究点1 向量数量积的坐标表示 探究导学 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算. 提示: 探究点2 向量的模的坐标表示 设　　　　,能否用向量的坐标表示　　? 探究点3 向量夹角的坐标表示 提示: 特别地: 例3 已知a=(3,2),b=(1,-1),求向量a与b的夹角的余弦值. 例4 ⑴已知定点A和向量 ，点P是直线AB外一点，请写出点P到直线AB的距离的向量表示. A B P ⑵已知点A(1,1),向量m=(2,1),过点A作一向量m为方向向量的直线为l，求点P(3,5)到直线l的距离. 1 1 2 2 3 3 ４ ４ 5 5 x y m A P O l 课堂练习 5.3 利用数量积计算长度与角度 探究点4 向量长度的计算 例6 用向量方法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:四边形ABCD是平行四边形. 求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. A B C D 例7 如图，已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试用向量的方法判断ΔABC的形状. 探究点5 向量夹角的计算 1 1 2 3 4 5 -1 -2 2 x y 例8 已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1,的夹角. 课堂练习 课堂小结 1.知识结构 数量和的坐标表示 向量数量积公式 两点间距离公式 向量的模、夹角、垂直公式 2.三个重要公式 三个重要公式 向量模公式： 两点间距离公式: 向量的夹角公式： 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算. 2.能用坐标表示两个向量的夹角、判断两个平面向量的垂直关系. 3.会用数量积计算向量的模、夹角等相关问题. 1.通过建立平面向量数量积的坐标表示,用坐标表示两向量的夹角、垂直等问题的过程,提高数学抽象、逻辑推理等核心素养. 2.通过利用向量计算长度和夹角的过程,提高数学运算的核心素养. 自主学习测评 知识点1:向量数量积的坐标表示 如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. [例1] (1)已知a=(1,-1),b=(-1,3),则a·(2a+b)等于(　　) (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 2 A A 变式训练1-1:已知a=(1,2),b=(4,3),则(a-b)·b等于(　　) (A)-30 (B)-15 (C)-10 (D)5 B (1)求出向量的坐标,直接根据向量数量积的坐标表示求得其数量积. (2)建立平面直角坐标系,把向量坐标化,再根据数量积的坐标形式求数量积. 方法总结 B B 方法总结 (2)坐标形式下两向量垂直的充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0. C AC 根据数量积计算两向量的夹角,可以有非坐标形式和坐标形式两种.非坐标形式的要点是用已知的两个不共线向量表达两个向量;坐标形式的要点是把两个向量的坐标求出. 方法总结 $$