精品解析：内蒙古自治区赤峰市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

初级第二阶段学情诊断测试 数学 温馨提示： 1．本次考试设置的分值为100分，考试时间90分钟． 2．作答时，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目须在答题卡上作答． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂墨． 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是中心对称图形．故本选项错误； B、是中心对称图形．故本选项正确； C、不是中心对称图形．故本选项错误； D、不是中心对称图形．故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合解答．中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 方程x2=﹣x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=﹣1或x2=0 D. x1=1或x2=0 【答案】C 【解析】 【分析】首先进行移项，将方程左边提取x分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，分别求出一次方程的解得到原方程的解． 【详解】解：因为 所以 所以x1=1或x2=0， 故选C． 【点睛】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 3. 关于二次函数的下列结论：①顶点的坐标为(1，3)；②对称轴为；③＜－1时，随的增大而增大；④函数图象与轴的交点坐标为(0，3).其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质逐项进行计算，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点的坐标为（-1，3），①错误； 对称轴为x=-1，②正确； 开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，③正确； 函数图象与y轴的交点坐标为（0，-1），④错误， 所以，正确的是②③，共2个 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解决本题的关键． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 【答案】A 【解析】 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】由旋转的性质可知，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB 6. 把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】解：把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是， 故选：D． 7. 已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣6x+8＝0得到x1＝4，x2＝2，再根据三角形三边的关系得到这个等腰三角形的腰为4，底边为2，然后计算这个三角形的周长． 【详解】x2﹣6x+8＝0 （x﹣4）（x﹣2）＝0， x﹣4＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝4，x2＝2， 因为2+2＝4， 所以这个等腰三角形的腰为4，底边为2， 所以这个三角形的周长为4+4+2＝10． 故选：A． 【点睛】考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是利用因式分解法求出方程的解． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象的性质，根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知二次函数的图象经过原点，故B选项错误； 当时，二次函数的图象开口向下，一次函数中a为负值，故D选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与轴的交点应该在y轴正半轴，故C选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与y轴的交点应该在y轴负半轴，故A选项正确． 故选：A． 9. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，再根据三天累计票房为亿元即可列出对应的方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 10. 如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的方程的另一个根在和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题．根据抛物线开口方向、与轴的交点和对称轴可以对A、B进行判断；利用抛物线的对称性求出抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在和之间，可对C、D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的交点在x轴上方， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即 ，故B选项正确，不符合题意； ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，即关于x的方程的另一个解在和之间，故选项D正确，不符合题意； ∴时，， ∴，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 一个正三角形至少绕其中心旋转________度，就能与其自身重合． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，连接、、，则其将正三角形分成3个全等的部分，再用360度除以3即可求得．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转一定角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，熟练掌握旋转角的求解是解题的关键． 【详解】解：如图所示：连接、、， 正三角形，O为其中心， ，， ， ， ， 同理可证：， ， ， ∴正三角形绕其中心O至少旋转，可与其自身重合． 故答案为：120． 12. 抛物线的对称轴是直线，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：的对称轴是直线，， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解. 【详解】∵点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称， ∴p=-3，q=1, ∴pq=-3×1=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB 90，AC3，CB5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，即可得到结论． 【详解】解：过E作EF⊥BC于F， ∵∠C=∠ADE=90°， ∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°， ∴∠DEF=∠ADC， 在△EDF和△DAC中，， ∴△EDF≌△DAC（AAS）， ∴DF=AC=3，EF=CD， 设CD=x，则BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2， ∴BE2的最小值是2， ∴BE的最小值是. 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，解题的关键是得出二次函数的解析式． 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 抛物线的顶点为P，与轴的交点为C． （1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________． （2）列表、描点画这条抛物线． … … … … 【答案】（1）直线，，； （2）描点，画出函数的图像如图： ． 【解析】 【分析】（1）把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴和顶点坐标，令x=0，求出与y轴的交点即可； （2）列表、描点，然后画出图像即可． 【详解】解：（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x=1，顶点P（1，4）， 令x=0，则y=3， ∴抛物线与y轴的交点C为（0，3）， 故答案为直线x=1，（1，4），（0，3）； （2）列表： x … -1 0 1 2 3 … y=-x2+2x+3 … 0 3 4 3 0 … 描点，画出函数的图像如图： ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像，二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键． 19. 如图①，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，（如图②）． （1）在图②中，　 　；（用含的式子表示） （2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）． 理由如下： 如图②，四边形为正方形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】（1）如图②，利用旋转得，再利用四边形为正方形，求出∠AOD，从而求出∠AOF; （2）如图②，利用四边形为正方形，得到，，又因为为等腰三角形，所以OF=OE,再证明即可. 【详解】解：（1）如图②， 绕点逆时针旋转角， ， 四边形为正方形， ， ； 故答案为； （2）略 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 20. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数解析式为； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得： ， ∴-2＜0，开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，w有最大值，即为； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 21. 阅读材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为，则 ． 【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得：， ∴． 根据上述材料解决下面问题： （1）关于x的方程的两个根是和1，则的值为 ． （2）已知实数m、n满足，且，求的值． （3）若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值． 【答案】（1）； （2） （3）k的值 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握相关结论即可. （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得m、n可看作方程的两实数解，可得，即可求解； （3）关于x的方程的两个实数根分别为α、β，根据根与系数的关系得，结合条件可得，利用根的判别式进行验证即可； 【小问1详解】 解：根据根与系数的关系得， 解得， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得m、n可看作方程的两实数解， ∴ ∴ 【小问3详解】 解：设关于x的方程的两个实数根分别为α、β， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，整理得， 解得， 当时，原方程化为，则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为，则，此方程有两个不相等的实数解； 综上所述，k的值为． 22. 如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=2S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在这样的P点，且坐标为：(，)，(，) 【解析】 【分析】（1）首先求出B、C两点的坐标，然后进一步代入抛物线解析式加以求解即可； （2）首先根据抛物线解析式求出A点坐标，从而得出AB=4，求出△CAB的面积为6，然后设P点坐标为(，)，根据题意进一步列出方程加以分析求解即可. 【详解】（1）∵直线经过B、C两点， ∴当时，；当时，， ∴B点坐标为(3，0)，C点坐标为(0，3)， 又∵抛物线经过B、C两点， ∴， 解得：，， ∴该抛物线解析式为：； （2）当时，， ∴，， ∴A点坐标为(，0)， ∴AB=4， ∴△CAB的面积=， 设P点坐标为(，)， ∵S△PAB=2S△CAB， 则：， ∴， 即或， 当时，，此时方程无解， ∴此时P点不存在， 当时，，解得：，， ∴此时P点坐标为(，)，(，)， 综上所述，存在这样的P点，且坐标为：(，)，(，). 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初级第二阶段学情诊断测试 数学 温馨提示： 1．本次考试设置的分值为100分，考试时间90分钟． 2．作答时，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目须在答题卡上作答． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂墨． 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程x2=﹣x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=﹣1或x2=0 D. x1=1或x2=0 3. 关于二次函数的下列结论：①顶点的坐标为(1，3)；②对称轴为；③＜－1时，随的增大而增大；④函数图象与轴的交点坐标为(0，3).其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 6. 把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 9. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的方程的另一个根在和之间 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 一个正三角形至少绕其中心旋转________度，就能与其自身重合． 12. 抛物线的对称轴是直线，则b的值为______． 13. 在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为_____． 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB 90，AC3，CB5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于__________． 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 抛物线的顶点为P，与轴的交点为C． （1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________． （2）列表、描点画这条抛物线． … … … … 19. 如图①，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，（如图②）． （1）在图②中，　 　；（用含的式子表示） （2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论． 20. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 阅读材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为，则 ． 【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得：， ∴． 根据上述材料解决下面问题： （1）关于x的方程的两个根是和1，则的值为 ． （2）已知实数m、n满足，且，求的值． （3）若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值． 22. 如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=2S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $