上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2025届曹杨二中高三(上)期中考试数学试卷 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1. 设集合A-(1,3,5),B-(2,+o),则AOB-_ 【答案】(3,5 2. 函数v=x2+1在区间[1.2]上的平均变化率为 【答案】3 3. 不等式2-+3. “-1 <0的解集为 {-) 【答案】 4. 若圆柱的底面半径为1,且表面积是侧面积的2倍,则该圆柱的体积为 【答案】π 5. 若sin(g+)=3sin(x-),则tangcotB= 【答案】2 6.#-)# 的二项展开式中, 系数最小的项为 【答案】-35x 7. 经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆(tx-2)2+y-2所截得的弦长为 6 【答案】2 【答案】-2 9. 在△ABC中,D是BC边的中点.若AB=2,BC=4,AC=3,则AB.AD- x<a. 令A-(yly-/(x),xeR),若存在实数y。A,则a的取值 2-2x,x>a. 范围是 【答案】(2,+oo) 第1页共11页 x-a 若函数f(x)的值域为A,存在实数yA,则f(x)的值域不为R, 即使函数y=x?-2x,x>a的值域为[0.+oo)的真子集即可 利用二次函数性质可知当x=0或x=2时,函数值为0, 所以根据图象可知a>2,即a的取值范围为(2,+). 11. 设n为正整数.若存在复数z,满足z-1且z”-z-2,则n的最小值为 【答案】3 【解析】不妨设z=cosθ+isinθ,θe[0.2r), [sinn-sine 由题可知 ②9-7 4 综上可知n=3 第2页共11页 12. 设y=f(x)是定义在Z上的偶函数,且对任意整数a、b,都有f(a+b)<maxf(a),f(b),其 中maxfu,v)表示实数u、v中的较大者.若/f(1)-1:f(2025)*1,则f(2024)的所有可能取值组成 的集合为__. 【答案】(1 【解析】证明::f(1)=1,f(a+b)<max(f(a),f(b) f(2)<max/f(1)/1))=1,即/f(2)<1 f(3)<maxf)f(2)=1,即f(3) 1 f(4)<max(f(1)./f(3))=1,即f(4)<1 ._._. f(2024)<max(/f(1).f(2023)=1,即f(2024)<1 f(2025)<maxf(1)f(2024))=1,即/(2025)<1 由偶函数性质知,f(1)=f(n+1-n)<max f(n+1),f(-n)=max{ f(n+1),/f(n) = 故对任意整数n,/(n+1)与f(n)两者中至少有一个为“1” 又f(2025)+1:则/(2024)=1 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分,第15~16题每题5分) 13. 已知a<b<0,则( ). A. C. ab<b? D.a?>b2 【答案】D 14. 已知g-/-B是直二面角,直线a在平面a上,直线b在平面B上,若a、b均与/既不平行,也不 垂直,则a与b的位置关系是( ). A. 可能垂直,也可能平行 B. 可能垂直,但不可能平行 C. 不可能垂直,但可能平行 D. 既不可能垂直,也不可能平行 【答案】D 15.已知(a.)是无穷等比数列,则“对任意正整数n,都有a。<a.”是“数列(a.)是严格减数列”的 ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 第3页共11页 【解析】若{a.是严格递减数列,显然a。<a.,所以“对于任意的正整数n:都有a,<a.”是“a.是严 格递减数列”必要条件; .a._.=q?<a.对任意的正整数n都成立,所以(a.)中不可能同时含正项和负项, :a.>0,q}<1,即a.>0,。<q<l,或a<0,→1,即a.<0,q>1. 当a>0,0<q<l时,有a.q<a,即a:<a.,a.是严格递减数列, 当a.<0,q>l时,有a.q<a.,即a.a,(a.是严格递减数列, 所以“对于任意的正整数n,都有a。<a.”是“a.是严格递减数列”充分条件 故选:C 16. 设eR,e[0.2x).若对任意实数x,都有sinx<cos(ox+),则满足条件的有序数对(,) 的个数是( ). C. 2个 B.3个 A.无数个 D.1个 【答案】B 【解析】若o=0,则sinx<cos恒成立,故cos=1,而e[o.2π),故y=0 若z0,因为对任意实数x均有sinx<cos(x+) 所以对任意实数x均有sinsin0xo). 又因为sinxe[-1,sin0x+{] [-1. 所以只能是对任意实数x均有sinx-sinx+o+2)成立, 由三角函数的图象与性质可知,必有=土1, 2 若=-1,此时方程化为sinx=sin-x++])-sinx--)-sinx--+*) 又e[0.2x),所以。-“. 第4页共11页 综上满足条件的有序实数对(e).)为(13-),(-1.). (0.0)共有3个,故选:C. 三、解答题(本大题共有5题,满分78分) 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 设向量=cos^}x,3).n=(2, sin 2x),f(x)=i-. (1)求函数v=/(x)的最小正周期及单调增区间; (2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若f(A)-2,a=2,且b+c=3,求△ABC 的面积. 【答案】(1)T-=. [n-}0 2):(2)# 【解析】(1)由题意知/(x)-2cos*x+5 sin2x-co2x+3sn2x+1-2sin(2x+)+1. 2 (2)由题意知(4)-2sin(24+”]+1-2,即sin24+)- 由于4C(0.n), 24(0#13) 解得2A+5x. ,即A-π 66 3 由余弦定理得a2=b}+c^2}-2becosA=b2+c^{}-b $$ 故b-[6t)-]- 进而△ABC的面积s-besinA-5 5 12 2 “. 第5页共11页 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图,在四梭锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,且 DAB=60*,PA-PD=$, 且PB-2. (1)求证:平面PAD1平面ABCD. (2)设E为PC的中点,求平面EBD与平面PAD所成锐二面角的大小. 【答案】(1)见解析:(2)arccos- 7 A 【解析】(1)取AD中点M,连接BM、PM. 由题意知PM=1,BM-3. 由于PB^{}=PM{}+BM^{},故PM1BM.$ 又由于PM1DM, 且BM、DM是平面ABCD上的两条相交直线, 故PM1平面ABCD 又由于PM一平面PAD, 因此平面PAD1平面ABCD (2)以M为坐标原点, MA、MB、MP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系 则 P(0,0.1):401.0.0):B(0.3.0):C(-2.3.0):D(-1.0.0) 进而有-1) 于是B-(..0).-(01). 得平面EBD的一个法向量π=(3,-1.3) 又平面PAD的一个法向量n=(0,1,0). 因此平面EBD与平面PAD所成锐二面角的大小为arecos- 7 二. 第6页共11页 19.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题4分,第3小题6分) 2024届起,上海实行高考改革新方案,新方案规定:语文、数学、英语是考生的必考科目,考生还需 从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目,某校为了解高一年级540名 学生选科方案的意向,按性别分层抽样,随机选取36名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表 性别 人数 化学 物理 生物 政治 历史 地理 20 20 -20 8 2 3 2 女生 16 10 6 16 4 6 6 (1)估计该学校高一年级全体男生中,选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数: (2)从选取的20名男生中随机选出2名,求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率; (结果用最 简分数表示) (3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种 选科方案,若从选取的16名女生中随机选出2名,求2人选科方案不同的概率,(结果用最简分数表示) 20 【解析】(1)由题意知该学校高一年级男生有540×- __300人. 20+16 因此估计该学校高一全体男生中 (2)用A表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合” 则P(4)_-C.C48. C 95 (3)由题意知选取的16名女生中,有6人选“物理、化学、生物”, 4人选“生物、政治、历史”,6人选“生物、历史、地理”. 用B表示事件“2人选科方案不同” 2}C3 则P(B)= 第7页共11页 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 2 ,上顶点为B(0.1). (1)求的方程; (2)设P是直线x-2y-4-0上一点,点M满足BP-3BM.若I经过点M,求点P的坐标; (3)过I的右焦点F作不垂直于x轴的直线/,交I于P、O两点,线段PO的垂直平分线交x轴于点T 一2_翻 【解析】(1)由题意知b=1. (2)设P(2y+4,y). 由题意知OM-OB+BM-OB+-Bp. 3 得202)2). 由于r经过点M,2(v+2)+(+2)}-1,解得y--23. 将y--2土3代入点P的坐标, 得P(23,3-2)或P(-23,-3-2) (3)由题意知F(1,0). 设/:y=k(x-1). 与I的方程联立得(2k}+1)x}-4/x+2(k2-1)=0. 4: x+x2= 22+1' 设P(x,y)、O(x,y),则{ 2(2-1) xx2= 22+1 第8页共11页 于是[PO-1+--(+)-4-2. 2+1 设PO中点为N(x,y%), 2k3 2k^*+1' 2k2+1 由于NT1PO,故直线NT的方程为(x-xo)+k(y-y%)=0. #).# 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 设函数y=f(x)的定义域为开区间I.若存在x.EI,使得曲线y=f(x)x=x.处的切线/与曲线 y=f(x)只有唯一的公共点,则称切线/是函数y-/(x)的一条“L切线”. (1)求证:直线y=x-2x是函数y=sinx的一条“L切线”; (2)设f(x)=e*-2x,求证:函数y=f(x)存在无数条“L切线” (3)设a>0,g(x)=x2}+aln(x+1).若曲线y=g(x)在x=0处的切线/是函数y=g(x)一条L切 线”,求a的取值范围. 【答案】(1)见解析:(2)见解析:(3)a三2 【解析】(1)由于(sinx)=cosx, 故直线v=x-2π是曲线v=sinx在x=2π处的切线 令q(x)-sinx-(x-2π). 则 (x)=cosx-1<0,且等号当且仅当x=2k(keZ)时成立 故函数y=(x)在(-0,+o)上严格减,知函数y=(x)有唯一零点2π, 因此直线y=x-2π是函数v=sinx的一条“L切线” (2)由于/“(x)-ex-2, 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e'-2)x+(1-t)e’. 下面证明:对任意/eR,上述切线均为函数y=f(x)的“L切线” 令(x)-/(x)-(e'-2)x+(1-)e],则(x)=e*-'. 由于y-(x)是严格减函数,且(t)-0, 第9页共11页 故在(-o.t)上(x)<0,函数y=(x)严格减; 在(t.+o)上(x)>0:函数v=(x)严格增 由于(t)=0,故当x去7时,恒有o(x)>0 因此函数y=o(x)有唯一零点t, 即直线y=(e'-2)x+(1-ì)e'是函数y=f(x)的“L切线” 因此函数y=f(x)存在无数条“L切线”. (3)函数y=g(x)的定义域I=(-1.+). 由于g(x)-2x+__,故1:y-ax. r+1 令(x)=g(x)-ax. 直线/是函数y=g(x)的一条“L切线”即函数y=(x)有唯一零点 ##(t)=g(x)-a-x(2x+2-a) x+1 此时在(-1.0)U(0,+)上(x)>0,且 (0)=0 故y=(x)在(-1,+o0)上严格增,满足题目要求. (ii)若a>2, 则在(0-1+)上q()<0,故函数y-o(x)严格减, 进而得。#(1}0. 由于co(a)=aln(a+1)>0,且函数y=(x)的图像是连续曲线 (ii)若0<a<2, 进而。(1})0. 第10页共11页2025届曹杨二中高三(上)期中考试数学试卷 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1. 设集合A=(1.3,5),B-(2,+),则A0B= 2. 函数y=x2+1在区间[1.2]上的平均变化率为 2x+3 3. 不等式二 1 <0的解集为 4. 若圆柱的底面半径为1,且表面积是侧面积的2倍,则该圆柱的体积为 5. 若sin(+B)=3sin(a-),则tanocotB= 6.^(-)的二项展开式中。 系数最小的项为__. 7. 经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆(x-2){}+y{=2所截得的弦长为 6 9. 在△ABC中,D是BC边的中点.若AB=2,BC=4:AC=3,则AB.AD- x<a, 令A-Dyly=f(x)xeR),若存在实数y。A,则a的取值 范围是___. 11. 设n为正整数,若存在复数z,满足zl-1且z”-z-2,则n的最小值为__ 12. 设y=f(x)是定义在Z上的偶函数,且对任意整数a、b,都有f(a+b)max(f(a).f(b),其 中maxftu.v)表示实数in、v中的较大者,若f(1)-1:f(2025)1:则/f(2024)的所有可能取值组成 的集合为___. 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分,第15~16题每题5分) 13.已知a<b<0,则( ). 1B.! A. C. ab<b* D. a>b? 14. 已知g-l-B是直二面角,直线a在平面a上,直线b在平面B上.若a、b均与/既不平行,也不 垂直,则a与b的位置关系是( )。 A. 可能垂直,也可能平行 B. 可能垂直,但不可能平行 C. 不可能垂直,但可能平行 D. 既不可能垂直,也不可能平行 15.已知(a.)是无穷等比数列,则“对任意正整数n,都有a。<a.”是“数列(a.3是严格减数列”的( ). A:充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 设coeR,=l0.2x).若对任意实数x,都有sinx<cos(ox+).则满足条件的有序数对(2.) 的个数是( ) c. 2个 A.无数个 B.3个 D.1个 三、解答题(本大题共有5题,满分78分) 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 设向量=cos}x.3).i-(2.sin2x),f(x)=i·i. (1)求函数y=/(x)的最小正周期及单调增区间: (2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若f(A)=2.a=2.且b+c=3,求△ABC 的面积. 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图,在四校锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,且乙DAB-60'.PA-PD-2 且PB-2. (1)求证:平面P4D1平面ABCD (2)设E为PC的中点,求平面EBD与平面PAD所成锐二面角的大小. 19.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题4分,第3小题6分) 2024届起,上海实行高考改革新方案,新方案规定:语文、数学、英语是考生的必考科目,考生还需 从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目,某校为了解高一年级540名 学生选科方案的意向,按性别分层抽样,随机选取36名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表 性别 人数 物理 化学 生物 政治历史地理 男生 20 20 20 2 8 3 女生 16 16 10 (1)估计该学校高一年级全体男生中,选科方案为“物理、化学、历史“组合的人数: (2)从选取的20名男生中随机选出2名,求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率:(结果用最 简分数表示) (3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3科 选科方案,若从选取的16名女生中随机选出2名,求2人选科方案不同的概率,(结果用最简分数表示) 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 2 2 .上项点为B(0.1). (1)求r的方程 (2)设P是直线x-2y-4-0上一点,点M满足BP-3BM.若T经过点M,求点P的坐标 (3)过I的右焦点F作不垂直于x轴的直线/,交T于P、O两点,线段PO的垂直平分线交x轴于点T 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 设函数y=f(x)的定义域为开区间I.若存在x。I.使得曲线y=f(x)x=x.处的切线/与曲线 y=/(x)只有唯一的公共点,则称切线/是函数y=f(x)的一条“L切线”。 (1)求证:直线y=x-2r是涵数y=sinx的一条“L切线”; (2)设/(x)=e”-2x,求证:函数y=/(x)存在无数条“L切线” (3)设a>0,g(x)=x+aln(x+D.若曲线y=g(x)在x=0处的切线/是函数y=g(x)一条*L 线”,求a的取值范围.