精品解析：山东省聊城市临清市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年第一学期期中调研 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 若为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．由特殊角的三角函数值，即可得的值． 【详解】解：∵为锐角，且， ∴， ∴由特殊角的三角函数值可知，， 故选：B． 2. 若，且，，，则EF的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得再代入数据建立方程，解方程后可得答案. 【详解】解： ，，， 解得： 经检验：符合题意， 故选：C 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键. 3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数． 【详解】解：中，，， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理等知识点，设大厅两层之间的距离为米，根据坡度的概念用表示出扶梯的铅直高度，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案，熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解决此题的关键． 【详解】解：设大厅两层之间的距离为米， 扶梯的坡度, 扶梯的水平宽度为米, 由勾股定理得：, 大厅两层之间的距离为米， 故选：． 6. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵ ∴是的直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 8. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】B 【解析】 【分析】过O作，过A作于G，求出，进而求出，即可求解． 【详解】过O作，过A作于G， ∵米，， ∴米， ∵，， ∴， 在中， (米)， 点A位于最高点时到地面的距离为(米)， 答：点A到地面的距离为5米； 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件，构造直角三角形． 9. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∵ ∴， ∴正确； ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故错误． 故选：． 10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30° ∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°， ∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上， ∴与△AOB位似的三角形为△GOH， 设OA=x， 则OB=， ∴OC=， ∴OD=， … ∴OG=， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键． 二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果） 11. 在中，，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先由勾股定理得，根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故答案为: ． 12. 中，，点是内心，那么_________． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∵， ， ， ，，，， 解得：， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 14. 如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示， ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故答案为：． 15. 如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为_________．（，结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 四边形为矩形， ，， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 16. 如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是____________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键． 利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴当最小时最小， 又∵， ∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高， 在中，，，则：， ∵，即：， 解得：， ∴ ∴； 故答案为：． 三、解答题（本题8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键， （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 19. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上一点，（点不与，重合），连接并延长与交于点，连，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据勾股定理及垂径定理可得答案； （2）连接，证，得，根据圆周角定理即可得证； 【小问1详解】 解：如图，连接， 因为是的直径，弦， 所以， 因为，，所以，， 由勾股定理得， 所以． 【小问2详解】 证明：如图，连接， 因为是的直径，弦， 所以垂直平分， 所以，， 因为，，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线． （2）求证：． （3）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接． ∵平分， ∴， ∴； ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切，即为的切线； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆切线的判定、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识． （1）如图：连接，先说明，再说明，进而说明，再根据可得，即可证明结论； （2）先根据平行线的性质和等量代换可得，再根据圆的内接四边形的性质可得，从而得到； （3）由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出是等腰直角三角形，由勾股定理可求出，再由三角形相似求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，，中，，点在上，交于点，交于点． （1）点是的中点时，求的值； （2）当时，求的长． 【答案】（1）； （2）6． 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于．证四边形是矩形，得，，再证明，，利用三角形的性质得，从而求得，同理得，从而即可得解； （2）作于，于．由勾股定理得，由（）得，，进而得，由相似三角形的性质得，设，则，，，由，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作于，于． 因为， 所以四边形是矩形， 所以，， 所以， 所以， 所以． 因为是的中点， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以， 所以， 同理， 所以． 【小问2详解】 解：如图，作于，于． ∵，，， ∴， 由（）得，，， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以， 设，则，， 所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理及矩形的判定及性质是解题的关键． 23. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________， ________海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】（1）30；75；5 （2）该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． 【小问2详解】 解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 24. 如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）若AB=4，求的值； （3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）16；（3）EB=EG，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明△ABE ≌△CBF即可； （2）证明EBF△∽△ECB∽△BAF，列出比例式计算即可； （3）先证明△BEF∽△CGF，得到，根据∠EFG=∠BFC，证明△EFG∽△BFC即可． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=． ∵BE= BF， ∴∠BEF=∠BFE． ∴∠AEB=∠CFB． ∴△ABE ≌△CBF． ∴AE=CF． （2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE， ∴∠BEC=∠ABF． ∵∠BAF=∠BCE=， ∴△ABF∽△CEB． ∴． ∴=16． （3）如图2 ∠EBF=∠GCF=45°， ∠EFB=∠GFC， ∴△BEF∽△CGF. ∴. 即. ∵∠EFG=∠BFC， ∴△EFG∽△BFC. ∴∠EGF=∠BCF=45°. ∴∠EBF =∠EGF. ∴EB=EG. 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期期中调研 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 若为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，，，则EF的长度为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 9. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果） 11. 在中，，，那么_________． 12. 中，，点是内心，那么_________． 13. 如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为___________． 14. 如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是_________． 15. 如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为_________．（，结果精确到） 16. 如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是____________ 三、解答题（本题8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 19. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上一点，（点不与，重合），连接并延长与交于点，连，，． （1）求的长； （2）求证：． 20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线． （2）求证：． （3）若，求线段的长． 22. 如图，在中，，，，中，，点在上，交于点，交于点． （1）点是的中点时，求的值； （2）当时，求的长． 23. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________， ________海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 24. 如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）若AB=4，求的值； （3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $