精品解析：江苏省泰州市兴化市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分） 注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义直接得出结果. 【详解】由得， 故倾斜角满足为， 故. 故选：D 2. 直线与直线相互垂直，则实数的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的充要条件判断即可. 【详解】解：因为直线与直线相互垂直， 所以，即. 故选：C. 3. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的离心率公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，且，解得. 故选：A. 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：B 5. 已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知求得椭圆的短半轴与长半轴，进而求得半焦距，从而可求离心率. 【详解】因为圆柱的底面半径为4，所以椭圆的短轴，得， 又因为椭圆所在平面与圆柱底面所成角为， 所以，解得，得， 所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 6. 若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得两直线与轴的交点坐标，求得两直线交点坐标，利用向量的夹角公式可求的大小. 【详解】直线与轴交于点， 直线与轴交于点， 由，得，所以，， 所以， 所以，所以. 故选：D. 7. 若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式和垂径定理求出，要使弦的最大值则，代入求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， ， 令线段中，则，即， 令线段中，则，即， 所以线段的两端点为，， 而，， 要使弦的最大值则，所以. 故选：B. 8. 已知圆和椭圆，过上一点作轴的垂线，与交于点，垂足为；过上另一点作轴的垂线，与交于点，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 大小不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设，（不妨设在轴的上方，则，分别计算的值，可得结论. 【详解】设，（不妨设在轴的上方，作出图形如图所示： 则， 则由题意可得，， 解得，，所以，， 则可得， 同理可得，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用坐标法研究平面几何问题是平面几何的核心，本题关键是利用坐标法表示线段长，进而计算长度之比解决问题. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中，正确的有（ ） A. 直线与垂直 B. 点到直线的距离为 C. 圆的面积为 D. 椭圆的面积大于8 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两直线的系数关系即可求解A，根据点到直线的距离公式即可求解B，根据圆的一般方程可得半径，即可求解C，根据矩形面积即可求解D. 【详解】对于A，由于，两直线垂直，故A正确， 对于B，点到直线的距离为，故B错误， 对于C，圆的半径为，故面积为，C正确， 对于D，由于，则，故椭圆面积小于8，故D错误， 故选：AC 10. 已知曲线的方程为，则下列选项中正确的有（ ） A. 当时，曲线是圆 B. 当时，曲线是双曲线 C. 当时，曲线是椭圆 D. 当且时，曲线是直线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据曲线方程，结合各选项一一判断即可； 【详解】对于A：时，方程为：，错误； 对于B：时，方程为：，为双曲线，正确； 对于C：时，方程为：，代表圆，错误； 对于D：若，，此时变为，表示直线；同理，若，，也表示直线，正确. 故选：BD 11. 已知为圆上一动点，动圆，则（ ） A. 动圆必过定点 B. 圆与圆内切 C. 直线与圆相离 D. 直线被圆所截得的弦长存在最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：分析可知，动圆必过定点；对于B：根据两圆位置关系分析判断；对于C：求得点到直线的距离，可知直线与圆相切；对于D：利用基本不等式可得点到直线的距离有最小值，即可分析判断. 【详解】对于选项A：因为圆的圆心为，半径， 动圆的圆心为，半径， 显然，所以动圆必过定点，故A正确； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 则，所以圆与圆内切，故B正确； 对于选项C：因为点为圆上，则， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切，故C错误； 对于选项D：因为，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 即有最小值，所以直线被圆所截得的弦长存在最大值，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线与相互平行，则它们之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行求出的值，再根据平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】因为直线与相互平行， 所以，解得， 则直线即为. 直线化为， 则它们之间的距离为. 故答案为:. 13. 写一个与双曲线有共同的渐近线，且焦点在轴上的双曲线的方程__________. 【答案】（答案不唯一，形如的都行） 【解析】 【分析】根据渐近线相同即可求解. 【详解】与双曲线有共同的渐近线，故设， 由于焦点在轴上，故，取，则， 故答案为：（答案不唯一，形如的都行） 14. 若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为__________，此抛物线的顶点坐标为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知变形得，由抛物线定义可求，进而可得焦点为，进而求得抛物线的对称轴与准线交点可求抛物线的顶点坐标. 【详解】由，可得， 所以，所以， 方程表示到点的距离与直线的距离之比为常数， 若方程表示的曲线是抛物线，则，解得， 为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 过与直线垂直的直线方程为， 由，解得，所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点是焦点与的中点， 所以抛物线的顶点坐标为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：关键是把方程变形为，利用抛物线的定义可求，考查抛物线的定义的应用，难度较大. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，且. （1）求直线的斜率； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据、点的位置画出直线，根据已知点在轴上且，结合图形求出直线与轴非负半轴所夹角度，即为直线的倾斜角，进而求出直线斜率； （2）由（1）求出直线的斜率进而求出直线的方程，根据直线的方程求出点坐标，然后根据点和点坐标求解直线方程即可. 【小问1详解】 如图，，，可知直线平行于轴， 已知点在轴上且，可知直线与轴非负半轴所夹角度为， 即直线的倾斜角为，故直线的斜率. 【小问2详解】 由（1）可知，可得直线的方程为，即， 将代入，即求得点坐标为. 已知，，可得直线的方程为， 化简得. 16. （1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【解析】 【分析】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【详解】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 17. 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. （1）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； （2）已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）不妨设双曲线的标准方程为， 则的标准方程为，所以 . （ii） 【解析】 【分析】（1）利用，可求出，再利用求出，可得的方程，再利用共轭双曲线的概念求解即可； （2）（i）假设两曲线方程 ，，根据离心率定义求证即可； （ii）据离心率定义求，再利用不等式求最值即可. 【小问1详解】 解：设双曲线的焦距长为，长轴长为，短轴长为， 由题意，，解得， 从而， 因为双曲线的中心在原点，焦点在上，所以的方程为， 从而它的共轭双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：（i）略 （ii）， 因为，所以，（当且仅当时取等号） 所以，即的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. （1）若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； （2）在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在定点 【解析】 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式即可求解； （2）设，直线和直线的斜率分别为，结合韦达定理得到由其为定值即可求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，直线的方程可设为， 代入整理得， 设，则， 所以，， 因为线段中点的横坐标为2，所以①， 因为线段的长为6，所以②， 由①②解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，直线和直线的斜率分别为， 则 若为定值，由的任意性知，即，此时为原点， 所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过分别作的两条弦，直线的交点记为，其中点位于轴上方.记四边形的面积为，周长为. （1）当点在以为直径的圆上运动时，求的最小值； （2）当点在曲线上运动时，证明：. 【答案】（1） （2）证明：曲线是长轴顶点分别为的椭圆， 由题意，直线的斜率都存在，记为， 设，则，可得. 因为坐标分别为， 所以 将直线的方程代入，整理得， 同（1）得，同理， 所以 ， 所以 ， ， 综上得. 【解析】 【分析】（1）法一：设直线的方程，与椭圆方程求解，同理求出，由运用基本不等式求出最值； 法二：（以上同法一）由，运用基本不等式求出最小值，进而求得的最小值. (2) 直线的斜率都存在，记为,可得，分别求得，，进而 求得，将四边形的周长运用放缩法可证出结论. 【小问1详解】 解：法一：当点在以为直径的圆上运动时， 由题意，直线的斜率都存在， 设直线的斜率为，则直线的斜率为. 将直线的方程代入， 化简整理得. 设，则， 所以. 同理. 因为， 所以， 当且仅当，即时，四边形的面积取最小值 法二：（以上同法一）由得 所以，则， 当且仅当，即时，四边形的面积取最小值. 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：解答此类直线和圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，难点在于计算的复杂性以及计算量大，并且基本都是字母参数的运算，十分繁琐，计算时要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分） 注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线相互垂直，则实数的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和椭圆，过上一点作轴的垂线，与交于点，垂足为；过上另一点作轴的垂线，与交于点，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 大小不确定 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中，正确的有（ ） A. 直线与垂直 B. 点到直线的距离为 C. 圆的面积为 D. 椭圆的面积大于8 10. 已知曲线的方程为，则下列选项中正确的有（ ） A. 当时，曲线是圆 B. 当时，曲线是双曲线 C. 当时，曲线是椭圆 D. 当且时，曲线是直线 11. 已知为圆上一动点，动圆，则（ ） A. 动圆必过定点 B. 圆与圆内切 C. 直线与圆相离 D. 直线被圆所截得的弦长存在最大值 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线与相互平行，则它们之间的距离为__________. 13. 写一个与双曲线有共同的渐近线，且焦点在轴上的双曲线的方程__________. 14. 若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为__________，此抛物线的顶点坐标为__________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，且. （1）求直线的斜率； （2）求直线的方程. 16. （1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 17. 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. （1）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； （2）已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. （1）若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； （2）在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过分别作的两条弦，直线的交点记为，其中点位于轴上方.记四边形的面积为，周长为. （1）当点在以为直径的圆上运动时，求的最小值； （2）当点在曲线上运动时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $