5.1向量的数量积课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§5.1 向量的数量积 温故知新 一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.猴子高兴地跑回去,把刀放在一块石头上拼命地磨,直到发现刀口和刀背差不多厚了,才停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功. 物理学当中的做功在数学中叫什么,是如何表示的呢? 情境导入 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.体会平面向量数量积与投影数量的关系. 3.会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题. 课标要求 1.通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养． 2.通过数量积的应用，培养数学运算素养. 素养要求 §5.1 向量的数量积 探究点1 平面向量数量积的定义 实例分析 F F1 F2 S θ 当0°≤θ＜90°时,W＞0,即力F做正功；当θ=90°时，W=0,即力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功. 力对物体所做的功是一个数量,它由力和位移两个向量来确定.功可以看做力F和位移s这两个向量的某种运算的结果. 1.平面向量数量积的定义 抽象概括 探究点2 投影 (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos<a，b>的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos<a，b>的乘积(如图)． (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s. 思考：1.向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相等吗？ 提示:不一定．例如，当a⊥b时，即使b≠0，也有a·b＝0. 2．当a≠0时， 由a·b＝0一定能得到b＝0吗？ 提示:当且仅当|a|＝|b|时，相等． 例1 如图,已知向量a与b,其中|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150° ⑴求a﹒b；⑵求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释. a b A a b B B1 O θ 课堂练习 课本Ｐ103练习 1.已a知b与共线，且|a|=1,|b|=2,求a∙b 2.已知|a|=4,|b|=2,求分别在下列条件下的a∙b值 （1）<a,b>=1200; （2）a∙b; （3）a//b 探究点3 平面向量数量积的运算性质 1.数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a. 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 关于加法的分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 思考：3.数量积运算是否满足结合律？ 提示: 不满足． 例2 已知向量a,b,c,其中|a|=4,|b|=6,且a与c的夹角θ=120°,b与c的夹角γ=60°,求a+b在c方向上的投影数量. 课堂练习 课堂小结 1．两向量a与b的数量积是一个实数，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． 核心知识目标 核心素养目标 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义、物理意义. 2.掌握平面向量数量积的性质和运算律. 3.体会平面向量数量积与向量投影的关系. 1.通过数量积、投影向量概念的建立过程,提高直观想象、数学抽象的核心素养. 2.通过平面向量的运算律和性质得出过程,提高逻辑推理的核心素养. 3.通过平面向量数量积的应用,提高数学运算的核心素养. 自主学习测评 知识点1:向量数量积的定义 (1)向量a与b的夹角为θ(也可记作<a,b>),|a||b|·cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|cos θ. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为0. [思考] 两个向量的数量积的结果是数量,该数量在0°≤θ<90°时为正值,在θ=90°时为0,在90°<θ≤180°时为负值.结合上述事实和数量积的定义,概括出|a·b|与|a||b|之间的关系. 提示:|a·b|≤|a||b|,当且仅当θ=0°或180°时等号成立. C 　　根据定义求两个向量的数量积,就是求出两个向量的模以及两个向量夹角的余弦值,其乘积即为这两个向量的数量积. 方法总结 知识点2:投影 (1)投影向量 变式训练2-1:|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的投影等于(　　) (A)-3 (B)-2 (C)2 (D)-1 D 方法总结 ⑤|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立. C C 方法总结 $$