安徽省六安市六安新世纪中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

试卷第 1页，共 3页 六安市裕安区新世纪中学 2023-2024 学年度第一学期高二年级 数学期末考试试卷 选择性必修二-----选择性必修三第六章 一、单选题（每题 5分共 40 分） 1．在等差数列 na 中， 4 5 6 6a a a   ，则 2 8a a 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知数列{ na }是递增等比数列， 1 5 2 417, 16a a a a   ，则公比 q  A．-4 B．4 C．-2 D．2 3．已知函数   3f x x ，则 '(1)f （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若 10 2 100 1 2 10( 2 )x a a x a x a x      ，则 0 1 2 3 10a a a a a     的值为（ ）． A． 2 1 B． 2 1 C． 10( 2 1) D． 10( 2 1) 5．从5名男生和 4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选 法种数是（ ） A．70 B．74 C．84 D．504 6．二项式 3 3 6 ax        的展开式的第二项的系数为 3 2  ，则 a的值为（ ） A．1 B．-1 C．1或-1 D． 3或 3 7．已知函数 3 2( ) 1f x x ax x     在 ( , )   上是单调函数，则实数 a的取值范围是（ ） A．  , 3  B． 3, 3   C．  3, D．  3, 3 8．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 12 15 13S S S  ，令 1 2n n n nb a a a  ，则数列 nb 的前 n项和 nT 取最大值时n的值为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、多选题（每题 6分答错或多选不得分，部分选对答部分分，共 18 分） 9．关于 6(5 )x 的展开式，下列判断正确的是（ ） A．展开式共有 6项 B．展开式的各二项式系数的和为 64 C．展开式的第 6项的系数为 30 D．展开式中二项式系数最大的项是第 4项 试卷第 2页，共 3页 10．数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 2 7nS n n   ，则下列说法正确的是（ ） A． na 是递增数列 B． 10 14a   C．当 4n  时， 0na  D．当 3n  或 4时， nS 取得最大值 11．（多选题）已知函数  f x 满足  1 3f  ，  1 3f    ，则下列关于  f x 的图象描述正确的 是（ ） A．  f x 的图象在 1x  处的切线斜率大于 0 B．  f x 的图象在 1x  处的切线斜率小于 0 C．  f x 的图象在 1x  处位于 x轴上方 D．  f x 的图象在 1x  处位于 x轴下方 三、填空题（每空 5分共 15 分） 12．已知函数 2xy  ，则函数在区间 1,3 上的平均变化率为 . 13．函数 2 1( ) 2 3ln 2 f x x x x   的单调递减区间为 . 14．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主 要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”，“视听学习” 等多个栏目.假设在这些栏目中某时段更新了 2篇文章和 3个视频，一位学员准备学习这 2 篇文章和这 3个视频，要求这 2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有 种.（用 数字作答） 四、解答题（共 77 分） 15．（第一问 6分，第二问 7分共 13分） 已知数列{ }na 是首项为 23，公差为-4的等差数列. (1)求{ }na 的通项公式； (2)设{ }na 的前 n项和为 nS ，求 nS 的最大值. 16．（第一问 7分，第二问 8分共 15分） 已知等差数列 na 的前 n项和为 2 6 5, 2 27, 40nS a a S   ． (1)求 na 的通项公式； (2)若 1 1 n n n b a a   ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 试卷第 3页，共 3页 17．（第一问 7分，第二问 8分共 15分） 设数列 na 的前 n项和 nS 满足 12n nS a a  且 1 2 3, 1,a a a 成等差数列 (1)求数列 na 的通项公式； (2)设数列 nna 的前 n项和为 nT ，求 nT ． 18．（第一问 5分，第二问 6分，第三问 6分共 17分） 已知在 2 14 n x x      的展开式中，各项系数和为 81. (1)求n的值； (2)求含 5x 的项的系数； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 19．（第一问 8分，第二问 9分共 17分） 已知函数   ln mf x x x   . (1)若 2m  ，求曲线  y f x 在 1x  处的切线方程； (2)求函数  f x 在 1,e 上的单调区间和最小值. 答案第 1页，共 4页 参考答案： 1．D【详解】等差数列 na 中，有 2 8 4 6 52a a a a a  ， 4 5 6 53 6a a a a    ，得 5 2a  ，则 2 8 52 4a a a   . 2．D【详解】解：因为 2 4 1 5 16a a a a  ，且 1 5 17a a  ， 4 1 5 11, 16a a a q    ， 2q  ， 2q   （舍去）， 3．C【详解】因为   3f x x ，所以   23f x x  ，则   21 3 1 3f     . 4．D【详解】令 10 2 100 1 2 10( ) ( 2 )f x x a a x a x a x       ， 10 0 1 2 10( 1) ( 2 1)f a a a a        ． 5．B【详解】从9名学生中任选3名，有 39C 种选法，其中全为男生的有 3 5C 种选法， 所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有 3 39 5 84 10 74C C    种. 6．C【详解】二项式展开式的第二项  212 3 3 6 T C ax         ， 它的系数为 1 2 3 3 3 6 2 C a          ，所以 2 1a  ，解得 1a   ， 7．B【详解】解：由 3 2( ) 1f x x ax x     ，得 ' 2( ) 3 2 1f x x ax    ， 因为函数 3 2( ) 1f x x ax x     在 ( , )   上是单调函数，所以 ' ( ) 0f x  或 '( ) 0f x  恒成立， 因为 ' 2( ) 3 2 1f x x ax    的图像开口向下，所以 ' ( ) 0f x  恒成立不可能， 所以 '( ) 0f x  恒成立，所以 2 24 4 ( 3) ( 1) 4 12 0a a          ，解得 3 3a   ， 8．C【详解】解：由 12 15 13S S S  可得： 13 13 14 15 14 15 0 0 0 a a a a a a         ，即 140 a ， 15 0a  ， 0d  ，等差数列 na 是的递减数列，且 12 13 14 150, 0, 0, 0a a a a    ，  1 2 12 13 14 15 160, 0 0, 0, 0, 0, 0,b b b b b b b       又 14 13 14 15 16 13 14 15 15 14( ) ( ) 0b b a a a a a a a a      ， ∴ 1 2 3 12 13 14nT b b b b b b       最大，故 14n  ， 答案第 2页，共 4页 9．BD【详解】解：展开式共有 7项，故 A错误；展开式的各二项式系数的和为 62 64 ， 故 B正确；展开式的第 6项是 5 1 5 56C 5 ( ) 30x x   ，其系数为-30，故 C错误； 展开式共 7项，所以第 4项的二项式系数最大，故 D正确. 10．CD【详解】当 2n  时， 1 2 8n n na S S n     ，又 1 1 6 2 1 8     a S ，所以 2 8na n   ， 则 na 是递减数列，故 A错误； 10 12 a ，故 B错误；当 4n  时， 8 2 0na n   ，故 C正确； 因为 2 7nS n n   的对称轴为 7 2 n  ，开口向下，而n是正整数，且 3n  或4距离对称轴一 样远，所以当 3n  或 4时， nS 取得最大值，故 D正确. 11．BC【详解】因为   3 01f     ，则  f x 的图象在 1x  处的切线斜率小于 0； 因为  1 3 0f   ，所以  f x 的图象在 1x  处位于 x轴上方． 12．3【详解】设   2xy f x  ，因为   33 2 8f   ，  1 2f  ， 所以    3 1Δ 8 2 3 Δ 3 1 2 f fy x       . 13．  0,3 /（0,3】 【详解】函数  f x 的定义域为 (0, ) ，   23 2 3 ( 3)( 1)2 x x x xf x x x x x          ，由 ( ) 0f x  得 3x  ，由 ( ) 0f x  得0 3x  ， 所以 ( )f x 在区间 (0,3)上单调递减． 14．72【详解】先将 3个视频进行排序，再将 2篇文章进行插空，则共有 3 23 4A A 72  种排 法. 15．(1) 4 27na n   (2)78 【详解】（1）因为数列 na 是首项为 23，公差为-4的等差数列， 所以数列 na 的通项公式为 23 ( 1) ( 4) 4 27na n n       ； （2）令 4 27 0na n    ，可得  *27 N4n n  ，所以数列 na 的前 6项为正， 所以数列 na 的前 6项和为 nS 的最大值，最大值 6S =     6 6 1 6 23 4 78 2        . 16．(1) 3 1na n  (2) 6 4 n n  答案第 3页，共 4页 【详解】（1）设等差数列 na 的公差为d ， 因为 2 6 52 27, 40a a S   ，所以 2 6 1 1 1 5 1 1 2 2( ) 5 3 7 27 5 45 5 10 40 2 a a a d a d a d dS a a d                 ，解得 1 2 3 a d    ， 所以 1 ( 1) 2 3( 1) 3 1na a n d n n        ； （2）由（1）知 1 1 1 1 (3 1)(3 2) 3 3 1 3 2n b n n n n          ， 所以 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )] ( ) 3 2 5 5 7 3 1 3 2 3 2 3 2 6 4n n nT b b b n n n n                     17．(1) 2nna  (2)   11 2 2nnT n    【详解】（1）当 2n  时， 12n nS a a  ， 1 1 12n nS a a   ，两式相减可得 12n na a  ， 因为 1 2 3, 1,a a a 成等差数列，所以  1 3 22 1a a a   ，即  1 1 14 2 2 1a a a   ， 解得 1 2a  ，所以 na 是首项为 2，公比为 2的等比数列；所以 12 2 2n nna    . （2） 2nnna n  ， 21 2 2 2 2nnT n       ， 2 3 12 1 2 2 2 2nnT n        ， 两式相减可得 2 3 12 2 2 2 2n nnT n         12 2 2 2 1 2 n nn        11 2 2nn    ， 所以   11 2 2nnT n    . 18．(1)4； (2)-256； (3) 296x . 【详解】（1）因为 2 14 n x x      的展开式中各项系数和为 81， 所以令 1x  ，则3 81n  ，解得 4n  . （2）由第 1r  项为  42 4 8 31 4 41C 4 ( 1) C 4 r rr r r r r rT x xx             ， 令8 3 5r  ，解得 1r  ，所以 5x 的系数为  1 34C 4 1 256   . （3）根据二项式系数性质可知，当 4n  时，二项式系数 24C 最大， 即第三项  22 2 2 23 4C 4 1 96T x x   ， 答案第 4页，共 4页 所以展开式中二项式系数最大的项是 296x . 19．(1) 3 0x y   【详解】（1）当 2m  时，   2lnf x x x   ，则   2 1 2f x x x   ， 故  1 1 2 1f     ，   21 ln1 2 1 f    ， 故切线方程为  2 1y x    ，即 3 0x y   ， （2）   2 2 1 m x mf x x x x     且  1,ex ， 当 1m £ 时，   0f x  ，  f x 的单调增区间为 1,e ，    min 1f x f m  ； 当1 em  时， 当1 x m  时，   0f x  ，当 em x  时，   0f x  ， 所以  f x 的单调减区间为  1,m ，单调增区间为 ,em ，    min 1 lnf x f m m   ； 当 em  时，   0f x  ，所以  f x 的单调减区间为 1,e ，    min e 1 e mf x f  