江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

中华中学2024-2025学年第一学期期中考试 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：范栋志 审题人：薛钧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前和为，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 当时， 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 与为互斥事件 B. 与相互独立 C. D. 10. 已知三棱锥中，面，，且，为的中点，为线段上一点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥与三棱锥外接球球心之间的距离为 11. 已知曲线，称曲线上的点为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（ ） A. “边线曲线”关于对称 B. “边线曲线”在处切线的斜率为 C. 存在“边线点”，使得 D. “边线点”到原点距离的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，曲线的对称中心为，则____. 13. 已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则______. 14. 甲、乙两同学进行某项没有平局的比赛，规定：每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一方先得到3分为止，先得3分的一方赢得比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.若比赛进行5局时甲获胜，则甲获胜的概率最大时的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且. （1）若，求的面积； （2）若，求的取值范围. 16. 已知正项等比数列的前项和为且. （1）求； （2）求数列的前项的和. 17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点、分别在、上，且，，. （1）若平面，求； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆的左，右焦点分别为是椭圆上一动点，且的最大值为2. （1）求椭圆的方程； （2）记到椭圆在点处切线的距离为，求的值； （3）若射线与直线交于点，点在射线上，满足. 过点作直线与椭圆相交于点，且点为弦的中点，证明：直线过定点. 19. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）证明：在上单调递减； （2）若，，求的最小值； （3）若，函数的图象与轴交于，两点，求的取值范围. 中华中学2024-2025学年第一学期期中考试 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：范栋志 审题人：薛钧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】30 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）2 （3） 设，， 因为均在椭圆上， 所以，两式相减得， 整理得，， 而，， 则，设直线的方程为，， 联立，得， 则， ， 因为直线的方程为，则， 联立，得， 分别过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴交于点， 由，得，即， 则，即， 即，即， 则直线的方程为， 所以直线过定点. 【19题答案】 【答案】（1） 函数，， 求导得， 所以在上单调递减. （2）3； （3） . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $