第二十四章 圆 章末复习小结（课件+教学案+作业设计） 2024--2025学年人教版九年级数学上册

24.2.1点与圆的位置关系 导学案 学习目标 1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识; 2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积; 3.能综合运用圆的知识解决问题. 教学过程 一、知识梳理 1．圆是如何定义的？ 2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？ 3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？ 4．圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？ 5．正多边形和圆有什么关系？ 6．如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？ 二、圆的基本性质和定理 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴. 2. 有关圆心角、弧、弦的性质. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3.垂径定理 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的______________. (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 4.圆周角定理 (1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_______. (2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 (3)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 5.圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角互补. 6.与切线相关的定理 三、与圆有关的辅助线的作法 四、圆中的计算问题 1. 圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积为 课堂练习 例1.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数. 例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 例3.如图，已知⊙O的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO,∠D与∠DOB的度数． 例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，△ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求： (1)BD的长为多少？ (2)求阴影部分的面积． 课堂小结 谈谈本节课的收获和感想 作业布置 见精准作业单 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章章末复习小结（1）基本知识 教学设计 教学目标 1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识; 2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积; 3.能综合运用圆的知识解决问题. 教学重点、难点 重点：进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积; 难点：能综合运用圆的知识解决问题. 教学过程 一、知识梳理 1．圆是如何定义的？ 2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？ 3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？ 4．圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？ 5．正多边形和圆有什么关系？ 6．如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？ 二、圆的基本性质和定理 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条___直径____所在的直线都是它的对称轴. 2. 有关圆心角、弧、弦的性质. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3.垂径定理 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的___直径两条弧____. (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 4.圆周角定理 (1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. (2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 (3)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 5.圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角互补. 6.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 三、与圆有关的辅助线的作法 辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间； 圆半径，不起眼， 计算问题常要连； 弦与弦心距， 亲密紧相连； 切点和圆心， 连结要领先，得到垂直解疑难； 遇到直径想直角， 灵活应用才方便。 四、圆中的计算问题 1. 圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积为 课堂练习 例1.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数. 解:∵AD//OC ∴∠AOC=∠DAO=70° 又∵OD=OA ∴∠ADO=∠DAO=70° ∴∠AOD=180-70°-70°=40° 例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 解：当弦AB和CD在圆心同侧时， 过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC. ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴CE＝5cm，AF＝12cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝12cm，OF＝5cm， ∴EF＝OE-OF=12−5＝7cm. 当弦AB和CD在圆心异侧时， 过点0作OE⊥CD于点E,作OF⊥AB于点F,连结OA,OC. ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AF＝12cm，CE＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝12cm，OF＝5cm， ∴EF＝OF＋OE＝17cm． ∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm． 例3.如图，已知⊙O的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO,∠D与∠DOB的度数． 解：∵∠COD+∠AOC+∠BOD =180^∘ ∴∠COD=∠AOC+∠BOD=1/2×180^∘=90^∘ ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=45^∘ ∵PC=CO，∴∠P=∠COP， 又∵∠P+∠COP=∠OCD=45^∘， ∴∠P=∠COP=22.5^∘，∴∠DOB=∠P+∠PDO=67.5^∘． 例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，△ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求： (1)BD的长为多少？ (2)求阴影部分的面积． （1）解：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC． 又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°， ∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BD＝CD，BC=√2AB=2√2， ∴AD＝BD＝CD＝√2； （2）解：∵AD=BD， ∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积， ∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积=1． 课堂小结 谈谈本节课的收获和感想 作业布置 见精准作业单 板书设计 第二十四章章末复习小结（1） 1. 圆的概念 2. 圆的性质 3. 与圆有关的位置关系 4. 弧长与扇形面积的计算 5. 正边形与圆 6. 作图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课前诊测 1．如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 精准作业 必做题 1．如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，A，B，C，D是上的四个点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．    4．如图，在中，，点O在上，以长为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，求半圆O的半径长． 选做题 5．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长． 参考答案 课前诊测 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 精准作业 1. A 2. A 3./ 4.（1）解：连接， ∵和半圆相切， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：如答图②，连接． 设半圆O的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故半圆O的半径长为． 5.（1）证明：如图，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C， ∴∠1＝∠P， ∴CB∥PD． （2）解：∵CE⊥BE， ∴CE2＝CB2﹣BE2， ∵CB＝3，BE＝2， ∴CE＝， ∵AB⊥CD，AB为直径， ∴DE＝CE，CD＝2CE＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版.九年级上册 第二十四章 圆 章末复习小结（1）基本知识 学习目标 1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识; 2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积;(重点) 3.能综合运用圆的知识解决问题.(难点) 知识梳理 1．圆是如何定义的？ 2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？ 3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？ 4．圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？ 5．正多边形和圆有什么关系？ 6．如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？ 圆的基本性质和定理 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴. 直径 2. 有关圆心角、弧、弦的性质. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆的基本性质和定理 (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 3.垂径定理 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　 　. [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 两条弧 圆的基本性质和定理 4.圆周角定理 (1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. (3)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 5.圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角互补. (2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 圆的基本性质和定理 6.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 与圆有关的辅助线的作法 辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间； 圆半径，不起眼， 计算问题常要连； 弦与弦心距， 亲密紧相连； 切点和圆心， 连结要领先，得到垂直解疑难； 遇到直径想直角， 灵活应用才方便。 圆中的计算问题 1. 圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积为 其中l为正n边形的周长. 圆中的计算问题 2.弧长公式 半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________. 3.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________. 或 4.弓形面积公式 O O 弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积 圆中的计算问题 圆锥的侧面展开图: 底面 侧面 l h r 5. 圆锥的侧面积 l 2πr 圆中的计算问题 (3)圆锥的侧面积为　 　. (4)圆锥的全面积为　 　. (1)圆锥的侧面展开图是一个　 　. (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 　. 扇形 l 课堂检测 例1.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数. 解:∵AD//OC ∴∠AOC=∠DAO=70° 又∵OD=OA ∴∠ADO=∠DAO=70° ∴∠AOD=180-70°-70°=40° 课堂检测 例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 课堂检测 例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 解：当弦AB和CD在圆心同侧时， 过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC. ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴CE＝5cm，AF＝12cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝12cm，OF＝5cm， ∴EF＝OE-OF=12−5＝7cm. 课堂检测 例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 解：当弦AB和CD在圆心异侧时， 过点0作OE⊥CD于点E,作OF⊥AB于点F,连结OA,OC. ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AF＝12cm，CE＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝12cm，OF＝5cm， ∴EF＝OF＋OE＝17cm． ∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm． 课堂检测 例3.如图，已知的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且， ,与的度数． 解：∵， ∴= ∵ ∴== ∵， ∴， ∵，∴， 又∵， ∴，∴． 课堂检测 例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求： (1)BD的长为多少？ (2)求阴影部分的面积． （1）解：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC． 又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°， ∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BD＝CD，， ∴AD＝BD＝CD＝； 课堂检测 例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求： (1)BD的长为多少？ (2)求阴影部分的面积． （2）解：∵AD=BD， ∴ ， ∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积， ∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积 ＝． 知识体系 圆 圆的性质 与圆有关的位置关系 弧长与扇形面积的计算 圆的对称性 圆是中心对称图形 垂径定理 四边形的内接圆、三角形的外接圆 直线与圆的位置的关系 切线长定理 圆的概念 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴 切线 三角形的内切圆 正多边形与圆 作图 谢谢！ $$