4.1平面向量基本定理课件 -2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

4.1平面向量基本定理 北师大版（2019）高中数学必修第二册 第二章 平面向量及其应用 第4节 平面向量基本定理及坐标表示 １．问题情景： 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？ F1 G F2 问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动? 2．问题情景： 问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动? 如果是1只大猴子和4只小猴子呢? 2．问题情景： 答：一个向量可以分成两个不同方向的向量 思考：从这些实例中我们看到了什么？ 概括：如果 是平面内的两个不平行的向量， 是该平面内的任意一个非零向量，那么 与 之间有什么关系呢？ 概括：如果 是平面内的两个不平行的向量， 是该平面内的任意一个非零向量，那么 与 之间有什么关系呢？ 已知 是同一平面内的两个不共线向量， 是这一平面内的任一向量． 探究： 与 的关系 探究一 O M N C 即 向量的分解 A B A B C D E F （１）平面向量基本定理 存在 如果 是同一平面内两个不共线向量， 那么对于这一平面的任意向量 一对实数， 使 有且只有 （ 2 ） 基底： 把不共线的向量 叫做这一平面内 所有向量的一组基底． 一个平面向量用一组基底 ( 3 ) 正交分解： 表示成： 称它为向量的分解． 当 互相垂直时，称为向量的正交分解． (1)不共线的向量 叫做这一平面内所有向量 的一组基底; 平面向量基本定理: (4)基底给定时,分解形式唯一. 如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , 使 (3) 任一向量 都可以沿两个不共线的方向（ 的 方向）分解成两个向量（ ）和的形式； 说明： (2)基底不唯一; 思考1：若向量 共线，表示 吗？ e1 a e2 a 思考2：当 是零向量时， 还可以表示成 的形式吗？ 设 是平面内的一个基底，则下面四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 例： 变式训练1-1:已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为一组基的是(　 ) (A)a=0,b=e1+e2　　　　　　(B)a=3e1+3e2,b=e1+e2 (C)a=e1-2e2,b=e1+e2　　　(D)a=e1-2e2,b=2e1-4e2 C D B C A E F 例2 如图， ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点, A C B D F E 例3: 平面向量基本定理的拓展 ♦ 探究1： 一组平面向量的基底有多少对？ 无数对 ♦ 探究2： 若基底选择不同，则表示同一向量的 实数 是否相同？ 可以相同,也可不同 O F C E A E B N $$