广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题

柳州市2025届高三第一次模拟考试 数学 (考试时间120分钟满分150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知复数x=1+i,则上的虚部为( A名 B c D. 2. 对于非零向量a,6,"a+i=0"是"a∥"的(）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3已知双曲线C-三1的一条渐近线方程为y一2x,则m=( A.1 B.2 C.8 D.16 4.若过点(23,0)与圆x2+y=4相切的两条直线的夹角为a,则cosa=(). A号 B.2 5 c D号 5. 在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-5,0)，(5，O),直线AM,BM相交于点 M,且它们的斜率之积是号，则点M的轨迹方程为( A =1(x≠±5) B. 3y2 25-100 25-100=1(x≠±5) C. 9x2 25-100 =1(x≠±5) D. 25-100 =1(x≠±5) 6.设函数f)=cos(ar+若u>0),已知fx)=-1,f儿x=1,且|-x2的最小值为牙， 则u=(). A.1 B.2 C.3 D.4 柳州市2025届高三第一次模拟考试数学第1页（共4页） 7.已知正四棱台ABCD-ABCD,的体积为75，AB=2,A,B=1,则AA1与底面 3 ABCD所成角的正切值为( A.3 2 B.5 C.23 D.4 8.设函数fx)=xnx-(a+bnx,若f(x)≥0，则5+5的最小值为(). A.1 B.2 C.5 D.25 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X服从正态分布，即X~N3,9),则(）. A.E(X)=27 B.,DX)=9 C.PX≥8)>PX≤-1) D.PX≤1)+PX≤5)=1 10.过抛物线Ey2=2印x(p>0)的焦点F作倾斜角为0的直线交E于A,B两点，经过点A 和原点O的直线交抛物线的准线于点D,则下列说法正确的是( A.BD∥OE B.OALOB C.以AF为直径的圆与y轴相切 D.IAFIBFI- sin2 11.我们知道，函数y=f八x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x) 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要 条件是函数y=f(x十a)-b为奇函数。已知f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x),若 函数y=f(x+1)-1是奇函数，函数y=g(x+2)为偶函数，则( A.f(1)=1 B.g10=1 C.y=f(x+2)-1为奇函数 D. /0=102 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知r+2z-1=0则r+ 13.在（是+写》的展开式中，常数项为 第14题图 14.如图，在4×4的格子中，有一只蚂蚁从A点爬到B点，每次只能向右或向上移动一格，则 从A点爬到B点的所有路径总数为 若蚂蚁只在下三角形（对角线AB及以下的部分 所围成的三角形)行走，则从A点到B点的所有总路径数为 柳州市2025届高三第一次模拟考试数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知√3sinA-cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的周长. 16.(15分)如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段 BC上，AC=2AB=4,CD=2DB.· (1)证明：AD⊥平面BOP; (2)若圆锥PO的侧面积为8π，求二面角O-BP-A的正弦值. 第16题图 17.(15分)已知函数fe=-hx-日 (1)当a=1时，求曲线y=f八x)在1，f1)》处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 柳州市2025届高三第一次模拟考试数学第3页（共4页） 8.(17分)在平面直角坐标系0y中，P为直线y=2上一动点，椭网E子+若=1u>b>可 的左右顶点分别为M-2,0,N(2,0),上、下顶点分别为T0,1),S0,-1).若直线PT交E于 另一点A,直线PS交E于另一点B. (1)求证：直线AB过定点，并求出定点坐标： (2)求四边形ASBT面积的最大值， 19.(17分)某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A和B两个套餐服务，并在购 物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售 优惠券的情况（单位：千张）的折线图： 2.80 % 220 20 10 10 日丽（天数） (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明： (2)假设每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为号，其中A包含一张优惠 券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为P。, 求Pm; (3)记(2)中所得概率P,的值构成数列{Pm∈N),求数列{P}的最值. 参考数据： 2=1617.20y=6835.9-f=072.7-2646 24-议-列 参考公式：相关系数r 24-2-列 柳州市2025届高三第一次模拟考试数学第4页（共4页）柳州市 2025 届数学高三第一次模拟考试 参考答案 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．） 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分. 9. BD 10. ACD 11. BCD 9 10 11 选 1个 （B或 D） 选 2个 （BD) 选 1 个 （A或C 或 D） 选 2个 （AC 或 CD 或 AD） 选 3个 （ACD) 选 1 个 （B或C 或 D） 选 2个（BC 或 CD 或 BD) 选 3 个 （BCD） 3分 6 分 2分 4分 6分 2分 4分 6分 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分．） 12．6 13．70 14． 70 14 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13 分）(1) ; (2) 解：（1）由 2cossin3  AA 得， 1cos 2 1sin 2 3  AA ，即 ,1) 6 sin(  A 由于 ) 6 5, 6 ( 6 ),0(   AA , 3 2 26   AA (2) 由题设条件和正弦定理 BBCCBBcCb cossinsin2sinsin22sinsin2  又 ),0(, CB ,则 ,0sinsin CB 进而 2 2cos B ，得到 4  B 于是 12   BAC 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B C A D C D 3 622  3 2 A 4 26sincoscossin)sin(sin  BABABAC 由正弦定理得 12 sin 4 sin 3 2sin 2 sinsinsin  cb C c B b A a  解得 3 62, 3 62  cb 故△ ABC的周长为 3 622  16.（15 分）(1)证明见解析；(2) 解：（1） PO  平面 ,ABC BA BC ，故以 B为坐标原点，BA  为 x轴正方向，BC  为 y轴正 方向，与OP  同向的方向为 z轴正方向建立空间直角坐标系. 设 OP x ，故 ， ， ， . 2 2 0, 2 2 0AD BO AD BP              . 故 ,AD BO AD BP  ， , ,BP BO B BP BO   平面 BOP， AD 平面 BOP （2）圆锥 PO的侧面积 2π 8π, 4S PA PA     ， 2 24 32 2OP x     ， （3）由（1）可知， 为平面BOP的法向量， 设平面 ABP的法向量为  , ,m a b c ，而 ， ， 故 2 0 3 2 03 m BA a m BP a b c             ，令 1c   得  0,2, 1m   ， 则 所以二面角O BP A  的正弦值为 .    0,0,0 , 2,0,0B A     2 31, 3,0 , 1, 3, , 0, ,03O P x D        2 32, ,0 3 AD             1, 3,0 , 1, 3,BO BP x   2 32, ,0 3 AD           2,0,0BA    31, 3, 2BP  2 5 5 2 5 5       2 2 22 2 2 2 32 0 2 0 1 53cos< , 52 32 0 0 2 1 3 m ADm AD m AD                           17.（15 分）解：（1）当 1a 时，则 1ln)(  xxxf ， x xf 11)(  可得 0)1(,0)1(  ff ，即切点坐标为 )0,1( ，切线斜率为 0k 所以切线方程为 0y （1） )(xf 定义域为 ),0(  ，且 x axf 1)(  若 0a ，则 0)(  xf 对任意 ),0( x 恒成立. 所以 )(xf 在 ),0(  上单调递减，无极值，不合题意 若 0a ，令 0)(  xf ，解得 a x 1 ，令 0)(  xf ，解得 a x 1 可知 )(xf 在 )1,0( a 上单调递减， ),1(  a 上单调递增 则 )(xf 有极小值 a a a f 1ln1)1(  ，无极大值 由题意可得： ,0 1ln1)1(  a a a f 即 0 1ln1  a a 令 )0( 1ln1)(  a a aag 011)( 2  aa ag )(ag 在 ),0(  上单调递增 又 1)1( g ，不等式 0 1ln1  a a 等价于 )1()( gag  ，解得 1a 又 0a ， 综上 a的取值范围是 10  a . 18.（17 分）解：由题意知 1,2  ba ，椭圆 1 2 : 2 2  yxE 设 )2,(tP ， (1).当 0t 时，设直线 11:  x t yPA ，代人 22 22  yx 得 042 22 2   x t x t t ， 2 4 2    t txA ，从而 ,2 2 2 2    t tyA 点 )2 2, 2 4( 2 2 2     t t t tA 设直线 13:  x t yPB 代人 22 22  yx 得 18 1201218 2 2 2 2    t txx t x t t B ,从而 18 18 2 2    t tyB ，点 )18 18, 18 12( 2 2 2     t t t tB 由对称性知，定点在 y轴上，设为 ),0( mG 由 BGAG kk  ，即 18 12 18 18 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2           t t t tm t t t tm ，化简得 2 1122)244( 22  mttm 所以直线 AB过定点 ) 2 1,0( 当 0t 时，直线 AB也恒过定点 ) 2 1,0( . 综上，直线 AB也恒过定点 ) 2 1,0( . （2）可知四边形的面积为 |2036| |6| 16 | 3620 6|16 | 18 12 2 4||| |||| 2 1 2 2 24 3 22            t t t t tt tt t t t txx xxSTS BA BA |8)6(| |6| 16 2    t t t t 令 62|6|  t tm ，当且仅当 6t 时等号成立 m mm mS 8 16 8 16 2     而 x xy 8 在 ),22(  上单调递增，而 62m ，从而当 62m 时，四边形 ASBT 面 积有最大值 6 8)62( 6216 2    S . 19.（17 分）解：由折线图中数据和附注中参考数据得 ,28)(,4 27 1   i i ttt 72.0)( 7 1 2  i i yy 67.317.16435.68))(( 7 1 7 1 7 1    i ii i i i ii ytytyytt 因为 y与 t的相关系数近似为 0.9632，说明 y与 t的相关程度相当高，从而可以用线性回归 模型拟合 y与 t的关系。 （2）依题意得， )3( 3 2 3 1 21   nPPP nnn ，其中 9 7 3 2 3 1 3 1, 3 1 21  PP , 则 )3)(( 3 2 211   nPPPP nnnn }{ 1 nn PP 是以首项为 9 4 12  PP ,公比为 3 2  的等比数列 故 )2() 3 2( 9 4 2 1    nPP n nn 成立 则有 12321 PPPPPP nnnn    ) 3 2(1 ) 3 2(1 9 4 ]) 3 2() 3 2() 3 2() 3 2[( 9 4 1 220       n n 1) 3 2( 15 4 15 4  n 1 1 )3 2( 15 4 15 4  nn PP ，又 3 1 1 P nn nP )3 2( 5 2 5 3) 3 2( 15 4 15 4 3 1 1   （3）当 n为偶数时， n nP )3 2( 5 2 5 3  ， 单调递减，最大值为 5 3,, 9 7 2  nPnP 当 n为奇数时， n nP )3 2( 5 2 5 3  ，单调递增，最小值为 5 3,, 3 1 1  nPnP 所以数列 }{ nP 的最大值为 9 7 ，最小值为 3 1 . 9632.0 646.2272.0 67.3   r