精品解析：贵州省部分学校2024-2025学年高三上学期11月联考数学试卷

高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，且，则（ ） A. 9 B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（ ） A. 210种 B. 420种 C. 240种 D. 480种 7. 已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2019~2023年快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2019~2023年快递业务量逐年上升 B. 2019~2023年快递业务量的极差为685.5亿件 C. 2019~2023年快递业务量的增长速度的分位数为 D. 2019~2023年快递业务量的增长速度的平均数为 10. 已知函数的极小值点为1，且的极小值为，则（ ） A. B. C. 有3个零点 D. 直线与的图象有2个公共点 11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为 C. 正四棱锥的外接球的表面积为 D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则____. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为____. 14. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 16. 2024届中国国际大学生创新大赛总决赛现场赛在上海交通大学举行. 在本次大赛中，我省高校共斩获14金10银50铜，奖牌总数74枚，金牌数和获奖总数均创我省历史新高，位居全国前列. 已知 A校有甲、乙两个项目，校有丙、丁两个项目参加这一届大学生创新大赛，且甲、乙、丙、丁项目获奖的概率分别. （1）在A校有项目获奖的情况下，求甲项目获奖的概率； （2）设这两个学校中有项目获奖的学校的个数为，求的分布列及数学期望. 17. 已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）求不等式的解集. 19. 已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”． （1）若，判断数列是否为“封闭数列”； （2）已知递增数列为“封闭数列”，求； （3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，且，则（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可求的值. 【详解】由. 故选：A 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，再根据交集、并集的运算法则可判断结果. 【详解】由可得，所以，. 故选：D 3. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆焦点三角形的周长为确定的值，在根据离心率的概念求椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆：，所以. 又根据椭圆的定义可知：得周长为：，由. 所以椭圆的离心率为：. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数及复数相等求出即开. 【详解】详由题意得. 设，则， 得，，即，，所以. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式，余弦公式化简，再利用商数关系弦化切，即可求解. 【详解】因为，所以， 同时除以，得，即， 故选：C. 6. 将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（ ） A. 210种 B. 420种 C. 240种 D. 480种 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定甲乙两人分得的邮票数，然后由组合知识求解． 【详解】依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等且丙至少2张，意味着甲、乙两人都分得2张邮票， 所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有种. 故选：A． 7. 已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】作出几何图形，结合抛物线定义列式计算即得. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，， 由，得，则， 因此，所以. 故选：B 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可. 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2019~2023年快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2019~2023年快递业务量逐年上升 B. 2019~2023年快递业务量的极差为685.5亿件 C. 2019~2023年快递业务量的增长速度的分位数为 D. 2019~2023年快递业务量的增长速度的平均数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像和百分位数的计算公式依次判断每个选项即可. 【详解】对A：由图可知：2019~2023年快递业务量逐年上升，故A正确； 对B：2019~2023年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确； 对C：因为，所以2019~2023年快递业务量的增长速度的分位数为，故C错误； 对D：由，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的极小值点为1，且的极小值为，则（ ） A. B. C. 有3个零点 D. 直线与的图象有2个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】运用导数值为0来计算判定A,B，借助导数研究函数单调性，极值，结合图像可判定C,D. 【详解】由函数的极小值点为1，得，则，得，A正确. 又且的极小值为，则，得，B错误. 或， 在，上单调递增，在上单调递减，则的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，直线与的图像仅有1个公共点，C正确，D错误. 故选：AC. 11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为 C. 正四棱锥的外接球的表面积为 D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断A；根据二面角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断B；利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可判断C；根据直线与平面所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断D. 【详解】取CD的中点，设为正方形ABCD的中心，连接OE，PE，则. 因为，所以异面直线PC与AB所成的角即，则. 设，则，，，则， 所以正四棱锥体积为，解得，所以，A正确. 易证，则为二面角的平面角， 所以，B正确. 设正四棱锥的外接球的球心为，且， 由，得，解得， 所以正四棱锥的外接球的表面积为，C错误. 因为，所以直线BC与平面PCD所成的角即直线OE与平面PCD所成的角. 过点作，垂足为.易证平面PCD， 则为直线BC与平面PCD所成的角，则，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求函数值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，. 又， 所以. 故答案为： 13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为____. 【答案】3 【解析】 【分析】先初步确定的解析式，根据确定满足的条件，得到的最小值. 【详解】因为. 又因为的图象关于点对称，所以， 即，所以，，且. 所以的最小值为：3 故答案为：3 14. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得. 【详解】由题可知. 由可得： ， 则， 解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图，连接,由于，分别是，的中点. 则,则四边形为平行四边形， ,平面,平面, 则平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接,由于，分别是，的中点.则,得到四边形为平行四边形,再用平行四边形性质得到线线平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标，计算平面的法向量，以及，然后利用公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，可建空间直角坐标系，则 , , 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. 根据点面距离公式，则点到平面的距离. 【点睛】 16. 2024届中国国际大学生创新大赛总决赛现场赛在上海交通大学举行. 在本次大赛中，我省高校共斩获14金10银50铜，奖牌总数74枚，金牌数和获奖总数均创我省历史新高，位居全国前列. 已知 A校有甲、乙两个项目，校有丙、丁两个项目参加这一届大学生创新大赛，且甲、乙、丙、丁项目获奖的概率分别. （1）在A校有项目获奖的情况下，求甲项目获奖的概率； （2）设这两个学校中有项目获奖的学校的个数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 .【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求值. （2）根据离散型随机变量的分布列的求法列出分布列，并求期望. 【小问1详解】 设事件为A校有项目获奖，事件为甲项目获奖， 在A校有项目获奖的情况下，甲项目获奖的概率为： . 【小问2详解】 可知：的值可以为：0,1,2 且， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 17. 已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用双曲线与圆相切以及渐近线方程即可得结果； （2）设直线方程，联立双曲线方程利用韦达定理以及，再由弦长公式计算可得. 【小问1详解】 根据题意可得，即； 所以双曲线的标准方程为 【小问2详解】 如下图所示： 易知双曲线右焦点的坐标为， 设直线，代入，得， 整理得 设.则 由， 所以，即可得， 解得 此时. 所以， 因此 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据导数的几何意义求解； （2）问题转化为求的最大值，通过导数判断的单调性即可求出的最大值； （3）先证明关于对称，再根据函数的单调性及对称性的关系脱去，最后根据三角函数相关知识解三角函数的不等式. 【小问1详解】 ， 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 设的导数为，则， 则为增函数， 因为，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，， 所以在上的最大值为， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 所以的图象关于直线对称， 所以等价于， 即， 所以，即， 即， 则，得或， 则或，其中， 故不等式的解集为. 【点睛】思路点睛：本题第三问考查含有函数符号的不等式的解法，对于含有函数符号的不等式的解法，不论函数是什么类型（抽象，具体，分段），都需要研究函数的单调性，利用函数的单调性脱去函数符号，在研究函数单调性的同时，还需要注意函数是否具有对称性，如果函数具有对称性，则脱去函数符号的时候要注意对称性和单调性的关系. 19. 已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”． （1）若，判断数列是否为“封闭数列”； （2）已知递增数列为“封闭数列”，求； （3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列． 【答案】（1）不是“封闭数列”，理由如下： 由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10． 因为和均不是中的项， 所以数列不是“封闭数列”． （2） （3）证明：因为数列单调递增，所以，则不是中的项， 所以是中的项，即． 因为不是中的项，所以是中的项， 所以． 因为共有项， 所以①， 类似地，，则不是中的项， 所以是中的项， ， 所以②， 由①和②得， 所以是首项为1的等比数列． 【解析】 【分析】（1）举出反例，得到数列不是“封闭数列”． （2）数列递增，由求出，通过分析得到都是中的项，所以，得，由，得，所以； （3）数列单调递增，所以是中的项，即，且是中的项，推出，根据上式的项数得到，同理得到，两式结合得到，证明出结论. 【小问1详解】 数列不是“封闭数列”,理由略； 【小问2详解】 由题意数列递增可知，则不是中的项， 所以是中的项，即． 因为，所以都是中的项， 所以，得， 由，得，所以． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $