精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ） A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 3. 若复数，，则（ ） A. B. 1 C. D. i 4. 在平行四边形ABCD中， 是BC的中点， 在DE上，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间 （单位：h）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，那么要消除的污染物，至少需要的时间是（ ）h.（参考数据：） A. 45 B. 76 C. 109 D. 118 8. 已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在 （单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度 （单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 小球在内经过的路程为10cm D. 时，小球正在向上运动 10. 在等腰梯形 中，，，，点是梯形 内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 当时，的最小值为 C. 若，则的面积为定值 D. 若，则的最小值为 11. 已知由实数构成的数列满足，则以下说法正确的是（ ） A. 存在且，使 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则数列的最大项为 D. 若，设，的前项和为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等比数列的公比，其前项和为，且，则______. 13. 已知，，，，则的值为______.（用弧度制表示） 14. 已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列是递增的等比数列，其公比为，且中的项均是中的项，，当取最小值时，若，请用表示. 16. 在中，角 ， ，所对的边长分别为， ， ，BC的中点为，记的面积为 ，已知，. （1）若，求以及线段AD的长度； （2）若是锐角三角形，求 的取值范围. 17. 已知抛物线的焦点为 ，过 作倾斜角为的动直线交 于A，B两点.当时，. （1）求抛物线 的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（ 为坐标原点）； （3）点，直线AM与 交于另一点，直线BM与 交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 18. 已知函数. （1）求证：； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若直线是曲线在点处的切线，求证：当时，除点 外，直线与曲线有唯一公共点，且. 19. 设，，…，和，，…，是两个项数为 的非负整数数列，定义，. （1）对于数列 ：1，2，3，10，11，12和 ：4，5，6，7，8，9，求的值； （2）设，…，均为项数为3且每项为0或1的数列，且对于任意，都有，求的最大值； （3）若，数列 ， 严格递增且每项不大于755，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 2. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ） A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论. 【详解】由正态密度函数的对称性，数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同， 所以. 故选；B. 3. 若复数，，则（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘方、复数的除法、加减法运算化简即可得答案. 【详解】因为复数，， 所以. 故选：C. 4. 在平行四边形ABCD中， 是BC的中点， 在DE上，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线定理可设，再由已知条件计算可得结果. 【详解】依题意可设， 则， 又，即， 可知. 故选：D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果. 【详解】由得， 即， 当且仅当，取到等号， 故选：C. 6. 重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型，根据乘法计数原理确定基本事件的总数，再根据排列数的应用确定符合的事件总数，从而可得概率. 【详解】由题意知：三人从5个景点中各自随机选择3个景点游玩，总的有种选法， 所选景点全部不同有种，所以他们三人所选景点全部不同的概率是. 故选：B. 7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间 （单位：h）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，那么要消除的污染物，至少需要的时间是（ ）h.（参考数据：） A. 45 B. 76 C. 109 D. 118 【答案】C 【解析】 【分析】代入数据，根据指对互化，即可求解. 【详解】设要消除的污染物，至少需要的时间 小时， 由题意得，， 故选：C. 8. 已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质可求出，对求导，根据极值的定义求出的极小值， 要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数， 所以其定义域关于原点对称，易知，所以， 即有，得到， 所以， 函数定义域为，得到，所以， 故， 此时有， 即，满足题意，所以， 定义域为， 当时，， 函数，在上单调递增， 函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，， ， 由，得到 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 当时，， 结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图， 又在区间上有最小值，所以，解得， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于先求出的解析式，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在 （单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度 （单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 小球在内经过的路程为10cm D. 时，小球正在向上运动 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由函数周期可得，由时，小球位于最高点，可得，再由条件可得，然后结合正弦型函数的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意，，，， 当时，小球位于最高点，则，，，故A，B正确； 对于C，由题意，当，小球经过一个周期，则其路程为，故C错误； 对于D，当时，由周期性，等价于， 此时， 由正弦函数的图像可知，图像自下而上穿过 轴，小球正在向上运动，故D正确， 故选：ABD. 10. 在等腰梯形 中，，，，点是梯形 内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 当时，的最小值为 C. 若，则的面积为定值 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接、，推导出四边形、都是边长为 的菱形，且，利用平面向量的线性运算可判断A选项；推导出点在直线 上，结合可判断B选项；推导出，可得出，可判断C选项；计算出，分析可知，点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆位于梯形 内部的圆弧（圆心角为的扇形弧），利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A，取 的中点 ，连接、， 因为，， 为 的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 同理可证四边形为平行四边形， 由，得， 所以， 又因为，则，，故A正确； 对于B，当时，， 点在 上， 由A选项可知，四边形、都为平行四边形， 所以，，且，即平行四边形为菱形， 同理可知平行四边形是边长为 的菱形，则是边长为 的等边三角形， 则， 因为四边形为菱形，则，所以，，即， 所以，点 到直线 的距离为 ，此时点与点重合，故取不到最小值 ，故B错误； 对于C，若，则， 所以，，则，所以，点在上， 由于，则点到直线的距离等于点 到直线的距离， 则，故C正确； 对于D，由平面向量数量积的定义可得， 因为， 则，则， 所以点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆位于梯形 内部的圆弧（圆心角为的扇形弧）， 在中，，，， 则， 所以，，故D错误， 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 11. 已知由实数构成的数列满足，则以下说法正确的是（ ） A. 存在且，使 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则数列的最大项为 D. 若，设，的前项和为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由无解，得到A错误；B选项，由得到，作差法得到，B正确；C选项，由得到，在B选项基础上得到当时，，故C正确；D选项，变形得到，取对数变形得到，故数列是等比数列，利用等比数列求和公式得到. 【详解】对于A，假设存在且，，则， 即，该方程无实根，故A错误； 对于B，假设，则，又， 则对于，，那么， 数列是递增数列，B正确； 对于C，若，则， 由二次函数的性质可知，，由B选项的分析可知，当时，， 故数列的最大项为，C正确； 对于D，由得， 因为，所以， ， ，即， 又因为， 所以数列是以-1为首项，为公比的等比数列， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等比数列的公比，其前项和为，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得：，， . 故答案为：. 13. 已知，，，，则的值为______.（用弧度制表示） 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角的余弦定理，三角函数的基本关系和，可求出，，再由，代入化简即可得出答案. 【详解】，， 又，，所以， ，，， 又，，， ， 结合可知：. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性推导出是周期为 的周期函数，再求出，，，，利用周期性及等差数列求和公式计算可得. 【详解】是偶函数， ，即， 从而，又是奇函数， 则， ，进而， 所以是周期为 的周期函数. 由当时，，得，， ，，， 即，，，， . 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列是递增的等比数列，其公比为，且中的项均是中的项，，当取最小值时，若，请用表示. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取，则，由等差数列的通项公式和前项和公式可得，解方程求出，即可求出的通项公式； （2）先求出的通项公式，由，即可求出答案. 【小问1详解】 取，则， 由，得， 即， 解得，，. 【小问2详解】 由且是递增的等比数列，得， 故（且）， 由于数列是递增数列，则当取最小值时，，即， ， 若，则，所以. 16. 在中，角 ， ，所对的边长分别为， ， ，BC的中点为，记的面积为 ，已知，. （1）若，求以及线段AD的长度； （2）若是锐角三角形，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再根据两角差的余弦及三角形内角公式化简可得，向量的运算可求得； （2）利用正弦定理边角互化，再由三角形面积公式可求得，由锐角三角形可求解取值范围，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，， 又，，， ， ， . 【小问2详解】 ，， ， 是锐角三角形， ， ，， . 17. 已知抛物线的焦点为 ，过 作倾斜角为的动直线交 于A，B两点.当时，. （1）求抛物线 的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（ 为坐标原点）； （3）点，直线AM与 交于另一点，直线BM与 交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， 则， . （3）证明：设，， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， ，同理，， ， 由（2）知，则， . 【解析】 【分析】（1）设直线，，，联立直线与抛物线的方程，由抛物线的性质可得弦长的值，由此可得的值，进而求出抛物线的方程. （2）由（1）可知，，将韦达定理代入，可得出答案. （3）设直线AC的方程：，直线BD的方程：，分别与抛物线联立求出，，由（2）求出，则，再由三角形的面积公式表示出与的面积之比，即可得出答案. 【小问1详解】 根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，代入抛物线方程得：， ，，， ， 当时，，， ，抛物线 的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18. 已知函数. （1）求证：； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若直线是曲线在点处的切线，求证：当时，除点 外，直线与曲线有唯一公共点，且. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值即可证得不等式； （2）由（1）知，则令，得，结合基本不等式及函数性质即可得实数的取值范围；； （3）根据导数的几何意义可得在点处的切线方程：， 将问题转化为当时，方程除外，还有另一根，且，，利用导数研究函数零点分析证明. 【小问1详解】 证明：， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以，即. 【小问2详解】 因为对任意，不等式恒成立， 故令，则； 当时，因为，且， 所以， 所以原不等式成立， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 证明：， 所以在点处的切线方程：， 即，与联立得：， 即证：当时，方程除外， 还有另一根，且， 设，则， 又，， 设，则， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以， ，， 又，所以存在唯一实数，使， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以当时，， 又， 所以存在唯一实数，使， 即：当时，方程除外， 有唯一根，且，故结论成立. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围. （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解. 19. 设，，…，和，，…，是两个项数为 的非负整数数列，定义，. （1）对于数列 ：1，2，3，10，11，12和 ：4，5，6，7，8，9，求的值； （2）设，…，均为项数为3且每项为0或1的数列，且对于任意，都有，求的最大值； （3）若，数列 ， 严格递增且每项不大于755，求的最大值. 【答案】（1）18 （2）4 （3）21514 【解析】 【分析】（1）根据题设公式的定义及已知求结果； （2）研究，结合题设数列，，…，中必有两个数列前两项相同，假设为，，则或得到矛盾，再写出满足要求数列，即可得结果； （3）由题意有，，设，，讨论或、且，应用平均值原理得到，设，则，，，进一步得且，即可求最大值，注意确定取值前提. 【小问1详解】 根据题设中的定义及已知数列，可得； 【小问2详解】 若，则数列，，…，中必有两个数列前两项相同（因每项为0或1，前两项至多有种组合）； 不妨设二者为，，则必有（两数列的第三项也相同）或（两数列的第三项相异），故，不合题意； 当时，如：0，0，0；：0，1，1；：1，1，0；：1，0，1满足题意，故的最大值为4. 【小问3详解】 记，，显然，， 设，，则， 若或，则有. 不妨设且， 由平均值原理，使，，且，（其中，为集合，的元素个数）， 不妨设，则，， ，且， 故 ， 上式取等时，构造：，有，， 事实上，取 为0，1，…，30，725，726，…，755；B为347，348，…，408， 则有满足题意，为所求最大值. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用平均值原理得到，设进一步得出且为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $