江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷

镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测 数学试卷 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A={1,2,3,4},B={x10g2(x-1)≤2}，则A∩B的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】B={x|1<x≤5}，A∩B={2,3,4}共3个元素，选C. 2.设复数：=-- 则z的虚部是 1+i A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】B 【解折1：=二0-2-1，虚部为-1，选B 1+i22 3. 等比数列{an}的各项均为正数，若a+a2+a3=7,a4=a3+2a2,则a,+ag+a,= A.588 B.448 C.896 D.224 【答案】B 【解析】a4=a3+2a2,.q=q+2,.9=2或-1（舍） a,+a3+a,=(a1+a2+a3)g°=7×26=448，选B 4.已知向量 =22,五=(1，-1)，a+b=2W5,则向量a在b上的投影狗量为 -(别 B.(-2,2) C.(2,-2) (分 【答案】D 【解折】6+=a+2a6+6=8+2a.6+2=12,六a:6=1 a在b上的投影向量 选D 5.已知aeR,函数f()= e-a,x≤0， ,在R上没有零点，则实数a的取值范围 -In(x+1)-a,x>0 A.(0,+∞) B.(1,+∞) c.[l,+o)U{0}D.(1,+∞)U{0} 【答案】D 【解析】x≤0时，e=a无解，∴.a≤0或a>1;x>0时，ln(x+l)=-a无解，∴.a≥0 则a∈(1，+o)U{0},选D. 6.已知8为第-象限角，且tan +写引+tam0=0,则 +cos20 -cos20 A.9 B.3 D -9 【答案】C 911 【解析】 tan ,选C 1+ 7.设无穷等差数列{an}的公差为d,其前n项和为Sn若a,<0,则“Sn有最小值”是“d≥0” 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“Sn有最小值”台“d>0”,∴.“Sn有最小值”是“d≥0”的充分不必要条件， 选A. 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若BC=2BC.AB,则cosA的最 小值为 5 1 √2 A. B. 2 C. 2 2 3 【答案】A 【解折】BC2=2BC.AB,a2=-2BC,ABcos B, d=-2ac+c2-b=-g-c2+B,2a2=2-c 2ac CosA=. +c2-a24 3 选A 2bc 2bc 2bc 2bc 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=cosx·Sinx,则 A·f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为π ·f9)的最大值为 D.f)在 上单调递增 【答案】AC 【解析】f(x)为偶函数，A对. f(x+π)=cos(x+π)in(x+π)=-cosx sinx=-f(),∴.f(x)为奇函数，B错 fax)≤sin.xcos=)5in2xs),c2对 xe0,引e==n2x,在0引单增，[ 单调递减， D错 10.已知函数f(x)=(x-1)2(x-4)+4的导函数为∫'(x) A·f(x)只有两个零点 B.f'(4-x)=f'(x) C.x=1是f(x)的极小值点 D.当x20时，f(x)≥0恒成立 【答案】ABD 【解折】f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,x=1或3，f(x)在(-∞，1)单调递减，(1,3)单调递增， (3,+∞)单调递减，f(x)极大值=f(0)=4,f(x)极小值=f(3)=0，∴f(x)有且仅有两个零 点，A对 ∫'(x)关于x=2对称，B对 x=1是极大值点，C错 x20时，f(0)=0,f(x)≥0恒成立，D对 11.如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为4V3,其轴截面为△SAB,C为底面半圆弧AB 上一点，且AC=2CB,SM=SC,S=uSB(0<<1,0<4<1),则 A.存在L∈(0,1)，使得BC⊥AM B.当4= 2时，存在元∈0,1)，使得AM∥平面ONC C.当= A=时，四面体SAMN的体积为V3 2 D.当AN⊥SC时，4= 5 -7 【答案】BCD 【解析】BC⊥AC,则BC与AM不可能垂直，若BC⊥AM,则BC⊥面SAC, 则BC⊥SA,则BC⊥面SAB矛盾，A错 对于B,取SN中点P,则AP∥ON,过P作PM∥CN交SC于点M, 此时M为SC中点，则面APM∥平面ONC,∴.AM∥平面ONC,B对 对于D,如图建系，A(0,-2V3,0),B(0,2V3,0),S(0,0,6),N(0,2V34,6-64) AN=(0,2N5μ+2W5,6-6m),C(3,V5,0),SC=(3,V5,-6),AN.SC=0 6+6-36+361=0,4=号，D对 5 S 4-名时，SA-名S-时，M到平面SB的距离是C到鲆面SB距离的 3 3 3 3 anh=2an 1 VM-SAN 二h,其中H表示M到平面SAB的距离，h是C到平面 3 33 O△SMB 3 SAB距离，VM-SW= 2nh三。‘3 SASAB=e 27 9 =2x5x5x3x45x6=85 ,C对，选BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期某同学为了测量慈 寿塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D点的仰角为45°，再沿正对塔ED方向前进20米到 达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，则慈寿塔高约为 米.（√3≈1.7，答案保留整数) 【答案】31 【解折】如图，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠EBC=30°，AB=20 D 3 B 设BC=,则CE=5,DC=6,DC=4C,r=+20,X 20 5-1 DE=25-25 20 一X= ≈31 333-1 13.已知数列{an}是单调递增数列，其前n项和为Sn=An2+Bn（A,B为常数)，写出一 个有序数对(A,B)= -,使得数列{√Sn}是等差数列 【答案】(1,0) 【解析】A=1,B=0,√Sn=n为等差数列，即(A,B)可以是(1,0) 14.定义在R上的函数g(x)满足y=g(2x+1)-2是奇函数，则g(x)的对称中心为 :若a,=8中子+8++8可e),则骏列 {an}的通项公式为 【答案】an=4n+2 【解折】y=g(2x+1)-2关于(0,0)对称，则g(-2x+1)-2+g(2x+1)-2=0 ∴.g(1-2x)+g(1+2x)=4,则g(x)关于(1,2)对称，(（第一空) a=品+可a-8a(20}+） .2an=4+4+…+4=4(2n+1),则an=4n+2 共2+1个 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在锐角三角形△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,已知 cos A+3cos2A=-2 (1)求cosA的值； (2)若2b=3c,求sinC的值， 【解折】 (1)c0sA+3(2c0s2A-1)=-2,∴.6c0s2A+cosA-1=0,(2c0sA+1)3cosA-1=0 而△ABC为锐角三角形，c0sA>0,六C0sA=3 1 (2)2sin B=3sinC=2sin(A+C)=3sinC 42cosC-7sinc,.tanc=4 7,sinc=4 9 16.（15分)已知函数f(x)=1+x-x2,g(x)=e. (1)求证：直线y=x+1既是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线； (2)请在以下三个函数： @f)+g):Qg):©/四中选择个函数，记为y=h,使得该函数有最 8(x) 大值，并求(x)的最大值 【解析】 (1)设y=x+1与g(x)=e*切于P(x,eo),g'(x)=e",∴k=e ∴.切线方程为y=e(x-x)+e,令e=1→x=0 此时g(x)=e*在x=0处的切线方程为y=x+1,即y=x+1是g(x)的切线 联立 =1+x-xr=0宁x=0,f在x=0处的切线为y=x+1 y=x+1 ∴y=x+1也是f(x)的切线 (2)①中x→+0时，h(x)-→+0，h(x)显然无最大值 若选②，h(x)=(1+x-x2)e, h(x)=(1-2x+1+x-x2)e=(-x2-x+2)e*=-(x+2)(x-1)e, h(x)在(-0，-2)上单调递减；(-2,1)上单调递增，(1，+∞)上单调递减， x→-o时，h(x)<0且h(x)→0，h(I)=e,e>0,∴h(x)max=e 若t选0，hx)=1+X,h=-2xe-0+x-re_-3江 e e2x h(x)在(-o,0)上单调递增；(0,3)上单调递减；(3，+∞)上单调递增 x-→+oo时，h(x)<0且h(x)→0，h(0)=1,1>0,∴.h(x)mx=1. 17.(15分)已知n∈N”,数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn=2a,-1:数列{bn}满足b=2, 6=2- (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在实数入，使得数列 是等差数列？如果存在，求出实数入的值；如果不 bn-入 存在，请说明理由； (3)求使得不等式2nbn≥an成立的n的最大值 【解折】 (1）Sn=2an-1①，Sn1=2an1-1②， ②-①→a1=2at1-2an,.an1=2an,而a1=2a1-1,∴.a=1≠0 ∴{a,}成首项为1，公比为2的等比数列，∴an=2”- (2)假设存在，，1 -111 “6-16,-12--元bn-元(2-h,-16-刀 b2-bn-(2-2)bn+1_ 公：26，+为常数，小2-入0-0+1万 12 [(2-2)bn-(bn-2)[(2-2)b,-(bn-2) 解得入=1，∴存在1=1使 1 成等差数列，且公差为1. b,-1 (3)由(2)知， =1+0n-)1=n,∴b,=1+ -1 2+月2a+122*2费21 n+1 令c=27,1-6,= 兴兴兴0 61· 化，}在neN上单调递减，注到6，-子1， 8 ∴.n25时，Cn≤C3<1,.nmax=4。 18.(17分在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BCA=∠CDA=30°，PA⊥ 平面ABCD,E,F分别为PD,PC的中点，AB=1. (1)求证：平面PAC⊥平面AEF; (2)若PA=2,求点F到平面ACE的距离； (3)若二面角A-PD-C的余弦值为Y6 ,求PA. B 【解析】 (1)证明：PA⊥平面ABCD,.PA⊥CD,又：∠ACD=90°，∴.CD⊥AC PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又，E,F分别为PD,PC的中点 ∴.EF∥CD,∴.EF⊥平面PAC,,EFc平面AEF,∴.平面AEF⊥平面APC (2)如图建系 ,AB=1,∠BCA=∠CDA=30°，∠ABC=∠ACD=90°， ..AC=2,BC=3,AD=4,CD=23 ∴.A(0,2,0),C0,0,0),D(2W3,0,0),P(0,2,2),.E(V3,1,1),F(0,1,1) CA=(0,2,0),CE=(W3,l,1),设平面ACE的-个法向量n=(x,y,z)镇江市20242025学年度第一学期高三期中质量检测 数学试卷 2024.11 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效 3,考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A={1,2,3,4},B={x1og2(x-1)≤2}，则A∩B的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.设复数：=二子- ,则：的虚部是 1+i A.1 B.-1 c.i D.-i 3.等比数列{an}的各项均为正数，若a,+a2+a=7,a4=a3+2a2,则a,+a+a,= A.588 B.448 C.896 D.224 4.已知向量d=2V2,万=(1，-)，后+=25，则向量a在i上的投影向量为 A(别 B.(-2,2) C.(2,-2) 5.已知a∈R,函数f(x)= e-a,x≤0， 在R上没有零点，则实数a的取值范围 -In(x+1)-a,x>0 A.(0,+o) B.(1,+∞) c.[L,+o)U{0}D.(L,+∞)U0 6.已知0为第-象限角 且tan0+写引+an0=0,则to2 1-cos20 A.9 B.3 C·3 D. 7.设无穷等差数列{an}的公差为d,其前n项和为Sn若a,<0,则“S,有最小值“是"d20" 的 A.充分不必要条件B,必要不充分条件 C,充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若BC=2BC.AB,则cosA的最 小值为 1. C. 2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=cosx,sinx,则 A.(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为π C.fx)的最大值为， D.)在0上单调溢增 10.已知函数f(x)=(x-1)2(x-4)+4的导函数为f"(x) A,f(x)只有两个零点 B.f'(4-x)=f'(x) C.x=1是f(x)的极小值点 D.当x20时，f(x)≥0恒成立 11.如图，圆锥S0的底面直径和母线长均为4V3,其轴截面为△S4B,C为底面半圆弧AB 上-点，且4AC=2CB,SM=SC,S=4SB0<1<1,0<4<1),则 A.存在入∈(0，I),使得BC⊥AM B.当4=2时，存在元(O,),使得AM∥平面OC 3 c.当入-片-时，四面体S0N的体功 D.当AN⊥SC时，A=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期某同学为了测量慈 寿塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D点的仰角为45°，再沿正对塔ED方向前进20米到 达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，则慈寿塔高约为 米（√5≈1.7，答案保留整数） 13.已知数列{an}是单调递增数列，其前n项和为S.=An2+Bn（A,B为常数)，写出一 个有序数对(A,B)= 使得数列{√S,}是等差数列 14.定义在R上的函数g(x)满足y=g(2x+I)-2是奇函数，则g(x)的对称中心为 :若a=8)+8名)+8++8(naeN).则数列 {an}的通项公式为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在锐角三角形△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知 cos A+3cos2A=-2. (1)求cosA的值： (2)若2b=3c,求sinC的值 16.（15分)已知函数f(x)=1+x-x2,g(x)=e (1)求证：直线y=x+1既是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线； (2)请在以下三个函数： @f)+g):@xg):O/因中选择一个函数，记为y=h),使得该函数有最 g(x) 大值，并求h(x)的最大值 17.(15分)已知neN”,数列{an}前n项和为S。,且满足Sn=2an-1:数列{bn}满足b=2, (1)求数列{a}的通项公式； (2)是否存在实数入，使得数列 是等差数列？如果存在，求出实数1的值：如果不 b-A 存在，请说明理由： (3)求使得不等式2nb,≥a,成立的n的最大值 I8(I7分在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BCA=∠CDA=30°，PA⊥ 平面ABCD,E,F分别为PD,PC的中点，AB=1. (1)求证：平面PAC⊥平面AEF; (2)若PA=2,求点F到平面ACE的距离； (3)若二面角A-PD-C的余弦值为 4 ,求PA 19.(17分)已知函数f(x)=axInx-x (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x>1时，f(x)<-1,求a的取值范围； (3)设neN”,证明： a+轴