江西省上饶市余干县余干中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

余干中学2025届高三年级期中考试·数学试题 参考答案、提示及评分细则 1.A由题意可知一部-=一号一号所以=一号十号，所以的虚部为受故 选A 2A由题意知B={x2x2-9≤0}=「-32,321 2+2 又A=(-4,-3,-2,0,2,3,4},所以A∩B= {一2,0,2}，所以A∩B的元素个数为3，真子集的个数为23一1=7.故选A 3C因为a+3h-②0，所以a+320.所以台+时c之。6动+a+3动ab+1。+1)十 1 a a 号成立，所以名十的最小值为号故选C 4.A若cosx=1,又sinx十cos2x=1,所以sinx=0,所以“cosx=1”是“sin.x=0"的充分条件：若sin.x=0,又 sinx十cos2x=1,所以cosx=1或cosx=一1，所以“cosx=1”不是“sinx=0”的必要条件，所以“cosx=1" 是“sinx=0”的充分不必要条件.故选A. 5.D由题意，若A长宽EaaA长宽(a.受2），A长宽(2，号）…，所以（受）a=1,解得a=8则 A长宽(82,8)，故其面积为642dm.由上知：9张纸的面积是首项为642，公比为2的等比数列，所以 这9张纸的面积之和为 64w反(（1-)_5区dm.故选D 1- 6.B因为f(x)=(m一2)x是幂函数，所以m一2=1，解得m=3,又点(3,27)在函数f(x)=x”的图象上， 所以27=3，解得=3，所以f(x)=x3,易得函数f(x)在（一o∞，+∞）上单调递增，又ln3>lne=1=3 >3寸=号>号=lkg2>6g原，所以ac<五故选B .C由题意可得：fx)的最小正周期T-红又f(兮T）=f(号T),且之了-专T=合T<号工，所以x -= 是T为f(x)图象的一条对称轴，所以wX是T十g=名x十g=kx十受(k∈2》，解得g=m- 牙(k∈Z),又ge(-受，受)所以k=0,9=-晋，故f(x)=2sin(a-吾).当x∈(0，x)时.则or-哥 ∈（一音，am景)，若函数f八x)在区间(0，x)上恰有3个极值点，则受x<om一吾<号，解得长<w≤ 器故m的取值范周是（侣，号]，故选℃ 【高三年级期中考试·数学试题参考答案第1页（共6页）】 25-T-240C 8.Bx的定义城为(0，十o),r)=ax一2+上=a心一2+由，因为a,5是f)的两个极值点，所以 △=4-4a>0, a十=名>0，解得0<4<1，而+)+s=号af-2+十h有十号4-2+ln西+n 5=>0 =号[m+-2m]-2+)+n+=号[（层广-2]-是-na+日=-君-1- ha令Aa)=-是-1-lha,0<a<1,则ha)=}-是-号2>0恒成立，所以aa)在0,1D上单调递 增，所以h(a)<h(1)=-2,所以m≥-2.故选B. 9.BD设等差数列{au}的公差为d(d≠0)，又aa是a:与ao的等比中项，所以a=auao,即(a1十7d)2 a+3d)(a+9d),所以1F+ad=0,又d≠0，所以a1=-11d,又S=126,所以S=9a+9X8d 2 -99d+36d=-63d=126,解得d=-2,a1=22,所以an=a1+(n-1)d=22-2(n-1)=24-2m,所以a +a=18+10=28,故A正确：a,-a=2d=-4,故B错误：S,=22+号4=20=-㎡+231，令S>0,解 2 得0<<23，所以当S>0时，n的最大值为22，故C正确：因为Sw=一2十23n,所以当S.取得最大值时，n 的值为11或12，故D错误.故选BD. 10.BCD由正弦定理得a2+6>2,所以cosC=0+C>0,所以C为锐角，但不能断定△ABC是否为锐 2ab 角三角形，故A错误：在锐角△ABC中，由A+C>受，可得A>交一C,且A,乏一CE(0,乏)，由函数y= sinx在x∈(0，受)上单调递增，得simA>sin(受-C）.即sinA>cosC,故B正确：a=cosB干cosC,由 bc 正孩定理得血A-部计名所以in Aos B+血AasC一n(A十C)十血A+B)=血AmsC叶 cos Asin C+sin Acos B+cos Asin B,得cosA(sinC+sinB)=0,因为0B<r,0<C<π，所以sinB>0, sinC>0,所以cosA=0,因为0<A<x,所以A=乏，△ABC为直角三角形，故C正确：0<A<,一<-B <0,一π<A一B<π，故-1<cos(A一B)≤1，同理可得-1<cos(B-C)≤1，-1<cos(C-A)≤1，要使 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则需cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A-B=0, B一C=0,C-A=0,所以A=B=C,△ABC是等边三角形.故D正确.故选BCD. 1l.ABC因为x十y十sinx十siny>0,所以x十sinx>-y-siny,即x十sinx>-y+sin(一y),令f(x)=x 十sinx,则f(x)>f(一y),又f(x)=1十cosx≥0，所以f(.x)在(-∞，十∞)上单调递增，所以x> -y,即x+y>0,所以ln(x+y+1)>ln1=0.故A正确：设h(x)=2e-(x+1)2-1(x>0),所以 h'(x)=2e-2(x十1)，令(x)=h'(x),所以9'(x)=2e一2>0，所以9(x)在(0，十o∞)上单调递增， 即h'(x)在(0，十∞)上单调递增，所以h'(x)>h'(0)=0,所以h(x)在(0，十∞)上单调递增，又x十y> 0,所以h(x+y)>h(0)=0,即2cy>(x十y十1)+1，故B正确：令u(x)=x2-c,所以u'(x)=2x e,令g(x)=(x),所以g(x)=2-e,令g(x)=2-e=0,解得x=ln2,当x∈(-∞，n2)时， 【高三年级期中考试·数学试题参考答案第2页（共6页）】 25-T-240C g(r)>0,函数g(x)单调递增，当x∈(ln2,十o)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，所以g(x)≤ g(ln2)=2n2-2<0,即(x)<0,所以u(x)在(-o∞，十o∞)上单调递减，又x>-y,所以u(x)< u(-y),即x2-e<(-y)2-e,即e-e>(x十y)(x-y),故C正确：因为cosx-cosy> (y-x)(y+x),+cos x>y2+cos y,t(x)=x2+cos x,(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+ cosx=1(x),所以t(x)=x2十cosx为偶函数，所以1(x)>1(y),即为1(x)>t(一y).又1'(x)=2x一 sinx,令m(x)=2.x一sinx,则m'(x)=2一osx>0,所以m(x)单调递增，又m(0)=0,所以当x∈ (一c∞，0)时，m(x)<0,t'(x)<0,函数t(x)单调递减；当x∈(0，+o∞)时，m(x)>0,t'(x)>0,函数 1(x)单调递增，当-y<x<0时，t(一y)>t(x),故D错误.故选ABC. 12(兮-号）因为aLc,a=(一2,6》，c=m1,所以a。=-2m+6=0,解得m=3,所以6品·b 一号=（兮，一号），即向量c在向量b上的投影向量的坐标为（兮，一号） 181,6)(2分)青3分)因为子6<0.所以[]-6)<0，解得0<[]<6，又函数y=[]称为高 斯函数，表示不超过x的最大整数，所以1<6，即不等式子。<0的解集为1,6.当0<<1时，[因 此时+9=0当时L1此时x+91+9,] 1 号，当且仅当 3时等号成立综上可得，当>0时月g的最大值为行 14.号因为sima+cosg=号，ose十sinB=了，所以(sina叶osg)=ima十osB计2 sin月=合 2 (cosa十sin9)2=cosa十simB+2 es asin=号，相加得sira十sinp+cos2a十cos3+2 2sin acos+ 2 os sin-号，即2+2sin(a+)=号，所以sn(a+B)=一是相减得sira十cos日-cosa-snp计 2sin acos B-2cos asin B=2(sin'a-sin B)+2(sin acos B-cos asin B)=2 (sin'a-sinB)+2sin (a-B)= 号又m。+mB=sin(4)+m(生-)=2smas气2，m。-sim8 sm(生4)-sm(生_2)=2 cossin22,所以sima-ira=(2sn9os2) (2as只n)=sna-9m(e+B,所以sira-rg=一是n(a,所以sin(a-g》=言 （sina-simB)=言十景n(a一B》,解得sn(a一9)=是. 15解：)=名m2x一5.1Hg2+号=如2ros2z=n(2:-晋） 2 …2分 令登+2kx<2x-吾<经+2xke2,则8+<r<岂+kx(e 所以函数f(x)的单调递减区间为[登+x步+](k∈Z, …4分 令2红吾=km,则x=吾+经，k∈乙. 【高三年级期中考试·数学试题参考答案第3页（共6页）】 25-T-240C 所以函数)的对称中心为（倍+经，0），k∈2… 2 …6分 (2)将函数f(x)的图象向左平移g个单位长度，得到g(r)=si(2x+24-吾)的图象， …8分 因为g)的图象关于直线x=吾对称，所以29=受十红，即g一开+复A∈乙， 又0<g<乏，所以9-于.所以g(x)=sim(2.x+否) 10分 因为x[受]所以2x+吾∈[，]， 所以g(x)的值域为[-1,2] 13分 16.解：(1)在△ABC中，tanA=-tan(B+C)= tan B+tan C 1-tan Btan C' tan B++tan C=-tan A(1-tan Btan C)=tan Atan Btan C-tan A, 又tanA十tanB+tanC=√3 tan Btan C,所以tanA+tan Atan Btan C-tanA=√3 tan Btan C, 又tanB≠0，tanC≠0，所以tanA=3,…3分 又0<A<x,所以A= 3， …4分 所以B+C-等，所以smB+smC=sim(经-C)+sinC=Bsin(C+晋)-5， 解得m(C+音)-号 …6分 又0<C<,所以<C+吾<，所以C+吾-，或C+吾-，解得C-或C- …8分 （2因为S-s血A-3.3=2,所以宁c·号-3，解得=36-2,…】 0分 由余弦定理得d2=∥+e2-2co0sA=2+3-2X2X3c0s号=7，所以a=√7. 12分 由正弦定理得 in A sin Bsin C,即-V7 b 2 3 sn sin B sin C. 解得血B得血C-所以血nC是 9 27 15分 17.(1)证明：由题意知A正-AD+D正=AD+2DC-AD+2A店，A正=A花+B萨=A花+号BC=A正+AD, 又A护-AB+号AD.所以EP=AP-A正-A+号AD-(AD+2AB)=AB-号AD, 币=A萨-A护=A+号A市-(AB+号AD)=A店-号Aò， 4分 所以E序=P币，所以E,F,P三点共线…。 …7分 (2)解：由题意知E=-A正=-号A成-Ad,E成=元+C成=号A成-A, 【高三年级期中考试·数学试题参考答案第4页（共6页）】 25-T-240C 所以Ei成=（-号A店-A)·(号A店-Aò)=-1A亦+A亦=-1A1+9=5,…9分 所以AB引=4.… …11分 所以E成.A亦=（号A店-A)·(A成+AD)=2A亦-。A成.心-}A亦=号×4华-片×3=5， 又-√(+号ò)-√+号亦.+号A市=m, =√(2Ai-AD)=√A序-AB·AD+A亦=3， 所以cs(,成=A.或 522I |AF1|EBI3X√17 221 15分 18(1)解：由题意得f(x)=2x-兰，又x)的图象在x=1处的切线方程为3x-y十h=0, 所以了(1)=2-号=3，… …2分 解得a=一1， …3分 所以f(x)=x2十lnx-1,所以f(1)=0,所以3十b=0,解得b=-3. …4分 (2)证明：若a=2,则fx)=r-2nx-1,所以f(x)=2-2=2C=1)+1D,令fr>0,解得> 1,令了(.x)<0,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以f(x)n=f(1)=0,所以f(x)≥0，当且仅当x=1时，等号成立；…6分 令g)=已己>0，所以g6)--《C-2,令gx>0,解得0<<2， (d)2 令g'(.x)<0,解得x>2,所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减， 所以g(x)x=g(2)=0,所以g(x)≤0，当且仅当x=2时，等号成立，…8分 所以>gx,卿fx)+是->0.… …9分 (3)解：由题意得f(x)的定义域为(0，+c∞)，f(x)=2x一 当a≤0时，f(.x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调递增， 又f(1)=0,所以f(x)有且仅有一个零点1： 11分 当0<a<2时，令∫(x)=0,解得x=√号<1，易知在(0√号)上，f(x)<0,fx)单调递减， 在（√号，+c∞）上f(x)>0,x)单调递增，又fW号)1)=0，f(e)=e>0, 所以f(x)在(0√号)上有一个零点，fx)在(W号，+∞)上有一个零点1， 所以fx在(0√受）.（√号+o）上各有-个零点：…13分 当a=2时，令子(x)=0,解得x=1,易知在(0,1)上，f(x)<0,f(x)单调递减， 在(1，十o∞)上，f(x)>0,f(x)单调递增，故f(x)的最小值为f(1)=0,故f(x)仅有一个零点：…14分 【高三年级期中考试·数学试题参考答案第5页（共6页）】 25-T-240C 当a>2时，令了(x)=0,解得x=√号>1，易知在(0√号)上(x)<0.)单调递减，且f)=0. 所以x)在(0√号)上有一个零点1，在（√号，+o)上，f(x)>0,f)单调递增， 又f(W号）<f1)=0,fe)=(e)-1-a2>(a+1)2-1-a=2a>0, 所以f)在（√号，十）上有一个零点， 故x)在(0√受)（受，+∞）上各有-个零点。 16分 综上，当a≤0或a=2时，f(x)仅有一个零点：当0<a<2或a>2时，f(x)有两个零点. …17分 19.(1)解：{an》是T数列.… …1分 理由：因为{aw}={-2,-1,0,1,2,3,…},所以T1=a1∈{an},T2=a1a2=2∈{am}, 当n≥3时，Tn=0∈{4w},所以{an》是T数列.…2分 (2)证明：假设{a.}是T数列，则对任意正整数n,T。总是{am}中的某一项， 即对任意正整数，存在正整数m满足：n！·2“Ψ=m·2”, 显然n=1时，存在m=1,满足n!·2=m·2, 4分 取n=2,得2×2=m·2,所以m≤4， 可以验证：当m=1,2,3,4时，2×23=m·2m都不成立，故{a。}不是T数列.…6分 (3)解：已知{an)是等比数列，其首项a1=5,公比g>0, 所以an=a1·-1=5g1(n∈N*), 所以Tw=a1ag…an=5g+2++w-》=5g, 由题意知对任意正整数n,总存在正整数m,使得T,=am, 即对任意正整数，总存在正整数m,使得5”g“→=5”， 即对任意正整数，总存在正整数，使得g→--=5， 44。。,。。t。。。。。444448 ①令nm,1D-(m-1)=-k1-n)(k∈N),得m∈Z,且m=-(2+m+k+1, 2 2 因为元-(2k+1Dm=(m-2生)°-(2生)'n∈N, 所以当n=k时，2一(2k+1)n取到最小值k2一(2k+1)k, 所以m=-(2+D+k+1≥尽-(2+Dk+k+1=二十+2≥1，所以≤1， 2 2 2 又k∈N”,所以k=1,所以q1-心=51，即q=5: ................................... 12分 ②令n,1D-(m-1D=k(1-)(k∈N),得m∈Z. 2 且m=+(2-1Dm+1-k≥1+(2-D+1-k=1,所以g=5t, 2 2 16分 综上9=5(k∈N)或号 …17分 【高三年级期中考试·数学试题参考答案第6页（共6页）】 25-T-240C余干中学2025届高三年级期中考试 数学试题 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:集合,常用逻辑用语,不等式,函数,导数,三角函数与解三角形,平面向 量,复数,数列。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数满足·(1十i)一3i,则;的虚部为 B D 2.已知集合A-(-4,-3,-2,0,2,3,4),B-(xl2x2-9<0),则集合AOB的真子集的个 数为 A.7 B.8 C.31 D.32 6十 B C D. #o) 4.设xER,则“cosx-1”是“sinx-0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.复印纸按照幅面的基本面积,把幅面规格分为A系列、B系列、C系列,其中A系列的幅面规 格为A,A。,A。,...,A。,所有规格的纸张的长度(以x表示)和幅宽(以y表示)的比例关系都 为x:y-v2:1;将A:纸张沿长度方向对开成两等分,便成为A。规格;将A。纸张沿长度方 向对开成两等分,便成为A。规格;...,如此对开至A。规格,现有A,A。,A。,...,A。纸各一 张,若A;纸的幅宽为1dm,则这9张纸的面积之和为 2552 .252 C512 2 D. 512 -dr dm2} dm2 dnm2} 4 【高三年级期中考试·数学试题 第1页(共4页)】 25-T-240C 6.已知点(m,27)在幕函数f(x)=(m-2)x”的图象上,设a=f(logv3),b=f(ln3),c= f(3}),则a,b,c的大小关系为 A.cab B.ac<b C.b<a<C D.a<c 7.已知函数f(x)-2sin(x+)(→o,ll<),T为f(x)的最小正周期,且/(T)- f(T),若f(x)在区间(0.n)上恰有3个极值点,则的取值范围是 #.11) B.(1,17 C.(17 D.77) xx。恒成立,则实数n的取值范围是 B.[-2,十) A.(-3.十) C.(2,十oo) D.[e,十) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知公差不为0的等差数列a。)的前n项和为S.,且S。一126,a:是a.与a。的等比中项,则 下列说法错误的是 A.a十a-28 B.a-a-4 C.当S>0时,n的最大值为22 D. 当S,取得最大值时,”的值为11 10.在入ABC中,内角A.B,C的对边分别为a,,c.则下列说法正确的是 A.若sin}A十sin{}B>sin}C,则△ABC是锐角三角形 B.若ABC为锐角三角形,则sinA>cosC C.若-_ D.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)-1,则△ABC是等边三角形 11.已知实数x,y满足x十y十sinx十siny>0,则下列说法正确的是 A.ln(x十y+1)>0 B.2e(r十y十1)十1 C.e-e>(x十y)(x-y) D.cosx-cosy(y-x)(y十x) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量a=(-2,6),b=(-1,2),c=(m,1),若ac,则向量c在向量b上的投影向量的 坐标为 13.已知函数y=[x]称为高斯函数,表示不超过x的最大整数,如[3.4]-3,[-1.6]=-2,则 【高三年级期中考试·数学试题 第2页(共4页)】 25-T-240C 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) (1)求函数f(x)的单调递减区间和对称中心 (2)将函数/(x)的图象向左平移0<)个长度单位,得到函数g(x)的图象,若g(x) 的图象关于直线x一对称,当xe[,*]时,求函数g(x)的值域. 16.(本小题满分15分) 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.tanA十tanB十tanC-3tanBtanC. (1)若sinB+sinC-. ,求角C的大小; 。2 33 22 (2)若3-2c,△ABC的面积为 ,求sinBsinC的值. 17.(本小题满分15分) 如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,点F是边BC上的一点,且CF=2FB. (1)若点P满足AP-3AB+2AD,求证:E.F,P三点共线; (2)若AD-3,EA·EB-5,求向量EB与AF的夹角的余弦值 _ # 第3页(共4页)) 【高三年级期中考试·数学试题 25-T-240C 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=r一alnx-1(aER). (1)若f(x)的图象在x=1处的切线方程为3x一y十b=0,求a,b的值; 。r (3)讨论f(x)的零点的个数 19.(本小题满分17分) 设任意一个无穷数列a。)的前”项之积为T,若VnEN,T.E(a ,则称a。是T数列 (1)若a是首项为一2,公差为1的等差数列,请判断a)是否为T数列?并说明理由; (2)证明:若a。的通项公式为a。一n·2”,则a不是T数列 (3)设(a.是无穷等比数列,其首项a一5,公比为q(q0),若a。是T数列,求q的值 第4页(共4页)) 【高三年级期中考试·数学试题 25-T-240C