第24章 圆 单元复习卷 2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上学期《第24章 圆》单元复习卷 一．选择题（共10小题） 1．如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，则图中一定等于∠C的角是（　　） A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D 2．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．＝ 3．如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是（　　） A．25° B．50° C．100° D．130° 4．下列说法： ①三点确定一个圆； ②直角三角形的外心一定在三角形内； ③长度相等的弧是等弧； 其中错误的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．如图所示，在⊙O中，，那么（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较 6．在平面内⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系为（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 7．如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P＝（　　） A．20° B．35° C．70° D．110° 8．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是（　　） A．24 B．12 C．16 D．8+8 9．如图，边长为4的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣4 D． 10．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，∠ABC＝36°，过点C作弦CD⊥AB，E为垂足，则∠EDO的度数是（　　） A．18° B．20° C．36° D．72° 二．填空题（共8小题） 11．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　 　． 12．一个扇形的半径为2cm，弧长为3πcm，则此扇形的面积为 　 　cm2． 13．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为 　 　． 14． 圆锥凝聚着时间和空间的美学，它不仅仅是一个简单的几何图形，更是一种象征，代表着从一点到无限延伸的可能性．圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为 　 　（结果用带π的数的形式表示）． 15． 15．如图，AD平分∠BAC，AE平分∠BAD，AF平分∠DAC，点O为射线AF上一点，以点O为圆心，AO长为半径画圆．若∠BAC＝80°，AO＝3，则图中阴影部分的面积是 　 　（结果保留π）． 16．如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为　 　． 17．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 　 　cm． 18．如图，AC，BD是的两条弦，且AC⊥BD，⊙O的半径为，猜想AB2+CD2的值为 　 　． 三．解答题（共10小题） 19．如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，求∠C的度数． 21．如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP． 22．如图，△BCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝42°，求∠ABC的度数． 23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．求OA的长度． 24．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为24cm，求贴纸部分的面积S． 25．如图，AB为⊙O直径，AB＝6，点C，D（异于A，B两点）在⊙O上，且AD平分∠BAC，交BC于点E，连接BD． （1）求证：∠ABD＝∠BED； （2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）． 26．如图，⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB垂足为E，OE＝3，连接AD，BD，作OF⊥BD垂足为F， （1）求证：∠BAD＝∠BDC． （2）求OF的长． 27．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm． （1）求⊙O的直径． （2）求的长． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，⊙A与边AC、AB交于点D，E，⊙A的半径是1，若点F为BC的中点，BF＝，求证：直线BC与⊙A相切． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，则图中一定等于∠C的角是（　　） A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D 【分析】根据＝，可得∠D＝∠C，即可求解． 【解答】解：∵＝， ∴∠D＝∠C， 故选：D． 2．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．＝ 【分析】由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE＝BE，弧AD＝弧BD，不能得出OE＝DE，圆的半径都相等，故选B． 【解答】解：如图所示， ∵CD⊥AB， ∴AE＝BE，弧AD＝弧BD， ⊙O的半径都相等，那么AO＝CO， 不能得出OE＝DE． 故选：B． 3．如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是（　　） A．25° B．50° C．100° D．130° 【分析】根据圆周角定理进行求解即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝50°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°． 故选：C． 4．下列说法： ①三点确定一个圆； ②直角三角形的外心一定在三角形内； ③长度相等的弧是等弧； 其中错误的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据三角形的外接圆，圆的切线，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【解答】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故①错误； ②等腰三角形的外心不一定在三角形内，故②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③错误； ④圆的切线垂直于过切点的半径，故④错误． 故选：A． 5．如图所示，在⊙O中，，那么（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较 【分析】如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，再根据“根据三角形的三边关系”可解． 【解答】解：如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，则有：弧AB＝弧CE，AB＝CE根据三角形的三边关系知， CD+DE＝2CD＞CE＝AB， ∴AB＜2CD． 故选：B． 6．在平面内⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系为（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系直接作出判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm， 即点P到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点P在⊙O内， 故选：A． 7．如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P＝（　　） A．20° B．35° C．70° D．110° 【分析】根据切线的性质可得∠PAO＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【解答】解：∵PA与⊙O相切于A点， ∴∠PAO＝90°， ∵∠POA＝70°， ∴∠P＝90°﹣70°＝20°， 故选：A． 8．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是（　　） A．24 B．12 C．16 D．8+8 【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长． 【解答】解：由题意可得， AD＝2+×2＝2+2， ∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2）＝8+8， 故选：D． 9．如图，边长为4的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣4 D． 【分析】连接OB，由四边形ABCO是正方形，得到∠DOB＝45°，根据勾股定理得到OB＝AB＝4，再根据图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△AOB得到结论． 【解答】解：连接OB， ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠DOB＝45°， ∴OB＝AB＝4， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△AOB＝﹣×4×4＝4π﹣8， 故选：B． 10．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，∠ABC＝36°，过点C作弦CD⊥AB，E为垂足，则∠EDO的度数是（　　） A．18° B．20° C．36° D．72° 【分析】由垂径定理得到＝，∠OED＝90°，由圆心角、弧、弦的关系推出∠AOD＝∠AOC，由圆周角定理求出∠AOD＝∠AOC＝72°，再根据“直角三角形的两锐角互余”求解即可． 【解答】解：连接OC， ∵直径AB⊥CD， ∴＝，∠OED＝90°， ∴∠AOD＝∠AOC，∠EDO+∠AOD＝90°， ∵∠ABC＝∠AOC，∠ABC＝36°， ∴∠AOD＝∠AOC＝72°， ∴∠EDO＝90°﹣72°＝18°． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 11．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　9　． 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，＝40°， 解得，n＝9， 故答案为：9． 12．一个扇形的半径为2cm，弧长为3πcm，则此扇形的面积为 　3π　cm2． 【分析】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积＝也可以． 【解答】解：设扇形圆心角度数为x，则， 解得x＝270°， 扇形的面积为（cm2）， 故答案为：3π． 13．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为 　3　． 【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM长的最小值． 【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA， ∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短， ∴当OM于OM′重合时OM最短， ∵AB＝8，OA＝5， ∴AM′＝×8＝4， 在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3， ∴线段OM长的最小值为3． 故答案为：3． 14．圆锥凝聚着时间和空间的美学，它不仅仅是一个简单的几何图形，更是一种象征，代表着从一点到无限延伸的可能性．圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为 　12π　（结果用带π的数的形式表示）． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12π， 故答案为：12π． 15．如图，AD平分∠BAC，AE平分∠BAD，AF平分∠DAC，点O为射线AF上一点，以点O为圆心，AO长为半径画圆．若∠BAC＝80°，AO＝3，则图中阴影部分的面积是 　　（结果保留π）． 【分析】证明△AMO是等边三角形，过O作OH⊥AM，根据∠3＝∠4得出S扇形ANG＝S扇形AGP，从而得出S阴影＝S半圆﹣S扇形AMO+S△AMO即可解答； 【解答】解：如图，连接OM， 根据题意可得：∠BAC＝80°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝20°，AO＝MO， ∴∠MAO＝60°， ∴△AMO是等边三角形， 过O作OH⊥AM， ∵∠3＝∠4＝20°， ∴S扇形ANG＝S扇形AGP， ∴S阴影＝S半圆﹣S扇形AMO+S△AMO ＝ ＝． 故答案为：． 16．如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为　R　． 【分析】连接OC，由DC是⊙O的切线，则△DCO是直角三角形；由圆周角定理可得∠DOC＝2∠CAB＝60°，则OD＝2OC＝2OB，BD的长即可求出． 【解答】解：连接OC， 由于DC是⊙O的切线，则△DCO是直角三角形， 在Rt△DOC中，∠DOC＝2∠CAB＝60°，则OD＝2OC＝2OB， 因此，BD＝OB＝R． 17．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 　4　cm． 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π， ∴圆锥的底面圆的周长为4π， ∴圆锥的底面圆的半径为2， ∴这个纸帽的高＝＝4（cm）． 故答案为4． 18．如图，AC，BD是的两条弦，且AC⊥BD，⊙O的半径为，猜想AB2+CD2的值为 　1　． 【分析】作直径AE，连接CE、BE，根据圆周角定理由AE为直径得到∠ACE＝90°，∠ABE＝90°，而AC⊥BD，所以BD∥CE，所以BE弧＝DC弧，则得到BE＝CD，在Rt△ABE中，利用勾股定理得AB2+BE2＝AE2＝1，于是有AB2+CD2＝1． 【解答】解：作直径AE，连接CE、BE，如图， ∵AE为直径， ∴∠ACE＝90°， ∴CE⊥AC，∠ABE＝90°， ∵AC⊥BD， ∴BD∥CE， ∴， ∴BE＝CD， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2＝12＝1， ∴AB2+CD2＝1． 故答案为：1． 三．解答题（共10小题） 19．如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC． 【分析】连接OC，由切线的性质得出OC⊥AB，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】证明：连接OC， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BC． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，求∠C的度数． 【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠A＝90°﹣20°＝70°，由圆内接四边形的性质推出∠A+∠C＝180°，即可得到∠C＝110°． 【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠A＝90°﹣20°＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠C＝110°． 21．如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP． 【分析】由等腰△DPA的性质判定∠P＝∠A；根据圆周角定理可以推知∠C＝∠A，则∠P＝∠C，由“等角对等边”证得结论． 【解答】证明：∵DA＝DP， ∴∠P＝∠A． 又∵∠C＝∠A， ∴∠P＝∠C， ∴BC＝BP． 22．如图，△BCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝42°，求∠ABC的度数． 【分析】连接AC，根据直径所对的圆周角为直角得∠ACB＝90°，再根据圆周角定理得∠A＝∠CDB＝42°，由此可得∠ABC的度数． 【解答】解：连接AC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵△BCD内接于⊙O， ∴∠A＝∠CDB＝42°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣42°＝48°． 23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．求OA的长度． 【分析】由垂径定理得到CE＝CD＝4，由勾股定理求出OC＝＝5，即可得到OA的长． 【解答】解：∵直径AB⊥CD， ∴CE＝CD＝×8＝4， ∵∠OEC＝90°，OE＝3， ∴OC＝＝5， ∴OA＝OC＝5． 24．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为24cm，求贴纸部分的面积S． 【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为30cm和6cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积． 【解答】解： 两面贴纸部分的面积S＝﹣＝288π（cm2）， 即两面贴纸部分的面积的面积是288πcm2． 25．如图，AB为⊙O直径，AB＝6，点C，D（异于A，B两点）在⊙O上，且AD平分∠BAC，交BC于点E，连接BD． （1）求证：∠ABD＝∠BED； （2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）． 【分析】（1）根据圆周角定理和外角的性质即可得到结论； （2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠1＝35°，得到∠BOD＝2∠2＝70°，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图： ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∵∠ABD＝∠ABC+∠3，∠BED＝∠ABC+∠2， ∴∠ABD＝∠BED． （2）解：连接OD， ∵∠AEB＝125°， ∴∠AEC＝55°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠1＝35°， ∴∠2＝∠1＝35°， ∴∠BOD＝2∠2＝70°， ∴弧BD的长＝＝π． 26．如图，⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB垂足为E，OE＝3，连接AD，BD，作OF⊥BD垂足为F， （1）求证：∠BAD＝∠BDC． （2）求OF的长． 【分析】（1）根据垂径定理及圆周角定理证明即可； （2）利用勾股定理求出DE，BD，再利用锐角三角函数定义求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AB是直径， ∴＝， ∴∠BAD＝∠BDC； （2）解：如图，连接OD． ∵⊙O的直径AB＝10， ∴OB＝OD＝×10＝5， 在Rt△OED中，OE＝3， ∴DE＝＝＝4， 在Rt△BDE中，BE＝OB+OE＝8， ∴BD＝＝＝4， ∵sinB＝＝， ∴＝， ∴OF＝． 27．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm． （1）求⊙O的直径． （2）求的长． 【分析】（1）利用30度的角所对的边是斜边的一半进行计算； （2）连接OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°，然后利用公式计算． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°． ∵AD＝4， ∴AB＝8． ∴⊙O的直径为8cm． （2）连接OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°． ∴的长为cm． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，⊙A与边AC、AB交于点D，E，⊙A的半径是1，若点F为BC的中点，BF＝，求证：直线BC与⊙A相切． 【分析】连接AF，如图，先利用等腰三角形的性质得AF⊥BC，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AF＝1，从而可判断AF为⊙A的半径，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：连接AF，如图， ∵AB＝AC，点F为BC的中点， ∴AF⊥BC， 在Rt△ABF中，∵∠B＝30°，BF＝， ∴AF＝BF＝1， 而⊙A的半径是1， ∴AF为⊙A的半径， 而AF⊥BC， ∴直线BC与⊙A相切． 学科网（北京）股份有限公司 $$