精品解析：福建省福州市四校（教院附中、十八中、侨中、三中晋安校区）联考2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 点关于轴对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（ ） A. B. C. D. 5. 把多项式分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是 (　　) A. 7 B. 9 C. 12 D. 10或12 7. 如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（    ） A. B. C. D. 8. 若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为（ ） A. ﹣3 B. 0 C. 1 D. 3 9. 图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 如图，，则______． 13. 若是完全平方式，则_____． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为13，，则的周长为______． 15. 当，则的值为________． 16. 如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，．求证：． 20. 图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； （4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 21. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是． （1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点． （2）请图2中添加一个格点，使得也是轴对称图形，且对称轴经过点． 23. 如图，在中，，． （1）①尺规作图：在线段上求作一点，使； ②连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的度数； （3）在（1）的条件下，若，求的周长． 24. 阅读材料:若，求m、n的值. 解:， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值. （3）若已知，求的值. 25. 在数学实践活动中，小王和小兰同学将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． （1）如图1，点M、N在坐标轴上，点P在的平分线上，连接，用直尺量得，过点P作向坐标轴作垂线，垂足分别为点E、F．求证：； （2）如图2，为等腰直角三角形（），点B在第二象限，，若， 求点B的坐标； （3）如图3，为等腰直角三角形（），，点C在y轴上，点B在第四象限且纵坐标为m，交x轴于点，若平分，探究m、n之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 点关于轴对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－轴对称．根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：B． 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方，根据单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，本选项式子运算错误； B． ，本选项式子运算错误； C． ，本选项式子运算正确； D． ，本选项式子运算错误． 故选：C 4. 按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和三角形的三边关系等知识点，根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可，解答的关键是熟练全等三角形的判定定理． 【详解】A、，不能构成三形，不符合题意； B、，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，不符合题意； C、，符合，能画出形状、大小确定的三角形，符合题意； D、，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 把多项式分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 6. 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是 (　　) A. 7 B. 9 C. 12 D. 10或12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义．根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三角形的三边关系，分别讨论求解． 【详解】解：当为腰时，三边为，，，，不符合三角形的三边关系，不能构成三角形， 当为腰时，三边为，，，，符合三角形的三边关系， 周长为：． 故选：C． 7. 如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，可得的度数，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案．本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，作于， ，， ，， 平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 8. 若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为（ ） A. ﹣3 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将式子按照多项式乘多项式法则展开后，进行加减计算，令x的系数为0即可求出结果． 【详解】解：（x+n）（3-x） =3x-x2+3n-nx =-x2+（3-n）x+3n， ∵x+n与3-x的乘积中不含x的一次项， ∴3-n=0， 解得n=3． 故选：D． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 9. 图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF=∠EFB，根据图形折叠的性质得出∠EFC的度数，进而得出∠CFG即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=α， 由折叠可得：∠EFC=180°-α， ∴∠CFG=180°-α-α=180°-2α， 故选C. 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 10. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，进而有AG=BC-AB=2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD=DG，可得，则△ACD的最大面积可求． 【详解】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图， ∵BD平分∠ABC，BD⊥CD， ∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°， ∵BD=BD， ∴△BDG≌△BDC， ∴BC=BG，CD=DG， ∵BC-AB=2， ∴AG=BC-AB=2， ∵在△AGC中，GH⊥AC， ∴△AGC的面积， ∵AC=5， ∴， ∵在△AGH中，GH⊥AH， ∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG， ∴GH＜AG， ∵AG=2， ∴GH＜2， 当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG， 此时GH达到最大， ∴则GH的最大值为2， ∴△AGC的最大面积为：， ∵CD=DG， ∴D点为CG中点， ∴， ∴△ACD的最大面积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大，是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，直接根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，，则______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 13. 若是完全平方式，则_____． 【答案】4或-2 【解析】 【分析】根据完全平方式的形式即可得出m的值． 【详解】∵是完全平方式 ∴或 解得或 故答案为：4或-2 【点睛】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式的形式是解题的关键． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为13，，则的周长为______． 【答案】23 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为13得到，据此求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E，， ∴，， ∵的周长为13， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：23． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 15. 当，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方． 将化为，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：由得， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______． 【答案】（，）． 【解析】 【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案为（，）． 点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值； 先利用平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则展开，然后合并同类项得到最简结果，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】首先得到，然后证明出，得到，，进而可证明出． 此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 【详解】略 20. 图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； （4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查整式乘法与图形面积的关系， （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出、，即可求解； （4）根据（3）中的结论进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图2中阴影部分的面积表示如下： 方法一：；方法二：； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：、， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由（3）可得，， ∴，且， ∴ ． 21. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 22. 在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是． （1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点． （2）请图2中添加一个格点，使得也是轴对称图形，且对称轴经过点． 【答案】（1） 如下图， （2） 如下图， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：由对称轴的性质，可知点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点C即为所求； 【小问2详解】 由对称轴的性质，可知点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点D即为所求． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轴对称图形的作图，熟练掌握掌握轴对称的作图方法是解题的关键． 23. 如图，在中，，． （1）①尺规作图：在线段上求作一点，使； ②连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的度数； （3）在（1）的条件下，若，求的周长． 【答案】（1）如图所示即为所求作： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①线段的垂直平分线与的交点即为点P；②按照所给步骤作图即可； （2）根据等边对等角可得，再利用三角形内角和定理即可求解； （3）由作图可知，根据等腰三角形三线合一可得，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由作图可知， 又∵，即， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，解题的关键是根据线段垂直平分线的性质确定点P的位置． 24. 阅读材料:若，求m、n的值. 解:， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值. （3）若已知，求的值. 【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值； （2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长； （3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值． 【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴（x+y）2+（y+1）2=0 ∴x+y=0y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴x﹣y=2； （2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4 ∵三角形两边之和＞第三边 ∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6； （3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 25. 在数学实践活动中，小王和小兰同学将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． （1）如图1，点M、N在坐标轴上，点P在的平分线上，连接，用直尺量得，过点P作向坐标轴作垂线，垂足分别为点E、F．求证：； （2）如图2，为等腰直角三角形（），点B在第二象限，，若， 求点B的坐标； （3）如图3，为等腰直角三角形（），，点C在y轴上，点B在第四象限且纵坐标为m，交x轴于点，若平分，探究m、n之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵点P在的平分线上，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； （2） （3） 解：如图，过点C作轴，分别过点A，B作，交x轴于点G，设交y轴于点H，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点B在第四象限且纵坐标为m， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 在x轴上取点K，使， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形： （1）证明，可得，即可求证； （2）过点B作轴于点D，证明，可得，再根据非负数的性质可得，即可求解； （3）过点C作轴，分别过点A，B作，交x轴于点G，设交y轴于点H，连接，证明，可得，从而得到，再根据平分，可证得，从而得到，，，，在x轴上取点K，使，证明，可得，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $