专题03从速度的倍数到向量的数乘重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题03从速度的倍数到向量的数乘重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 从速度的倍数到向量的数乘 题型二 平面向量的混合运算 题型三 向量的线性运算的几何应用 题型四 向量的数乘与向量共线的关系 知识点1 向量数乘运算 实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作λa， 其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. 知识点2 向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. 知识点3 共线向量定理 向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识点4 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b， 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【经典例题一 从速度的倍数到向量的数乘】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 1．（23-24高一下·四川成都·期中）对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 【答案】D 【分析】根据共线向量的定义及性质一一判断即可. 【详解】由，可得与方向相同或者相反，或者与中至少一个为零向量，故A、B错误； 当，时满足，但是不存在实数，使，故C错误； 当时，由，可得，令，则，即， 当时，由，可得（存在），故D正确． 故选：D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【答案】 相反 【分析】根据向量的数乘运算的概念可得结论. 【详解】非零向量与方向相反，且的长度是的倍. 故答案为：相反；. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）已知非零向量，作出和．它们的长度和方向分别是怎样的？ 【答案】答案见解析 【详解】的长度是的长度的3倍，与的方向相同， 是的长度的3倍，与的方向相反，如图所示．      【经典例题二 平面向量的混合运算】 【例2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加减法则计算即得. 【详解】. 故选：A. 1．（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由及向量的加减运算即可解． 【详解】如图所示：    因为，所以， 得, 得, 得, 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为 ．向量线性运算的结果仍是一个 ． 【答案】 向量的线性运算 向量 【分析】略 【详解】略 3．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【经典例题三 向量的线性运算的几何应用】 【例3】（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性关系即可得到结果. 【详解】∵，， ∴，， ∴，故AB选项错误； ∴，故C选项正确，D选项错误. 故选：C 1．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可． 【详解】设，因为是边的中点，所以， 所以， ， 又，所以，解得． 故选：A． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 【答案】3 【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值. 【详解】已知，根据向量的减法法则， 则.因为，又，所以，移项可得. 由于，那么，所以. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 【答案】(1)0或 (2)， 【分析】（1）设结合已知条件可得、、的关系，再由三点共线即可得的值，可得的长，再讨论点的位置即可求解； （2）根据和即可求解； 【详解】（1）因为A，D，E三点共线，所以与共线， 设 又因为， 所以，可得， 由在边上，可得，即， 若，又，可得，，故， 若两点重合时，的距离为0， 若不重合时，为等腰三角形. 又在中，，，，可得，且， ， 故的距离为0或； （2）若，又， 故， 故， 由，可得相似比为， 所以，. 【经典例题四 向量的数乘与向量共线的关系】 【例4】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】根据向量共线定理一一分析即可. 【详解】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ． 【答案】 向量方向相反 向量方向相同 【分析】由不共线，，能构成三角形，得到，再由共线求解. 【详解】解：如果不共线，正好能构成三角形， |分别为此三角形的三条边长， 又因为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， 所以， 若共线，则当它们同向时，有. 若共线，则当它们反向时，有. 综上所述，不等式中等号成立的条件是向量方向相反； 不等式中等号成立的条件是向量方向相同． 故答案为：向量方向相反，向量方向相同 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若存在一个使，则； (2)对于任意给定的实数和向量、，均有； (3)对于任意给定的实数、和向量，均有． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)正确，理由见详解 (3)正确，理由见详解 【分析】（1）举反例说明即可； （2）（3）根据线性运算的运算律分析判断. 【详解】（1）错误，理由如下： 例如，此时符合题意，但. （2）正确，理由如下： 根据线性运算律可得：， 所以. （3）正确，理由如下： 根据线性运算律可得：， 所以. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A．或 B．与平行 C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得 【答案】A 【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】非零向量与共线， 对于A，，，故A错误； 对于B，∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确； 对于C，∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确； 对于D，∵与共线，∴存在实数，使得，故D正确． 故选：A． 2．（2024·四川眉山·一模）在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算即可结合选项逐一判断. 【详解】在平行四边形ABCD中，， 而，， ， . 故选：B. 3．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【答案】D 【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值. 【详解】由于，，三点共线，所以与共线. 存在实数，使得，即. 因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则. 由，将其代入可得. 故选：D. 4．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍. 【详解】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 5．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（   ） A．若是单位向量，且共线，则 B．若，则，，，四点共面 C．若，则点是线段的中点 D．若，，则 【答案】A 【分析】根据向量的共线定理，向量的加法运算，减法运算即可求解. 【详解】对于A，若是单位向量，且共线，则，或，故A不正确； 对于B, 若，则，即, ,则，，，四点共面，故B正确； 对于C，若，则，即， 则，且三点共线，因此可得点是线段的中点，故C正确； 对于D，若，，则，，则，故D正确； 故选：A. 6．（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】连接，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】    连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A正确；BC错误； 由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 7．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【答案】ACD 【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断. 【详解】因为的中点为，所以. 又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确. 故选：ACD. 8．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答. 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 9．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项． 【详解】对于A，因为，，故，即，故A正确； 对于B，因为，，则，故B正确； 对于C，，，由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误． 对于D，，故，此时，故D正确， 故选：ABD． 10．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论. 【详解】， 又， 所以， 当且仅当共线同向时等号成立， 因为为单位向量，且， 若共线，则存在实数使得， 即，可得，方程组无解， 所以一定不共线. . 故选：CD. 11．（23-24高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 （1）定义：向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的 . （2）运算律：对于任意向量、，任意实数、，有 ； . 【答案】 线性运算 / / 【分析】略 【详解】略 12．（23-24高一下·全国·课前预习）数乘向量 （1）定义：一般地，给定一个实数与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中： ①当且时，的模为 ，且的方向如下：当 时，与的方向相同；当 时，与的方向相反. ②当或时， ． （2）运算律： 【答案】 【分析】略 【详解】略 13．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，是直线BD上一点，若，则实数的值为 . 【答案】/-0.4 【分析】根据向量的加法可得 ，结合三点共线，利用相关结论，即可求得答案. 【详解】. 又点三点共线，， 故答案为： 14．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）若A，B，C三点共线，对任意一点O，有（为锐角）成立，则 . 【答案】 【分析】根据三点共线得到存在使得，故，结合，得到，从而求出. 【详解】因为A，B，C三点共线，所以存在使得， 即， 故，将其代入得， ， 即， 由于上式恒成立，，故，解得， 因为为锐角，所以. 故答案为： 15．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为是两个不共线的单位向量，， 若与共线，可设，即，则，解得： 故答案为：2 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的重心，、、分别为、、中点， 所以，，， 所以， 所以． 17．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 19．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）设、是两个不平行的向量，求证：若实数、使得，则． 【答案】证明见详解 【分析】假设、中至少有一个不为，不妨设，则得出、共线，与已知、不平行矛盾，则. 【详解】若实数、中至少有一个不为，使得， 不妨设，则， 所以、共线，这与、是两个不平行的向量矛盾， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03从速度的倍数到向量的数乘重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 从速度的倍数到向量的数乘 题型二 平面向量的混合运算 题型三 向量的线性运算的几何应用 题型四 向量的数乘与向量共线的关系 知识点1 向量数乘运算 实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作λa， 其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. 知识点2 向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. 知识点3 共线向量定理 向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识点4 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b， 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【经典例题一 从速度的倍数到向量的数乘】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 1．（23-24高一下·四川成都·期中）对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 2．（23-24高一下·全国·课前预习）非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）已知非零向量，作出和．它们的长度和方向分别是怎样的？ 【经典例题二 平面向量的混合运算】 【例2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为 ．向量线性运算的结果仍是一个 ． 3．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【经典例题三 向量的线性运算的几何应用】 【例3】（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 1．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 【经典例题四 向量的数乘与向量共线的关系】 【例4】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 1．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．（2024高三·全国·专题练习）若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若存在一个使，则； (2)对于任意给定的实数和向量、，均有； (3)对于任意给定的实数、和向量，均有． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A．或 B．与平行 C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得 2．（2024·四川眉山·一模）在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 4．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 5．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（   ） A．若是单位向量，且共线，则 B．若，则，，，四点共面 C．若，则点是线段的中点 D．若，，则 6．（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 8．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 （1）定义：向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的 . （2）运算律：对于任意向量、，任意实数、，有 ； . 12．（23-24高一下·全国·课前预习）数乘向量 （1）定义：一般地，给定一个实数与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中： ①当且时，的模为 ，且的方向如下：当 时，与的方向相同；当 时，与的方向相反. ②当或时， ． （2）运算律： 13．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，是直线BD上一点，若，则实数的值为 . 14．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）若A，B，C三点共线，对任意一点O，有（为锐角）成立，则 . 15．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 17．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 19．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）设、是两个不平行的向量，求证：若实数、使得，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$