专题02 孤度制重难点题型专训（8大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题02 孤度制重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 弧度的概念 题型二 用弧度制表示角的集合 题型三 角度化为弧度 题型四 弧度化为角度 题型五 弧长的有关计算 题型六 扇形面积的有关计算 题型七 扇形中的最值问题 题型八 扇形弧长公式与面积公式的应用 知识点一 角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 知识点二 角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 知识点三 弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 知识点四 弧度制下角的终边的对称与垂直 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边关于y=x对称 x与β的终边关于y=-x对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 【经典例题一 弧度的概念】 【例1】（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周，结合一周的弧度为计算即可得. 【详解】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周， 故其转动的弧度数是. 故选：A. 1．（23-24高三上·云南·阶段练习）从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度的概念求解. 【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角， 所以分针转动的弧度为. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）2024弧度的角在第 象限. 【答案】一 【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解即可. 【详解】因为， 可知2024弧度的角的终边在第一象限， 所以2024弧度的角在第一象限. 故答案为：一. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？ 【答案】答案见解析 【详解】1度的角等于周角的，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的． 1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的． 【经典例题二 用弧度制表示角的集合】 【例2】（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 1．（22-23高一下·湖北·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选取不同的值，求出交集. 【详解】当时，，当时，或， 当取其他整数时，均不在内， 故. 故选：C 2．（21-22高一·全国·课前预习）终边落在直线上的角用弧度制的集合可以表示为 . 【答案】 【分析】根据直线倾斜角，写出弧度制表示的集合即可. 【详解】终边落在直线上的角分别处在第一､三象限，直线倾斜角为， 则其表示的角的集合为 故答案为： 3．（23-24高一下·全国·课后作业）讨论以下三个式子的意义： 谈谈引入弧度制的好处． 【答案】答案见解析 【分析】利用代数式的意义结合弧度制的优势求解即可. 【详解】表示一个角度与一个三角函数的和， 表示一个弧度与其对应的正弦值的和， 表示取不同的数时，这个代数式的值， 引入弧度制可以使角与实数相对应，方便计算，也使得对应函数的定义域为全体实数，方便在直角坐标系中表示出来（答案不唯一，合理即可）. 【经典例题三 角度化为弧度】 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角度，弧度转化公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：D 1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求解. 【详解】. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）将120°化为弧度制为 ． 【答案】 【分析】利用弧度制和角度制的转化即可得出答案. 【详解】因为 所以 所以 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】将角度化为弧度，由度数乘以即可得到弧度. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【经典例题四 弧度化为角度】 【例4】（2024高二上·黑龙江·学业考试）把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧度制化为角度制的方法求解即可. 【详解】. 故选：A. 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用弧度制与角度制的转化，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中） 度 【答案】 【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求出结果. 【详解】. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用即可得出答案. 【详解】（1）=. （2）=. （3）=. 【经典例题五 弧长的有关计算】 【例5】（黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高三上学期期末联合考试数学试卷）伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先算出经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数，再用弧长公式计算即可. 【详解】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是， 故经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数为：， 故弧长为米. 故选：C. 1．（24-25高一上·吉林·期末）已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（   ） A．1rad B．4rad C．3rad D．2rad 【答案】D 【分析】设扇形所对圆心角为，根据弧长公式得到方程，解得即可. 【详解】设扇形所对圆心角为，依题意可得，解得， 即该扇形所对圆心角的弧度是rad. 故选：D 2．（24-25高一上·天津武清·期末）已知弧长的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的圆的半径为 . 【答案】 【分析】由弧长与半径、圆心角之间的关系，代入数据即可得解. 【详解】依题意把代入公式得，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一上·河南周口·期末）如图所示，扇形中，所对的圆心角是，半径为米，求的长（精确到米）． 【答案】米 【分析】利用弧长半径圆心角的关系，直接求出弧长即可. 【详解】因为扇形中，所对的圆心角是，半径为米， 所以的长米． 所以的长约为米． 【经典例题六 扇形面积的有关计算】 【例6】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可得解. 【详解】由题意可得，扇形的面积是， 扇形的面积是． 则扇面（曲边四边形）的面积是. 故选：C 1．（24-25高一上·吉林·期末）莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的.其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由条件可知，弧长， 等边三角形的边长， 则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为， 中间等边的面积. 所以莱洛三角形的面积是. 故选：D 2．（24-25高一上·上海奉贤·期末）下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，， 所以该窗子的面积为（）. 故答案为： 3．（24-25高一上·河南·期中）已知某扇形的半径，周长． (1)求该扇形的面积； (2)求在区间上与该扇形的圆心角终边相同的角． 【答案】(1) (2)和． 【分析】（1）用扇形的弧长面积公式即可求解. （2）先求得扇形的圆心角，用终边相同的角去表示，再根据整数的取值即可确定. 【详解】（1）（1）设扇形的弧长为l，因为，由题意，扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为． （2）由（1）可知，圆心角，故与终边相同的角的集合为，， S中适合的元素有，， 故在区间上与该扇形圆心角终边相同的角为和． 【经典例题七 扇形中的最值问题】 【例7】（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应. 故选：A 1．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案. 【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D 2．（22-23高一上·重庆·期末）已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 【答案】 【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的周长. 【详解】设扇形所在圆半径为，∴ 如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴, ，故， 所以最大的圆周长为. 故答案为： 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值. 【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得. （2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得. 【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为， 因此，而扇形面积为， 所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.    （2）设扇形的半径为，则扇形弧长， 扇形面积，当且仅当时取等号， 所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值. 【经典例题八 扇形弧长公式与面积公式的应用】 【例8】（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，求得，再利用扇形的面积公式，得到，进而求得所以的值，得到答案． 【详解】设扇环所对的圆心角为，可得， 因为，所以，又因为，， 所以，所以，即． 故选：D． 1．（22-23高一下·浙江杭州·阶段练习）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解即可. 【详解】因为扇形的面积为，半径为1，且设圆心角为， 所以，解得，故B正确. 故选：B 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为 . 【答案】/ 【分析】先求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式求得答案. 【详解】由题意，圆心角，弧长， 由弧长公式得，扇形的半径， 则扇形面积， 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可． （2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解； （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】（1）由题意知，所以弧长. （2）由题意得，解得（舍），，故扇形圆心角为. （3）由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，. 1．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）下列各角中，与终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义可得答案. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，故C错误； 对于D，因，故D错误. 故选：B 2．（21-22高一·全国·课后作业）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知一个扇形的弧长为，半径为，则该弧所对的圆心角（正角）的角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弧长公式及角度和弧度的互换即可求解. 【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为， 则，解得，化为角度数为． 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的面积公式计算可得答案. 【详解】扇形的圆心角为，半径为， 则扇形的面积为. 故选：A. 5．（22-23高三上·广东揭阳·期末）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【分析】由题意点P，Q都不再运动，且满足已知条件时，为的中点，且，则为的中点，连接交于，求出，即可得解. 【详解】当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置， 此时，， 则要使当点P，Q都不再运动，且满足题中两个条件时， ，且点离最远，则为的中点， 所以为的中点， 连接交于， 因为四边形ABCD是边长为的正方形， 所以，为的中点， 又因，为的中点， 所以，， 所以， 因为为的中点， 所以， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）经过分钟，钟表的分针转过 弧度的角． 【答案】 【分析】由角的定义和弧度制的定义即可求得答案. 【详解】根据题意，分针转过的弧度为. 故答案为：. 7．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由题知的终边与角的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可. 【详解】解：的终边与的终边关于直线对称， 所以的终边与角的终边相同， 所以的取值集合为 故答案为： 8．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 【答案】 【分析】根据角的定义和弧度制和角度制的转化即可. 【详解】由题意，分针需要顺时针旋转，即弧度数为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·天津滨海新·期末）弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 . 【答案】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 10．（2024·吉林·模拟预测）已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为 . 【答案】 【分析】利用弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解即可 【详解】设扇形的半径为R， ∵扇形的圆心角为，弧长为， ∴，解得：R=， ∴扇形的面积=. 故答案为：. 11．（21-22高一下·上海虹口·阶段练习）集合，，，，分别求，，． 【答案】；；. 【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算. 【详解】； ； 分别令k＝－1，0，1，即可得： . 12．（24-25高一上·全国·课后作业）分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为的圆中，圆心角为的扇形的周长（单位：）（，结果精确到）． 【答案】 【分析】利用公式和分别计算即可. 【详解】角度制：设扇形弧长为，则，故周长为． 弧度制：，故周长为． 13．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据角度制和弧度制之间的关系运算求解. 【详解】（1）． （2）． 14．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】(1)， (2)，栅栏长度的最小值为40米 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得 所以， （2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 15．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 孤度制重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 弧度的概念 题型二 用弧度制表示角的集合 题型三 角度化为弧度 题型四 弧度化为角度 题型五 弧长的有关计算 题型六 扇形面积的有关计算 题型七 扇形中的最值问题 题型八 扇形弧长公式与面积公式的应用 知识点一 角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 知识点二 角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 知识点三 弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 知识点四 弧度制下角的终边的对称与垂直 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边关于y=x对称 x与β的终边关于y=-x对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 【经典例题一 弧度的概念】 【例1】（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·云南·阶段练习）从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）2024弧度的角在第 象限. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？ 【经典例题二 用弧度制表示角的集合】 【例2】（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 1．（22-23高一下·湖北·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一·全国·课前预习）终边落在直线上的角用弧度制的集合可以表示为 . 3．（23-24高一下·全国·课后作业）讨论以下三个式子的意义： 谈谈引入弧度制的好处． 【经典例题三 角度化为弧度】 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）将120°化为弧度制为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 【经典例题四 弧度化为角度】 【例4】（2024高二上·黑龙江·学业考试）把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中） 度 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【经典例题五 弧长的有关计算】 【例5】（黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高三上学期期末联合考试数学试卷）伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．（24-25高一上·吉林·期末）已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（   ） A．1rad B．4rad C．3rad D．2rad 2．（24-25高一上·天津武清·期末）已知弧长的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的圆的半径为 . 3．（24-25高一上·河南周口·期末）如图所示，扇形中，所对的圆心角是，半径为米，求的长（精确到米）． 【经典例题六 扇形面积的有关计算】 【例6】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25高一上·吉林·期末）莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的.其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海奉贤·期末）下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 3．（24-25高一上·河南·期中）已知某扇形的半径，周长． (1)求该扇形的面积； (2)求在区间上与该扇形的圆心角终边相同的角． 【经典例题七 扇形中的最值问题】 【例7】（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 1．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（22-23高一上·重庆·期末）已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 【经典例题八 扇形弧长公式与面积公式的应用】 【例8】（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 1．（22-23高一下·浙江杭州·阶段练习）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为 . 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 1．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）下列各角中，与终边相同的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知一个扇形的弧长为，半径为，则该弧所对的圆心角（正角）的角度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·广东揭阳·期末）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 6．（24-25高一上·上海·课后作业）经过分钟，钟表的分针转过 弧度的角． 7．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 8．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 9．（24-25高一上·天津滨海新·期末）弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 . 10．（2024·吉林·模拟预测）已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为 . 11．（21-22高一下·上海虹口·阶段练习）集合，，，，分别求，，． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为的圆中，圆心角为的扇形的周长（单位：）（，结果精确到）． 13．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 14．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 15．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$