精品解析：重庆市云阳县农村初中2024-2025学年上学期九年级数学期中定时作业

云阳县农村初中2024年下期九年级数学期中定时作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 5. 要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A. 且 B. C. D. 6. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 7. 2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（  ） A. B. C. D. 8. 估计的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 9. 如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 给定一列数，我们把这列数的第一个数记为，第二个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数），且．将这列数按顺序依次排列后，在其中每一个数前任意添上“+”号或“-”号，称这种操作为“运算”，并将所得的代数和的绝对值记为．例如：当时，这列数为，，，则“运算”可以为：，此时的值为，下列说法： ①当时，有4种不同的结果； ②任取该数列中连续4项，存在“运算”使得的值为4； ③当时，存在“运算”使得的最小值为1． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 点关于原点对称的点的坐标为______． 13. 正六边形的每个内角等于______________°． 14. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金为_________万元． 15. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，，，若是的中点，则的长为__________． 16. 如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为______． 17. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 18. 一个四位自然数，若满足，且，，则称四位数为“神奇数”．例如：四位自然数4312，因为，，，所以4312是“神奇数”．若是一个“神奇数”，且，则满足条件的的个数有______个，若是一个“神奇数”，设，，，和都是整数，则的值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 云飞神州彩凤舞，霞舞中华巨龙飞．在国庆节到来之际，某中学组织初一、初二两个年级的学生进行国学知识竞赛，并从中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分）进行整理、分析（得分用表示，共分为四组，：，：，：，：），下面给出部分信息： 初一名学生的成绩：，，，，，，，，， 初二名学生在组中的成绩：，， 两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 初一 初二 根据以上信息，回答以下问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一和初二两个年级中哪个年级的国学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知初一年级共有名学生，初二年级共有名学生．如果我们认为国学知识竞赛成绩在分及以上的学生成绩优秀，则请估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有多少人？ 21. 如图，在四边中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 22. 某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 23. 如图1，是直角三角形，，，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着方向运动到A点停止，设，点P的运动时间为x秒． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质 （3）结合作出的图像直接写出它与函数相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过） 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交于D，交直线于点G，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，是否存在以为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知，在等边中，点是射线上一点，连接． （1）如图1，，请求解线段的长； （2）如图2，点在线段上，若点为延长线上一点，满足，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）在（2）条件下，点是线段延长线上一点，若为等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云阳县农村初中2024年下期九年级数学期中定时作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘法，积的乘方和合并同类项等计算法则求出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由分式的分母不能等于0得：， 解得， 故选：D． 6. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 7. 2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里，根据甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，最终甲比乙早1小时到达，列分式方程即可． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里， 根据题意得． 故选：A． 8. 估计的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】D 【解析】 【分析】现将原式化简，然后确定化简后的结果的取值范围，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， 即， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算和无理数的估算，解题的关键是将原式化简后的结果变形为，然后确定其取值范围． 9. 如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练运用二次函数的图像与性质是解题关键．该二次函数的图像的对称轴为，则，由图像可知，，即可判断①；根据图象可知，当时，，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，即可判断③，根据时函数取得最小值，即可判断④，即可求解． 【详解】∵根据题意，该二次函数的图像的对称轴为， ∴， ∴， 由图像可知，， ∴， ∴，故①不正确； 根据图象可知，当时，，故②不正确； ∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大， 又∵， ∴，故结论③正确； ∵时函数取得最小值， ∴， ∴，故④正确 故选：D． 10. 给定一列数，我们把这列数的第一个数记为，第二个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数），且．将这列数按顺序依次排列后，在其中每一个数前任意添上“+”号或“-”号，称这种操作为“运算”，并将所得的代数和的绝对值记为．例如：当时，这列数为，，，则“运算”可以为：，此时的值为，下列说法： ①当时，有4种不同的结果； ②任取该数列中连续4项，存在“运算”使得的值为4； ③当时，存在“运算”使得的最小值为1． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了含乘方的有理数混合运算等知识．当时，这列数为，，得到“运算”的所有结果，即可判断①；，即可判断②；计算……，即可判断③． 【详解】解：当时，这列数为，，则“运算”可以为或或或， 此时的值为或或或，即有2种不同的结果； 故①错误， 任取该数列中连续的4项，存在“运算”使得的值为4，如， 故②正确； 当时，不存在“运算”使得的最小值为1， 故③错误； 故选：B 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 12. 点关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个点关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 13. 正六边形的每个内角等于______________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为：， 故答案为：120 14. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金为_________万元． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据增长率都是x，可以先求出二月份的研发资金为万元，据此可求出三月份的研发资金． 【详解】解：由题意得，该厂今年三月份新产品的研发资金为万元， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，，，若是的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质与判定，先证明垂直平分，求出的长，再由角平分线的性质求出，据此利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题关键．先根据不等式组无解求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数得且，最后根据为整数，为非负整数，确定出符合条件的所有整数，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组无解 分式方程去分母得： 分式方程的解为非负整数 且 且 解得：且 为整数，为非负整数 ，5，7 符合条件的所有整数的和为： 故答案为：13． 17. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的运动路线是解答的关键． 连接，取的中点O，连接，证明是等边三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，证明得到，则点Q在射线上运动，由已知得到，过Q作于M，于N，，则，，利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到， ，在中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，则， 在矩形中，，，， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， 连接并延长交于E， 由旋转性质得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴由得 解得，则 ∴点Q在射线上运动， ∵ ∴， 过Q作于M，于N，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， 由得， 解得，则， ∴， 在中，由得， 整理，得，即， ∴，又， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 一个四位自然数，若满足，且，，则称四位数为“神奇数”．例如：四位自然数4312，因为，，，所以4312是“神奇数”．若是一个“神奇数”，且，则满足条件的的个数有______个，若是一个“神奇数”，设，，，和都是整数，则的值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 9909 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，解不等式组，新定义运算，先根据是一个“神奇数”，且，得出，，根据，得出，求出，即可得出满足条件的的个数；根据是一个“神奇数”，得出，，求出，，求出，，根据和都是整数，得出与都能被9整除，从而得出能被9整除，然后再整理得出答案即可． 【详解】解：∵是一个“神奇数”，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵c为整数， ∴，，2，3，4， ∴满足条件的的个数有5个； ∵是一个“神奇数”， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ∵和都是整数， ∴与都能被9整除， ∴能被9整除， ∵ ， ∵， ∴能被9整除， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵能被9整除， ∴， ∵，，， ∴， ∴当，时，，，，符合题意，此时； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上分析可知：． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算，分式的混合运算： （1）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再合并，即可求解； （2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 20. 云飞神州彩凤舞，霞舞中华巨龙飞．在国庆节到来之际，某中学组织初一、初二两个年级的学生进行国学知识竞赛，并从中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分）进行整理、分析（得分用表示，共分为四组，：，：，：，：），下面给出部分信息： 初一名学生的成绩：，，，，，，，，， 初二名学生在组中的成绩：，， 两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 初一 初二 根据以上信息，回答以下问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一和初二两个年级中哪个年级的国学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知初一年级共有名学生，初二年级共有名学生．如果我们认为国学知识竞赛成绩在分及以上的学生成绩优秀，则请估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有多少人？ 【答案】（1），，． （2） 解：初二年级的国学知识竞赛成绩较好，因为初二年级的国学知识竞赛成绩中位数大于初一年级的国学知识竞赛成绩中位数． （3）估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人． 【解析】 【分析】（1）结合扇形统计图和题中的数据即可计算出、、的值； （2）结合两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表进行分析，言之有理即可； （3）结合题意得到初一的优秀率是，初二的优秀率是，则初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有． 【小问1详解】 解：依题得：组竞赛成绩占比为， 初二抽取的学生成绩扇形统计图中组竞赛成绩占比为， ； 根据初一名学生的成绩分析可得，该组数据的中位数为， ； 根据初一名学生的成绩分析可得，该组数据的众数为， ． 故答案为：；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题得：初一年级的优秀率为，初二年级的优秀率为， （人）． 估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人． 【点睛】本题考查的知识点是求扇形统计图的某项数目、求中位数、求众数、借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是能正确利用样本所占百分比估计总体的数量． 21. 如图，在四边中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 【答案】（1） 如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2），，，，得到的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法． （1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵垂直平分 ∴①， ∵ ∴② ∵在和中， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵④ ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 22. 某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）y＝﹣40x+880；（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元 【解析】 【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y； （2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×， ∴y＝﹣40x+880； （2）设每天的销售利润为w元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16） ＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元． 答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元． 【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意找出等量关系. 23. 如图1，是直角三角形，，，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着方向运动到A点停止，设，点P的运动时间为x秒． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质 （3）结合作出的图像直接写出它与函数相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2） 如图所示： 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况，点P在上，点P在上，分别根据三角形的面积公式求出结果即可； （2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质； （3）观察图象可得答案． 【小问1详解】 解：当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， 综上分析可知：； 【小问2详解】 解：把代入得：， 则图象经过点， 把代入得：， 则图象经过点， ∴连接点和，连接点和，且点和除外， 根据函数图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，作出的图像与函数的交点的横坐标约为，， 即此时或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，画一次函数图象，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1），两港之间的距离海里； （2）甲货轮先到达港． 【解析】 【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解； （）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【小问1详解】 如图，过作于点， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴，两港之间的距离海里； 【小问2详解】 由（）得：，，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，（海里）， ∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里）， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交于D，交直线于点G，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，是否存在以为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为，点P的坐标为 （3）存在, N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式即可求解； （2）先证明是等腰直角三角形，得出，然后求出直线解析式，设设，则，可求，再根据二次函数的性质求解即可； （3）首先求出点E、B的坐标，设，，，然后分两种情况：①，②，分别根据两点间距离公式求出k，得到M的坐标，再利用中点坐标公式求出对应的点N坐标即可． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为， 此时P的坐标为； 【小问3详解】 解： ， ∴抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线为， 即， 联立方程组，解得， ∴， 设，， 当时，则， 解得， ∴， 又的中点为，即， ∴B、E、M三点共线， 此情况不符合题意，舍去； 当时，， 解得， ∴或， ∴或， 解得或， ∴当N的坐标为或时，以为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，解直角三角形，勾股定理的应用，坐标与图形性质，菱形的判定和性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 26. 已知，在等边中，点是射线上一点，连接． （1）如图1，，请求解线段的长； （2）如图2，点在线段上，若点为延长线上一点，满足，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）在（2）条件下，点是线段延长线上一点，若为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 过点作平行线交于点，连接， 由题意得， ∵， ， ∴， 又∵， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴ 过点N作于点M， 则，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作于点E，根据等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理依次计算即可解题； （2）过点作平行线交于点，连接，得到为等边三角形，进而得到，即可得到，然后过点N作于点M，利用勾股定理解题即可； （3）过点D作交于点N，连，设，，由（2）可得为等边三角形，，即可得到，，过点P作于点H，利用角的直角三角形计算，长，然后在中利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知，， 过点D作交于点N，连，设，， 则， 又∵为等腰三角形， ∴， 由（2）可得：为等边三角形，， ∴，，， ∴， 过点P作于点H， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能构造直角三角形进行计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $