精品解析：福建省福州市山海联盟校教学协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

山海联盟校教学协作体2023-2024年度第一学期 高一年级数学学科期中考试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据补集概念求解出，然后再根据并集概念求解出. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 故选：D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次根式性质和分式性质直接求解. 【详解】由题可知，，解得. 故选：C 3. 若，则集合A的非空真子集的个数是（ ） A. 16 B. 14 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，然后根据子集的概念即得. 【详解】因为， 所以集合A的非空真子集的个数是. 故选：B. 4. 某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，匀速行驶一段后，休息一段时间路程无变化，应排除A，又原路返回一段，排除D，继续前进，因为是匀速所以选C. 【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B故选C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识图，辨析及实际问题的意义，属于中档题. 5. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可. 【详解】对于A，为奇函数，在和上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A不合题意； 对于B，为奇函数，在定义域上为减函数，所以B符合题意； 对于C，为偶函数，所以C不合题意； 对于D，由于为非奇非偶函数，所以D不合题意， 故选：B. 6. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】化简条件，根据充分条件和必要条件的定义判断“”与“”的关系. 【详解】“”等价于“或”， ∵能推出，但或不能推出. ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 18 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】把已知式变形为，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由x>0，y>0，且，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是18． 故选：C． 8. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】若函数是R上的减函数， 则， 解得, 即实数a的取值范围是. 故选：B． 二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用集合相等的概念，结合集合中元素的互异性可解． 【详解】根据题意，，或， 当时，，不合题意； 当时，，， 则，解得（舍）或， 所以，， 故选：BCD． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用特值可判断AB，利用作差法可判断C，根据不等式性质可可判断D. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当，时，，故B错误； 对于C选项，若，，，所以，故C正确； 对于D选项，若，，则， 根据不等式性质得到，故D正确. 故选：CD. 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 函数在定义域内单调递减 B. 当时，的最小值是5 C. “”是“”的充要条件 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据反函数单调区间判断即可；对B，根据基本不等式求解；对C，举反例判断即可；对D，根据函数定义域性质求解即可. 【详解】对A，函数在区间和上分别递减，故A错误； 对B，当时，，当且仅当时取等号，故B正确； 对C，当时，但不能推出，故C错误； 对D，若函数的定义域为，则函数的定义域，即，故D正确. 故选：BD 12. 已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，分析即在区间上单调，利用二次函数的单调区间判断. 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵任意且，都有， 即在区间上是单调函数，∴或， ∴或，即实数的取值范围为. 故选：AD 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证． （2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答. 13. 命题“，”的否定是___________. 【答案】， 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. 故答案为：，. 14. 若是幂函数，则__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求出，进而求出函数值. 【详解】由是幂函数，得，解得，则， 所以. 故答案为： 15. 若不等式的解集为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可得方程组求得，即得. 【详解】因为不等式的解集为 ， 解得， . 故答案为：. 16. 偶函数在区间上单调递减，则满足的x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数图象特征转化为绝对值不等式可求解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减，故，解得. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 17. 已知集合,. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间的运算直接得解； （2）根据集合间的元素分情况讨论可得参数范围. 【小问1详解】 当时，， ； 【小问2详解】 由已知， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，， 即. 18. 已知是实数. （1）求证：，并指出等号成立的条件； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） 证明：因为 ， 所以， 当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）4 【解析】 【分析】（1）作差法证明即可； （2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当且仅当，即或时，不等式中等号成立. 所以的最小值为4. 19. （1）已知，求函数的解析式； （2）已知函数是一次函数，若，，求函数的解析式. 【答案】 【解析】 【分析】利用配凑法和待定系数法分别计算即可求解. 【详解】（1）， 所以； （2）设一次函数的解析式为， 则，解得， 所以. 20. 已知函数，． （1）若，求实数的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，解不等式即可得出答案； （2）对进行分类讨论，求出在每个段上的最小值，即可得出答案. 【小问1详解】 由题知，解得. 【小问2详解】 ，， 对称轴. 当即时，函数在上单调增， 则. 当即时，函数在上单调减，在上单调增， 则. 当即时，函数在上单调减， 则. 综上， 21. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 【答案】（1）当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元 （2）当年产量为吨时，可获得最大利润万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量. （2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量. 【小问1详解】 因为， 所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元. 【小问2详解】 设该工厂年获得总利润为万元， 则. 因为在上是增函数， 所以当时，有最大值为. 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元. 22. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）当时，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 由已知，对于有成立，， 令，则， 所以，对有，故是奇函数， 任取且，则，由已知有， 又，得 所以在上是减函数； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【小问1详解】 令，则, 可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以， 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山海联盟校教学协作体2023-2024年度第一学期 高一年级数学学科期中考试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则集合A的非空真子集的个数是（ ） A. 16 B. 14 C. 8 D. 6 4. 某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 18 D. 23 8. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 函数在定义域内单调递减 B. 当时，的最小值是5 C. “”是“”的充要条件 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 12. 已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答. 13. 命题“，”的否定是___________. 14. 若是幂函数，则__________. 15. 若不等式的解集为，则的值为____________． 16. 偶函数在区间上单调递减，则满足的x的取值范围是____________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 17. 已知集合,. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知是实数. （1）求证：，并指出等号成立的条件； （2）若，求的最小值. 19. （1）已知，求函数的解析式； （2）已知函数是一次函数，若，，求函数的解析式. 20. 已知函数，． （1）若，求实数的取值范围； （2）求的最小值． 21. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 22. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）当时，解关于x的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $