精品解析：广西县域高中2024-2025学年高一上学期阶段评估数学试题

广西县域高中2024-2025学年度秋季学期阶段评估 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. C. 14 D. 4. 、均为实数，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知命题：，，则为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数图象与直线最多有一个交点 B. 与是两个不同的函数 C. 若幂函数在上单调递增，则实数 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是________ 13. 不等式的解集是，则的解集为_________． 14. 已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，则不等式的解为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. （1）求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值集合． 17. 已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 18. （1）设，证明：的充要条件是. （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明. 19. 集合由有限个实数组成，定义集合的离距如下：实数轴上，集合中的每个实数对应一个点，实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为，称函数的最小值为集合的离距，记为.例如，集合的离距是0，集合的离距是2. （1）分别求出集合的离距； （2）求数集的离距； （3）已知非空数集满足，试写出一个关于的大小关系的等式或不等式，并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西县域高中2024-2025学年度秋季学期阶段评估 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过解一元一次不等式，结合表示整数集合进行求解即可. 【详解】由，可得，又， 所以集合. 故选：C 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可. 【详解】因函数的定义域为，则在函数中， 必有，解得， 故选：B. 3. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 4. 、均为实数，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由，即，所以，由，则，即是充分条件，由即得不到，如满足，显然不成立，故必要性不成立，故是的充分不必要条件； 故选：B 5. 已知命题：，，则为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在性命题的否定直接求解. 【详解】由存在性命题的否定知， ：，的否定为：，， 故选：B 6. 函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合函数性质分函数是R上的单调递增函数和函数是R上的单调递减函数两种情况得和，解不等式组即可得解. 【详解】将代入得；将代入得； 因为函数是R上的单调函数， 所以当函数是R上的单调递增函数时， 函数在上单调递增，且在单调递增，且， 所以，解得. 当函数是R上的单调递减函数时， 函数在上单调递减，且在单调递减，且， 所以，无解. 综上. 故选：C. 7. 若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的性质，确定和的解集，再转化不等式求解集. 【详解】为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得，或， 即或，即， 故选：B. 8. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由排除D；由排除C；由排除B，即得答案. 【详解】解：因为， ，，故排除D； 又因为，，故排除C； 又因为， ， 所以， 即， 符合题意的只有A，故排除B. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数单调性和反例可得答案. 【详解】对于A，，而，故A不正确； 对于B，因为为减函数，，所以，故B正确； 对于C，因为为增函数，，所以，故C正确； 对于D，，而，故D不正确. 故选：BC. 10. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【详解】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数图象与直线最多有一个交点 B. 与是两个不同的函数 C. 若幂函数在上单调递增，则实数 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义、幂函数的单调性、对数函数的值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A，根据函数的定义知，对定义域内任一个，有且只有唯一确定与其对应，所以A正确. B，根据函数的定义知，和的定义域、对应关系、值域相同，所以是相同的函数，所以B错误. C，是幂函数，所以，解得或， 当时，在上单调递增，符合；当时，在上单调递减，不符合. 所以的值为，所以C正确. D，由于函数的开口向上，判别式， 所以函数的值域为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数所过的点求参数，即可得表达式. 【详解】由题设，故幂函数表达式为. 故答案为： 13. 不等式的解集是，则的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，，且关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出 、与的等量关系，然后利用二次不等式的解法可得出不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集是，则， 且关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，则不等式的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令有，可得在上单调递增，利用奇偶性定义可得为奇函数，根据已知有，再由并讨论范围求解集. 【详解】不妨令，则，即， 所以，令，则其在上单调递增， 又是定义域为的偶函数，则， 所以为奇函数，故其在上单调递增， 又，，不等式化为， 当，则，即， 当，则，即， 综上，不等式解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题设得到在上单调递增，且为奇函数是关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. （1）求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到和是方程，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，以及一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：由二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和， 可得和是方程，则满足，解得. 【小问2详解】 解：由（1）得，函数， 因为对于恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，所以， 解，解得或，所以实数的取值范围为.. 16. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值集合． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集与并集的计算规律计算即可； （2）先判断，然后因为，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 因为，所以 当，可知 所以实数a的取值集合为 17. 已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 【解析】 【分析】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【详解】略. 18. （1）设，证明：的充要条件是. （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明. 【答案】（1）证明:充分性：如果， 那么， ， . 必要性：如果， 那么， ， ，，， . 综上知，的充要条件是. （2），证明如下： 由 都是正实数，且， 即. 【解析】 【分析】（1）分别证明充分性与必要性即可； （2）利用作差法比较大小即可比较与的大小. 【详解】（1）略； （2）.证明略. 19. 集合由有限个实数组成，定义集合的离距如下：实数轴上，集合中的每个实数对应一个点，实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为，称函数的最小值为集合的离距，记为.例如，集合的离距是0，集合的离距是2. （1）分别求出集合的离距； （2）求数集的离距； （3）已知非空数集满足，试写出一个关于的大小关系的等式或不等式，并给出证明. 【答案】（1） （2） （3） 例如：集合的元素个数都是偶数时，， 反证：假设. 不妨设 ， ， = 又 故， 这与事实矛盾.故假设不成立，原命题正确. 【解析】 【分析】（1）先根据题目条件理解集合离距的概念，得出，代入计算即可； （2）根据上述公式，代入计算； （3）例如，集合的元素个数都是偶数时，，否则.依据定义证明即可. 【小问1详解】 首先，单元素数集的离距都是0； 两元素数集的离距等于大数减去小数的差的一半； 三元素数集的离距等于最大数与最小数的差的三分之一. 理由及更一般的情况如下. 一般地，记， 则的最小值就是离距. 当时，； 当时，， 当仅当时取等号，故； 当时，， 当仅当时取等号，故当时最小（等于）， 故 更一般地， 由， 当或者时取等号， 知 当时取等号. 故 所以：； 【小问2详解】 由（1）知：不妨设，则； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $